第九章 平面解析幾何 第47課 橢圓的方程及幾何性質(zhì)課時分層訓練A組基礎(chǔ)達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1(2017·徐州模擬)若方程1表示一個橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為_(2,4)(4,6)由題意可知解得2<m<6且m4.2已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e，則橢圓E的方程為_1設(shè)橢圓的標準方程為1(a>b>0)，由e，即，得a2c，則b2a2c23c2.所以橢圓方程可化為1.將A(2,3)代入上式，得1，解得c24，所以橢圓的標準方程為1.3已知ABC的頂點B，C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是_. 【導學號：62172262】4由橢圓的方程得a.設(shè)橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得BABFCACF2a，所以ABC的周長為BABCCABABFCFCA(BABF)(CFCA)2a2a4a4.4(2017·泰州模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連結(jié)AF，BF.若AB10，BF8，cosABF，則C的離心率為_如圖，設(shè)AFx，則cosABF.解得x6，AFB90°，由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知AF18，F(xiàn)AF1FABFBA90°，F(xiàn)AF1是直角三角形，F(xiàn)1F10，故2a8614,2c10，.5已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_橢圓點P在線段AN的垂直平分線上，故PAPN，又AM是圓的半徑，所以PMPNPMPAAM6>MN，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓6橢圓1的左焦點為F1，點P在橢圓上，若線段PF1的中點M在y軸上，則PF1_.因線段PF1的中點M在y軸上，故可知P，即P，所以PF110.7已知橢圓1(a>b>0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為_. 【導學號：62172263】(5,0)因為圓的標準方程為(x3)2y21，所以圓心坐標為(3,0)，所以c3.又b4，所以a5.因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的左頂點為(5,0)8已知圓M：x2y22mx30(m<0)的半徑為2，橢圓C：1的左焦點為F(c,0)，若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓M相切，則a的值為_2圓M的方程可化為(xm)2y23m2，則由題意得m234，即m21(m<0)，所以m1，則圓心M的坐標為(1,0)由題意知直線l的方程為xc，又因為直線l與圓M相切，所以c1，所以a231，所以a2.9若m0，則橢圓1的離心率的取值范圍是_因為橢圓方程中m>0，m212m>m(m>0)，所以a2m21，b2m，c2a2b2m2m1，e2111，所以e<1.10若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，若P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為_6由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(x1，y)，·x(x1)y2x2y2x.又1，y23x2，·x2x3(x2)22.2x2，當x2時，·有最大值6.二、解答題11(2017·蘇州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C過點(0,2)，其焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點P在橢圓C上，且PF14，求PF1F2的面積. 【導學號：62172264】解(1)由題意可知，c，b2，所以a2b2c29，所以橢圓C的標準方程為1.(2)法一：由(1)可知，F(xiàn)1F22，PF1PF26，又PF14，所以PF22，所以PFPFF1F，所以PF1PF2，所以PF1F2的面積為×PF1·PF24.法二：由(1)可知e，設(shè)P(x0，y0)，因為PF14，所以3x04，解得x0，代入方程得1，解得|y0|，所以PF1F2的面積為×2×4.12已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(2,0)，且長軸與短軸長的比是2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點當PM最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍解(1)由題意知解得所以橢圓方程為1.(2)設(shè)P(x0，y0)，且1，所以PM2(x0m)2yx2mx0m212x2mx0m212(x04m)23m212(4x04)所以PM2為關(guān)于x0的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x04m.由題意知，當x04時，PM2最小，所以4m4，所以m1.又點M(m,0)在橢圓長軸上，所以1m4.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1已知橢圓1(a>b>0)與1(m>0，n>0)有相同的焦點(c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率為_因為橢圓1(a>b>0)與1(m>0，n>0)有相同的焦點(c,0)和(c,0)，所以c2a2b2m2n2，因為c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，所以c2am,2n22m2c2，所以m2，n2，所以c2，化為，所以e.2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則PMPF1的最大值為_15PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M點在橢圓外，連結(jié)MF2并延長交橢圓于P點(圖略)，此時PMPF2取最大值MF2，故PMPF1的最大值為10MF21015.3已知點M(，)在橢圓C：1(a>b>0)上，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2)，求PAB的面積解(1)由已知得解得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，則x0m，y0x0mm，即D.因為AB是等腰三角形PAB的底邊，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2.此時x1x23，x1x20，則|AB|x1x2|·3.又點P到直線l：xy20的距離為d，所以PAB的面積為S|AB|·d.4(2017·蘇州模擬)已知橢圓C1：1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為A，P為C1上任一點，MN是圓C2：x2(y3)21的一條直徑，在y軸上截距為3的直線l與AF平行且與圓C2相切(1)求橢圓C1的離心率；(2)若橢圓C1的短軸長為8，求·的最大值解(1)由題意，得F(c,0)，A(0，b)，kAF，在y軸上截距為3的直線l與AF平行，直線l：yx3，即bxcy(3)c0.直線l與圓C2相切，1，1，e，(2)橢圓C1的短軸長為8，2b8，b4.a2b2c2，1，ac,2c2b2c2，cb4，a4，橢圓方程是1，設(shè)P(x，y)，·(2)·()()2·()·()2·x2(y3)2132(y3)21y26y40(y3)249，又y4,4，·的最大值是49.