概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題一、填空題（每題3 分，共 15 分）1、已知隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 2 的泊松（ Poisson）分布，且隨機(jī)變量 Z2 X2 ，則 E Z_2、設(shè) A 、 B 是隨機(jī)事件，P A0.7 ， P AB0.3 ，則 P AB3、設(shè)二維隨機(jī)變量X ,Y 的分布列為YX12123111691813若 X 與 Y 相互獨(dú)立，則、的值分別為。4、設(shè)D X4, D Y1, R X ,Y0.6 ，則D XY_ _5、設(shè) X 1 , X 2 , X n 是取自總體 N ( ,2) 的樣本， 則統(tǒng)計(jì)量1n2服從 _2( X i)i 1分布 .二、選擇題（每題3 分，共 15 分）1.一盒產(chǎn)品中有 a 只正品， b 只次品，有放回地任取兩次， 第二次取到正品的概率為【】a1； (B)a(a1)； (C)a ； (D)a2(A).ab1(a b)( ab 1)abab2、設(shè)事件A 與 B 互不相容，且P A0 ， P B0 ，則下面結(jié)論正確的是【】(A)A 與 B 互不相容 ;(B) P B A0 ;(C)P ABP A P B ;(D) P ABP A .3、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與 Y 分別服從正態(tài)分布N 0,1和 N1,1 ，則【】(A) P X Y 01(B) P XY 11；22(C) P X Y 01(D) P X1。；Y 1224、 如果 X , Y 滿(mǎn)足 D ( XY) D XY ，則必有【】（A ） X 與 Y 獨(dú)立；（ B） X 與 Y不相關(guān)；（ C） DY0 ；（ D） DX05、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X 與 Y 具有同一分布律，且X 的分布律為則隨機(jī)變量 Zmax X , Y的分布律為【】X01P1122(A)P z01 , P z11； (B)P z01, P z10 ；22(C)P z01 , P z13 ； (D)P z03 , P z11 。4444三、解答題（共30 分）1.（本題滿(mǎn)分8 分）兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.02 ，已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍，加工出來(lái)的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A) 的概率 .2.（本題滿(mǎn)分 8 分）將一枚硬幣連擲三次，現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，X 表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y 表示三次中出求：（ 1）（ X ，Y ）的聯(lián)合概率分布；（ 2）P YX.3.（本題滿(mǎn)分10 分）設(shè)隨機(jī)變量 X N 0,1 ， YX 21 ，試求隨機(jī)變量Y 的密度函數(shù)四、（ 8 分）設(shè) X 的密度函數(shù)為f ( x )1 e x , x (,)2 求 X 的數(shù)學(xué)期望 E( X ) 和方差 D( X ) ； 求 X 與 X 的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，并討論X 與 X 是否相關(guān)？五、（本題滿(mǎn)分8 分）二維隨機(jī)變量（X ， Y ）的概率密度為Ae ( x 2 y ) ,x 0, y 0f ( x, y )其他0,求：（ 1）系數(shù) A ；（ 2） X ， Y 的邊緣密度函數(shù)； （ 3）問(wèn) X ，Y 是否獨(dú)立。六、（本題滿(mǎn)分 12分）設(shè)總體 X N，2 ，其中是已知參數(shù)，20 是未知參數(shù) X 1， X 2， X n是從該總體中抽取的一個(gè)樣本， . 求未知參數(shù)2 的極大似然估計(jì)量?2 ； . 判斷 ?2 是否為未知參數(shù)2 的無(wú)偏估計(jì)七、（本題滿(mǎn)分 8 分） 設(shè)總體 X N,2，其中且與2 都未知，20 現(xiàn) 從 總 體 X 中 抽 取 容 量 n 16 的 樣 本 觀 測(cè) 值 x1， x2， ， x16 ， 算 出x116116xix26.2022 ，試在置信水平 10.95下，16 i 1xi 503.75 ， s15 i 1求的置信區(qū)間（已知： t0.05151.7531 ， t0 .05 161.7459 ， t0.025 152.1315 ，t0.025162.1199）八、（本題滿(mǎn)分8 分） 某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，由以往經(jīng)驗(yàn)知其強(qiáng)力標(biāo)準(zhǔn)差為7.5 kg 且 強(qiáng)力服 從 正 態(tài) 分 布 ， 改 用 新 原 料 后 ， 從 新 產(chǎn) 品 中 抽 取25件 作 強(qiáng) 力 試 驗(yàn) ， 算得， 問(wèn)新產(chǎn)品的強(qiáng)力標(biāo)準(zhǔn)差是否有顯著變化？ ( 分別取和 0.01， 已知，）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題參考答案一、填空題：1、 2 ； 2、 0.4； 32,1；4、 2.6； 5、2 ( n)99二、選擇題：1、 C； 2、 D； 3、B ； 4、B ； 5、C三、 1.解：設(shè) Bi =“取出的零件由第i 臺(tái)加工 ”(i1,2)P AP B1P A B1P B2P A B220.971 0.980.973332.解：由題意知， X 的可能取值為： 0， 1， 2， 3； Y 的可能取值為：1， 3.且131123P X1,Y1110,Y 3， P XC3228，2812331211P X 2, Y 1 C3 228 ， P X 3,Y 328 .于是，（ 1）（ X ， Y ）的聯(lián)合分布為XY1300181308230830181（ 2） P Y X P X 0,Y 33.解：隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為8x21f xe2x2設(shè)隨機(jī)變量 Y 的分布函數(shù)為 FYy ，則有FY yP YyP X 21 y P X 2y 1 . 如果y 10，即 y1，則有 FYy0 ； .如果 y1，則有FY y P X 2y 1 Py 1 Xy 1y 1x 22y1x21e2 dxe2dx22y 10y122x即 FY ye2 dxy1200y12y11e2y1f YyFYy22 y所以，10y11y 12fY y2e即y 10y1y1四、解： E ( X )x 1e x dx02D( X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2xx2 1 e x dx 2x 2 1 e dx 0 2022 Cov( X , X )E ( X X )E ( X ) E( X )x x 1 ex dx 002所以 X 與 X 不相關(guān) .五、（本題滿(mǎn)分 10分）解：（ 1）由 1f ( x, y)dxdy00Ae ( x 2 y ) dxdyA 0 e x dx 0 e 2y dy1 A所以 A 22e x（ 2）X 的邊緣密度函數(shù)：fX ( x )f ( x, y)dyx 00,其他Y 的邊緣密度函數(shù)：f Y ( y)f ( x , y)dx2e 2 yy00,其他（3）因 f ( x, y)f X ( x) fY ( y) ，所以 X， Y 是獨(dú)立的六 、 解 ： .當(dāng)20 為 未 知 ， 而為 已 知 參 數(shù) 時(shí) ， 似 然 函 數(shù) 為22n1n2L22expxi22i12n21n2因而ln L2xiln222i 1ln L2n1n210所以2222 ixi41解得21nxi2n i 1因此，2 的極大似然估計(jì)量為?21nnX i2 i1 . 因?yàn)?X i N，2i 1， 2， ， n ，所以X i N 0， 1i， ，n，1 2所以 E X i0 ， D X i2i 1， 2， ， n ，所以 E X i2E X i22 i 1， 2， ， nD X i因此， E ?21n2EX in i 11nX i21n22Enn i 1所以， ?21n22 的無(wú)偏估計(jì)X i是未知參數(shù)n i1七、解：由于正態(tài)總體N,2 中期望與方差2 都未知，所以所求置信區(qū)間為XS t n 1 , XS t n 1n2n2由0.05， n16，得0.025 查表，得 t0.025 152.1315 2由樣本觀測(cè)值，得116xi503.751x， s16 i 11516xix 26.2022i 1所以，xstn1 503.756.20222.1315 500.445 ，n216xs tn1503.756.20222.1315 507.055 ，n216因此所求置信區(qū)間為500.445,507.055八、解：要檢驗(yàn)的假設(shè)為：；在時(shí) ，故在時(shí) ，拒絕認(rèn)為新產(chǎn)品的強(qiáng)力的標(biāo)準(zhǔn)差較原來(lái)的有顯著增大。當(dāng)時(shí) ，故 在下 接 受，認(rèn)為新產(chǎn)品的強(qiáng)力的標(biāo)準(zhǔn)差與原來(lái)的顯著差異。演講稿尊敬的老師們，同學(xué)們下午好：我是來(lái)自 10 級(jí)經(jīng)濟(jì)學(xué)（ 2）班的學(xué)習(xí)委，我叫張盼盼，很榮幸有這次機(jī)會(huì)和大家一起交流擔(dān)任學(xué)習(xí)委員這一職務(wù)的經(jīng)驗(yàn)。轉(zhuǎn)眼間大學(xué)生活已經(jīng)過(guò)了一年多，在這一年多的時(shí)間里，我一直擔(dān)任著學(xué)習(xí)委員這一職務(wù)。回望這一年多，自己走過(guò)的路，留下的或深或淺的足跡，不僅充滿(mǎn)了歡愉，也充滿(mǎn)了淡淡的苦澀。一年多的工作，讓我學(xué)到了很多很多， 下面將自己的工作經(jīng)驗(yàn)和大家一起分享。學(xué)習(xí)委員是班上的一個(gè)重要職位，在我當(dāng)初當(dāng)上它的時(shí)候，我就在想一定不要辜負(fù)老師及同學(xué)們我的信任和支持， 一定要把工作做好。要認(rèn)真負(fù)責(zé)，態(tài)度踏實(shí)，要有一定的組織，領(lǐng)導(dǎo)，執(zhí)行能力，并且做事情要公平， 公正，公開(kāi)，積極落實(shí)學(xué)校學(xué)院的具體工作。作為一名合格的學(xué)習(xí)委員， 要收集學(xué)生對(duì)老師的意見(jiàn)和老師的教學(xué)動(dòng)態(tài)。在很多情況下，老師無(wú)法和那么多學(xué)生直接打交道，很多老師也無(wú)暇顧及那么多的學(xué)生， 特別是大家剛進(jìn)入大學(xué)， 很多人一時(shí)還不適應(yīng)老師的教學(xué)模式。 學(xué)習(xí)委員是老師與學(xué)生之間溝通的一個(gè)橋梁， 學(xué)習(xí)委員要及時(shí)地向老師提出同學(xué)們的建議和疑問(wèn)， 熟悉老師對(duì)學(xué)生的基本要求。再次， 學(xué)習(xí)委員在學(xué)習(xí)上要做好模范帶頭作用，要有優(yōu)異的成績(jī)，當(dāng)同學(xué)們向我提出問(wèn)題時(shí)，基本上給同學(xué)一個(gè)正確的回復(fù)?？傊?，在一學(xué)年的工作之中，我懂得如何落實(shí)各項(xiàng)工作，如何和班委有效地分工合作， 如何和同學(xué)溝通交流并且提高大家的學(xué)習(xí)積極性。當(dāng)然，我的工作還存在著很多不足之處。比日：有的時(shí)候得不到同學(xué)們的響應(yīng)， 同學(xué)們不積極主動(dòng)支持我的工作； 在收集同學(xué)們對(duì)自己工作意見(jiàn)方面做得不夠， 有些事情做錯(cuò)了，沒(méi)有周?chē)瑢W(xué)的提醒，自己也沒(méi)有發(fā)覺(jué)等等。 最嚴(yán)重的一次是， 我沒(méi)有把英語(yǔ)四六級(jí)報(bào)名的時(shí)間，地點(diǎn)通知到位，導(dǎo)致我們班有 4 名同學(xué)錯(cuò)過(guò)報(bào)名的時(shí)間。這次事使我懂得了做事要腳踏實(shí)地，不能馬虎。在這次的交流會(huì)中，我希望大家可以從中吸取一些好的經(jīng)驗(yàn)，帶動(dòng)本班級(jí)的學(xué)習(xí)風(fēng)氣， 同時(shí)也相信大家在大學(xué)畢業(yè)后找到好的工作。謝謝大家！