第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系最新考綱內(nèi)容要求ABC直線與橢圓的位置關(guān)系1直線與橢圓的位置關(guān)系將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個變量得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程：ax2bxc0(或ay2byc0)考慮一元二次方程的判別式，有(1)0直線與橢圓相交；(2)0直線與橢圓相切；(3)0直線與橢圓相離2弦長公式設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB·|x1x2|·|y1y2|.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn)()(2)過1(a>b>0)焦點(diǎn)的直線xc交曲線于A，B兩點(diǎn)，則AB.()(3)直線ykx(k0)與橢圓1(a>b>0)交于不同的A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，則SABF的最大值為bc.()(4)直線yk(x1)1與橢圓1的位置關(guān)系隨k的變化而變化()答案(1)(2)×(3)(4)×2(教材改編)若斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最大值為_設(shè)直線l的方程為yxt，代入y21得x22txt210，由題意得(2t)25(t21)>0，即t2<5.AB4×.3已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為_6由橢圓定義知，兩式相加得ABAF1BF116，即AF1B周長為16，又因為在AF1B中，有兩邊之和是10，所以第三邊長度為16106.4已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且AB3，則C的方程為_1依題意，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長AB3，點(diǎn)A必在橢圓上，1.又由c1，得1b2a2.由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為1.5若橢圓1中過點(diǎn)P(1,1)的弦恰好被P平分，則此弦所在直線的方程是_x2y30設(shè)弦的兩個端點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)則得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.又x1x22，y1y22.即所求直線的方程為y1(x1)，即x2y30.定點(diǎn)問題橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左、右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)因為左焦點(diǎn)(c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為，所以，解得c1.又e，解得a2，所以b2a2c23.所以所求橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)>0，化為34k2>m2.所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因為以AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)D(2,0)，kAD·kBD1，所以·1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以40.化為7m216mk4k20，解得m12k，m2.且滿足34k2m2>0.當(dāng)m2k時，l：yk(x2)，直線過定點(diǎn)(2,0)與已知矛盾；當(dāng)m時，l: yk，直線過定點(diǎn).綜上可知，直線l過定點(diǎn).規(guī)律方法定點(diǎn)問題的求解策略(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；(2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意變式訓(xùn)練1已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，右頂點(diǎn)為A，且AF1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動直線l：ykxm與橢圓C有且只有一個交點(diǎn)P，且與直線x4交于點(diǎn)Q，問：是否存在一個定點(diǎn)M(t,0)，使得·0.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：62172265】圖48­1解(1)由c1，ac1，得a2，b，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.設(shè)P(xp，yp)，則xp，ypkxpmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，··(4t)·(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在點(diǎn)M(1,0)符合題意.定值問題(2017·南京模擬)已知橢圓1(a>b>0)的離心率e，一條準(zhǔn)線方程為x2.過橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q.圖48­2(1)求橢圓的方程；(2)若直線AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：62172266】解(1)因為，2，所以a，c1，所以b1.故橢圓的方程為y21.(2)法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)因為kAP，所以直線AP的方程為yx1.令y0，解得m.因為kAQ，所以直線AQ的方程為yx1.令y0，解得n.所以mn×.又因為(x1，y1)在橢圓y21上，所以y1，即1y，所以2，即mn2.所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2.法二：設(shè)直線AP的斜率為k(k0)，則AP的方程為ykx1，令y0，得m.聯(lián)立方程組消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP，所以yPk×xP1，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以kAQ，故直線AQ的方程為yx1.令y0，得n2k，所以mn×(2k)2.所以mn為常數(shù)，常數(shù)為2.規(guī)律方法圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得變式訓(xùn)練2(2017·揚(yáng)州期中)如圖48­3，已知橢圓C：1(a>b>0)，離心率為.過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓C的頂點(diǎn))點(diǎn)D在橢圓C上，且ADAB.圖48­3(1)若橢圓C的右準(zhǔn)線方程為：x4，求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線BD，AB的斜率分別為k1，k2，求的值解(1)解得b23，橢圓方程為1.(2)法一：設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則B(x1，y1)A，D在橢圓上，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.kAD·kBD0，e，k1.ADAB，k2，.法二：設(shè)A(x0，y0)，D(x1，y1)，則B(x0，y0)則kAD·kBD·，下同法一.最值(范圍)問題已知橢圓y21上兩個不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對稱圖48­4(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點(diǎn)，所以2b22>0.將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程ymx解得b.由得m<或m>.故m的取值范圍是.(2)令t，則AB·.且O到直線AB的距離為d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)AB·d，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即m±時，等號成立故AOB面積的最大值為.規(guī)律方法解決圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍變式訓(xùn)練3(2017·常州模擬)已知圓x2y21過橢圓1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個公共點(diǎn)，直線l：ykxm與圓x2y21相切，與橢圓1相交于A，B兩點(diǎn)記·，且.(1)求橢圓的方程；(2)求k的取值范圍；(3)求OAB的面積S的取值范圍解(1)由題意知2c2，所以c1.因為圓與橢圓有且只有兩個公共點(diǎn)，從而b1，故a，所以所求橢圓方程為y21.(2)因為直線l：ykxm與圓x2y21相切，所以原點(diǎn)O到直線l的距離為1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范圍是.(3)AB2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22，由k21，得AB.設(shè)OAB的AB邊上的高為d，則d1，則SABdAB，所以S.即OAB的面積S的取值范圍是.思想與方法1有關(guān)弦的三個問題涉及弦長的問題，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮利用圓錐曲線的定義求解2圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時與之相關(guān)的一些問題(2)兩種常見解法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解易錯與防范1求范圍問題要注意變量自身的范圍2中點(diǎn)弦問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗證>0或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部3解決定值、定點(diǎn)問題，不要忘記特值法課時分層訓(xùn)練(四十八)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)1如圖48­5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(a>b>0)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為.圖48­5(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：ykxm(k0)與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段BC被y軸平分，且ABAC，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：62172267】解(1)由條件知橢圓1(a>b>0)的離心率為e，所以b2a2c2a2.又點(diǎn)A(2,1)在橢圓1(a>b>0)上，所以1，解得所以，所求橢圓的方程為1.(2)將ykxm(k0)代入橢圓方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280.由線段BC被y軸平分，得xBxC0，因為k0，所以m0.因為當(dāng)m0時，B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得x2，又因為ABAC，A(2,1)，所以·(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k±.由于k時，直線yx過點(diǎn)A(2,1)，故k不符合題設(shè)所以，此時直線l的方程為yx. 2已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線ykx1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的取值范圍解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由條件可得a2，c，b1，故橢圓C的方程x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.設(shè)OAB的面積為S，由x1x2<0，知S(|x1|x2|)|x1x2|2，令k23t，知t3，S2，對函數(shù)yt(t3)，知y1>0，yt在t3，)上單調(diào)遞增，t，0<，S.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)P，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)，記ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值；若直線l的斜率為，試探究OA2OB2是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：62172268】解(1)1，得a24，b23.所以橢圓C：1.(2)設(shè)直線l的方程為xmy1，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由化簡得(3m24)y26my90，易知>0，所以y1y2，y1y2，所以kAP·kBP···，所以tkAB·kAP·kBP2，所以當(dāng)m時，t有最大值.設(shè)直線l的方程為yxn，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x22nx2n260，(2n)24×3(2n26)>0，即<n<.x1x2，x1x2，OA2OB2xyxy(xx)(yy)xx22(xx)n(x1x2)2n2(x1x2)2x1x2n(x1x2)2n22n2n27.所以當(dāng)直線l的斜率為時，OA2OB2為定值7.2(2017·泰州期末)如圖48­6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2y24，橢圓C：y21，A為橢圓右頂點(diǎn)過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中D.設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.圖48­6(1)求k1k2的值；(2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)，使得kPQkBC？若存在，求值；若不存在，說明理由；(3)求證：直線AC必過點(diǎn)Q.解(1)設(shè)B(x0，y0)，則C(x0，y0)，y1，A(2,0)，所以k1k2·.(2)聯(lián)立得(1k)x24kx4(k1)0，解得xp，ypk1(xp2)，聯(lián)立得(14k)x216kx4(4k1)0，解得xB，yBk1(xB2)，所以kBC，kPQ，所以kPQkBC，故存在常數(shù)，使得kPQkBC.(3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，Q，則kAQk2，所以直線AC必過點(diǎn)Q.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時，直線PQ方程為：y，聯(lián)立，解得xQ，yQ，所以kAQk2，故直線AC必過點(diǎn)Q.