(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法初步、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法初步、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題
基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時:35分鐘)一、填空題1.下列條件:ab>0,ab<0,a>0,b>0,a<0,b<0,其中能使2成立的條件的序號是_.解析要使2,只需>0成立,即a,b不為0且同號即可,故能使2成立.答案2.設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù),給出下列條件:ab2;a2b22.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件的是_(填序號).答案3.與2的大小關(guān)系為_.解析要比較與2的大小,只需比較()2與(2)2的大小,只需比較672與854的大小,只需比較與2的大小,只需比較42與40的大小,42>40,>2.答案>24.“a”是“對任意正數(shù)x,均有x1”的_條件(填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”).解析當(dāng)a時,x21,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x時取等號;反之,顯然不成立.答案充分不必要5.已知m>1,a,b,則a,b的大小關(guān)系是_.解析a,b.而>0(m1),<,即a<b.答案a<b6.若a,bR,則下面四個式子中恒成立的序號是_.lg(1a2)>0;a2b22(ab1);a23ab>2b2;<.解析在中,a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20,a2b22(ab1)恒成立.答案7.已知p3q32,求證pq2,用反證法證明時,可假設(shè)pq2;已知a,bR,|a|b|<1,求證方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1,用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設(shè)|x1|1.則與的假設(shè)中正確的是_(填序號).解析反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論,對于,其結(jié)論的反面是pq2,所以不正確;對于,其假設(shè)正確.答案8.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)abc,且abc0,求證a”索的因應(yīng)是_(填“ab0、ac0、(ab)(ac)0、(ab)(ac)0”中的其中一個).解析由題意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案(ab)(ac)0二、解答題9.若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:lglglglg alg blg c.證明a,b,c(0,),0,0,0.又上述三個不等式中等號不能同時成立.··abc成立.上式兩邊同時取常用對數(shù),得lglg abc,lglglglg alg blg c.10.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列.(1)解當(dāng)n1時,a1S12a12,則a11.又anSn2,所以an1Sn12,兩式相減得an1an,所以an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an.(2)證明反證法:假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,記為ap1,aq1,ar1(p<q<r,且p,q,rN*),則2·,所以2·2rq2rp1.又因?yàn)閜<q<r,所以rq,rpN*.所以式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立.所以假設(shè)不成立,原命題得證.能力提升題組(建議用時:15分鐘)11.已知a,b,(0,),且1,則使得ab恒成立的的取值范圍是_.解析a,b(0,),且1,ab(ab)1010216(當(dāng)且僅當(dāng)a4,b12時等號成立),ab的最小值為16.要使ab恒成立,需16,0<16.答案(0,1612.設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則對三個數(shù)a,b,c,下列結(jié)論正確的序號是_.都大于2;都小于2;至少有一個不大于2;至少有一個不小于2.解析a0,b0,c0,6,當(dāng)且僅當(dāng)abc1時,“”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個不小于2.答案13.凸函數(shù)的性質(zhì)定理:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,xn,有f(),已知函數(shù)ysin x在區(qū)間(0,)上是凸函數(shù),則在ABC中,sin Asin Bsin C的最大值為_.解析f(x)sin x在區(qū)間(0,)上是凸函數(shù),且A、B、C(0,).ff,即sin Asin Bsin C3sin ,所以sin Asin Bsin C的最大值為.答案14.已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),若f(c)0,且0<x<c時,f(x)>0.(1)證明:是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn);(2)試用反證法證明>c.證明(1)f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),f(x)0有兩個不等實(shí)根x1,x2,f(c)0,x1c是f(x)0的根,又x1x2,x2(c),是f(x)0的一個根.即是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn).(2)假設(shè)<c,又>0,由0<x<c時,f(x)>0,知f>0與f0矛盾,c,又c,>c.