第49課 雙曲線 最新考綱內(nèi)容要求ABC中心在坐標原點的雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2(F1F22c>0)的距離之差的絕對值為非零常數(shù)2a(2a<2c)的點的軌跡叫作雙曲線這兩個定點叫作雙曲線的焦點(2)集合PM|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當2a<F1F2時，M點的軌跡是雙曲線；當2aF1F2時，M點的軌跡是兩條射線；當2a>F1F2時，M點不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中ca，b，c的關系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)3.等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為y±x，離心率為e.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a_.1依題意，e2，2a，則a21，a1.3(2017·泰州中學高三摸底考試)若雙曲線x21的焦點到漸近線的距離為2，則實數(shù)k的值是_8由題意得b2kb28.4(2016·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的焦距是_2由雙曲線的標準方程，知a27，b23，所以c2a2b210，所以c，從而焦距2c2.5(2016·北京高考改編)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線為2xy0，一個焦點為(，0)，則雙曲線的方程為_x21由于2xy0是1的一條漸近線，2，即b2a.又雙曲線的一個焦點為(，0)，則c，由a2b2c2，得a2b25，聯(lián)立得a21，b24.所求雙曲線的方程為x21.雙曲線的定義及應用已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)則APF周長的最小值為_. 【導學號：62172269】32由雙曲線方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F(xiàn)1(3,0)，當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知PFPF12.所以PFPF12，從而APF的周長APPFAFAPPF12AF.因為AF15為定值，所以當(APPF1)最小時，APF的周長最小，A，F(xiàn)1，P三點共線又因為APPF1AF1AF15.所以APF周長的最小值為1515232.規(guī)律方法1.應用雙曲線的定義需注意的問題：在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應用2在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將PF1PF22a平方，建立PF1·PF2間的聯(lián)系變式訓練1(1)已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上若F1A2F2A，則cosAF2F1_.(2)已知雙曲線x21的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點若PF1PF2，則F1PF2的面積為_(1)(2)24(1)由e2得c2a，如圖，由雙曲線的定義得F1AF2A2a.又F1A2F2A，故F1A4a，F(xiàn)2A2a，cosAF2F1.(2)由雙曲線的定義可得PF1PF2PF22a2，解得PF26，故PF18，又F1F210，由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此SPF1F2PF1×PF224.雙曲線的標準方程(1)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為_(2)(2016·天津高考改編)已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為_(1)1(2)y21(1)由焦點F2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.雙曲線C的標準方程為1.(2)由焦距為2得c.因為雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.規(guī)律方法1.確定雙曲線的標準方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件“定位”是指確定焦點在哪條坐標軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法若雙曲線的焦點不能確定時，可設其方程為Ax2By21(AB<0)2對于共焦點、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設出恰當?shù)男问角蠼馊粢阎獫u近線方程為mxny0，則雙曲線方程可設為m2x2n2y2(0)變式訓練2(1)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標準方程為_(2)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為_(1)y21(2)1(1)雙曲線的漸近線方程為y±x，可設雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(4，)，164×()24，雙曲線的標準方程為y21.(2)由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設曲線C2上的一點P，則PF1PF28.由雙曲線的定義知：a4，b3.故曲線C2的標準方程為1，即1.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)(2016·全國卷改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為_(2)設雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線為_. 【導學號：62172270】(1)(2)x±y0(1)如圖，因為MF1x軸，所以MF1.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負值舍去)(2)由題設易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因為A1BA2C，所以·1，整理得ab.因此該雙曲線的漸近線為y±x，即x±y0.規(guī)律方法1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點位置的影響；(2)求離心率的關鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件2雙曲線中c2a2b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關系.抓住雙曲線中“六點”、“四線”、“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關系及轉(zhuǎn)化，簡化解題過程變式訓練3(1)(2017·無錫期末)設ABC是等腰三角形，ABC120°，則以A，B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為_(2)雙曲線x2my21的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為_(1)(2)x±2y0(1)設ABx，則BCx，ACx，2axx,2cx，e.(2)由題意可知a21，b2m，由于b2a，故m4，m4.由x24y20得x±2y，即x±2y0.雙曲線的漸近線方程為x±2y0.思想與方法1求雙曲線標準方程的主要方法：(1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設方程為Ax2By21(AB<0)當已知雙曲線的漸近線方程bx±ay0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2a2y2(0)與雙曲線1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為(0)2已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線的標準方程中“1”改為“0”即可易錯與防范1區(qū)分雙曲線中a，b，c的關系與橢圓中a，b，c的關系，在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.2雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率e(0,1)求它們的離心率，不要忽視這一前提條件，否則會產(chǎn)生增解或擴大取值范圍3直線與雙曲線有一個公共點時，不一定相切，也可能直線與漸近線平行課時分層訓練(四十九)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)1雙曲線x21的兩條漸近線方程為_y±2x由x20得y±2x，即雙曲線的兩條漸進線方程為y±2x.2已知雙曲線y21(a>0)的一條漸近線為xy0，則a_. 【導學號：62172271】雙曲線y21的漸近線為y±，已知一條漸近線為xy0，即yx，因為a>0，所以，所以a.3雙曲線1的離心率為_a24，b25，c29，e.4若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為_. 【導學號：62172272】由雙曲線的漸近線過點(3，4)知，.又b2c2a2，即e21，e2，e.5已知點F1(3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為_1(x>0)由題設知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支，設其方程為1(x>0，a>0，b>0)，由題設知c3，a2，b2945.所以點P的軌跡方程為1(x>0)6已知F為雙曲線C：x2my23m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為_由雙曲線方程知a23m，b23，c.不妨設點F為右焦點，則F(，0)又雙曲線的一條漸近線為xy0，d.7(2016·全國卷改編)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是_(1,3)原方程表示雙曲線，且兩焦點間的距離為4.則因此1<n<3.8(2016·蘇錫常鎮(zhèn)二模)若雙曲線x2my21過點(，2)，則該雙曲線的虛軸長為_4由題意可知24m1，m，即x2y21，b24，b2，即2b4.9在平面直角坐標系xOy中，已知方程1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為_(2,4)由題意可知(4m)(2m)>0，即2<m<4.10過雙曲線x21的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則AB_. 【導學號：62172273】4由題意知，雙曲線x21的漸近線方程為y±x，將xc2代入得y±2，即A，B兩點的坐標分別為(2,2)，(2，2)，所以AB4.11已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若·<0，則y0的取值范圍是_由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.點M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.12(2016·山東高考)已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2AB3BC，則E的離心率是_2如圖，由題意知AB，BC2c.又2AB3BC，2×3×2c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，兩邊同除以a2，并整理得2e23e20，解得e2(負值舍去)B組能力提升(建議用時：15分鐘)1已知F為雙曲線C：1的左焦點，P，Q為C上的點若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為_44由雙曲線C的方程，知a3，b4，c5，點A(5,0)是雙曲線C的右焦點，且PQQAPA4b16，由雙曲線定義，得PFPA6，QFQA6.PFQF12PAQA28，因此PQF的周長為PFQFPQ281644.2已知點F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_(1,2)由題意易知點F的坐標為(c,0)，A，B，E(a,0)，ABE是銳角三角形，·>0，即··>0，整理得3e22e>e4，e(e33e31)<0，e(e1)2(e2)<0，解得e(0,2)，又e>1，e(1,2)3(2016·北京高考)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則a_.2雙曲線1的漸近線方程為y±x，易得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性知1.又正方形OABC的邊長為2，所以c2，所以a2b2c28，因此a2.4已知雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為_x21由雙曲線的漸近線y±x，即bx±ay0與圓(x2)2y23相切，則b23a2.又雙曲線的一個焦點為F(2,0)，a2b24，聯(lián)立，解得a21，b23.故所求雙曲線的方程為x21.5(2017·南通三模)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y21與拋物線y212x有相同的焦點，則雙曲線的兩條漸近線的方程為_y±x拋物線y212x的焦點為(3,0)，a219，a±2.雙曲線的兩條漸近線方程為y±±x.6(2016·天津高考改編)已知雙曲線1(b0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為_1由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.