(江蘇專用)高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第47課 橢圓的方程及幾何性質(zhì)課時分層訓練-人教版高三數(shù)學試題
第九章 平面解析幾何 第47課 橢圓的方程及幾何性質(zhì)課時分層訓練A組基礎(chǔ)達標(建議用時:30分鐘)一、填空題1(2017·徐州模擬)若方程1表示一個橢圓,則實數(shù)m的取值范圍為_(2,4)(4,6)由題意可知解得2<m<6且m4.2已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3),對稱軸為坐標軸,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率e,則橢圓E的方程為_1設(shè)橢圓的標準方程為1(a>b>0),由e,即,得a2c,則b2a2c23c2.所以橢圓方程可化為1.將A(2,3)代入上式,得1,解得c24,所以橢圓的標準方程為1.3已知ABC的頂點B,C在橢圓y21上,頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在BC邊上,則ABC的周長是_. 【導學號:62172262】4由橢圓的方程得a.設(shè)橢圓的另一個焦點為F,則由橢圓的定義得BABFCACF2a,所以ABC的周長為BABCCABABFCFCA(BABF)(CFCA)2a2a4a4.4(2017·泰州模擬)已知橢圓C:1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連結(jié)AF,BF.若AB10,BF8,cosABF,則C的離心率為_如圖,設(shè)AFx,則cosABF.解得x6,AFB90°,由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知AF18,F(xiàn)AF1FABFBA90°,F(xiàn)AF1是直角三角形,F(xiàn)1F10,故2a8614,2c10,.5已知圓(x2)2y236的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點,且點N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點P,則動點P的軌跡是_橢圓點P在線段AN的垂直平分線上,故PAPN,又AM是圓的半徑,所以PMPNPMPAAM6>MN,由橢圓定義知,P的軌跡是橢圓6橢圓1的左焦點為F1,點P在橢圓上,若線段PF1的中點M在y軸上,則PF1_.因線段PF1的中點M在y軸上,故可知P,即P,所以PF110.7已知橢圓1(a>b>0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心,且短軸長為8,則橢圓的左頂點為_. 【導學號:62172263】(5,0)因為圓的標準方程為(x3)2y21,所以圓心坐標為(3,0),所以c3.又b4,所以a5.因為橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的左頂點為(5,0)8已知圓M:x2y22mx30(m<0)的半徑為2,橢圓C:1的左焦點為F(c,0),若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓M相切,則a的值為_2圓M的方程可化為(xm)2y23m2,則由題意得m234,即m21(m<0),所以m1,則圓心M的坐標為(1,0)由題意知直線l的方程為xc,又因為直線l與圓M相切,所以c1,所以a231,所以a2.9若m0,則橢圓1的離心率的取值范圍是_因為橢圓方程中m>0,m212m>m(m>0),所以a2m21,b2m,c2a2b2m2m1,e2111,所以e<1.10若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點,若P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為_6由題意知,O(0,0),F(xiàn)(1,0),設(shè)P(x,y),則(x,y),(x1,y),·x(x1)y2x2y2x.又1,y23x2,·x2x3(x2)22.2x2,當x2時,·有最大值6.二、解答題11(2017·蘇州模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C過點(0,2),其焦點為F1(,0),F(xiàn)2(,0)(1)求橢圓C的標準方程;(2)已知點P在橢圓C上,且PF14,求PF1F2的面積. 【導學號:62172264】解(1)由題意可知,c,b2,所以a2b2c29,所以橢圓C的標準方程為1.(2)法一:由(1)可知,F(xiàn)1F22,PF1PF26,又PF14,所以PF22,所以PFPFF1F,所以PF1PF2,所以PF1F2的面積為×PF1·PF24.法二:由(1)可知e,設(shè)P(x0,y0),因為PF14,所以3x04,解得x0,代入方程得1,解得|y0|,所以PF1F2的面積為×2×4.12已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(2,0),且長軸與短軸長的比是2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上,點P是橢圓上任意一點當PM最小時,點P恰好落在橢圓的右頂點,求實數(shù)m的取值范圍解(1)由題意知解得所以橢圓方程為1.(2)設(shè)P(x0,y0),且1,所以PM2(x0m)2yx2mx0m212x2mx0m212(x04m)23m212(4x04)所以PM2為關(guān)于x0的二次函數(shù),開口向上,對稱軸為x04m.由題意知,當x04時,PM2最小,所以4m4,所以m1.又點M(m,0)在橢圓長軸上,所以1m4.B組能力提升(建議用時:15分鐘)1已知橢圓1(a>b>0)與1(m>0,n>0)有相同的焦點(c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率為_因為橢圓1(a>b>0)與1(m>0,n>0)有相同的焦點(c,0)和(c,0),所以c2a2b2m2n2,因為c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,所以c2am,2n22m2c2,所以m2,n2,所以c2,化為,所以e.2設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點,P為橢圓上任一點,點M的坐標為(6,4),則PMPF1的最大值為_15PF1PF210,PF110PF2,PMPF110PMPF2,易知M點在橢圓外,連結(jié)MF2并延長交橢圓于P點(圖略),此時PMPF2取最大值MF2,故PMPF1的最大值為10MF21015.3已知點M(,)在橢圓C:1(a>b>0)上,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點,以AB為底邊作等腰三角形,頂點為P(3,2),求PAB的面積解(1)由已知得解得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為D(x0,y0)由消去y,整理得4x26mx3m2120,則x0m,y0x0mm,即D.因為AB是等腰三角形PAB的底邊,所以PDAB,即PD的斜率k1,解得m2.此時x1x23,x1x20,則|AB|x1x2|·3.又點P到直線l:xy20的距離為d,所以PAB的面積為S|AB|·d.4(2017·蘇州模擬)已知橢圓C1:1(a>b>0)的右焦點為F,上頂點為A,P為C1上任一點,MN是圓C2:x2(y3)21的一條直徑,在y軸上截距為3的直線l與AF平行且與圓C2相切(1)求橢圓C1的離心率;(2)若橢圓C1的短軸長為8,求·的最大值解(1)由題意,得F(c,0),A(0,b),kAF,在y軸上截距為3的直線l與AF平行,直線l:yx3,即bxcy(3)c0.直線l與圓C2相切,1,1,e,(2)橢圓C1的短軸長為8,2b8,b4.a2b2c2,1,ac,2c2b2c2,cb4,a4,橢圓方程是1,設(shè)P(x,y),·(2)·()()2·()·()2·x2(y3)2132(y3)21y26y40(y3)249,又y4,4,·的最大值是49.