2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章解三角形之三角形中的幾何計(jì)算教案（二） 北師大版必修5一、教學(xué)目標(biāo)：1、會(huì)在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2、搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；3、理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4、通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問題的能力。二、教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定三、教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式四、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)回顧：1正弦定理：2余弦定理： ，3解三角形的知識(shí)在測(cè)量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實(shí)際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用（二）、探析范例：例1:某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向，以9海里的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為 ，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因?yàn)槿鐖D中的1，2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用表示，故可看成是一個(gè)已知兩邊夾角求第三邊問題解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為，則AB21海里，BC9 海里，AC10 海里，ACB1245（180105）120，根據(jù)余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcos120得(21)2102（9）22109cos120，即36292100解得1，2 (舍去)AB2114，BC96再由余弦定理可得cosBACBAC2147，4521476647所以艦艇方位角為6647，小時(shí)即40分鐘答：艦艇應(yīng)以6647的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘評(píng)述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，其范圍是（0，360）在利用余弦定理建立方程求出后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理例2:如圖所示，已知半圓的直徑AB2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個(gè)面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動(dòng)點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動(dòng)與POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入POB作為自變量建立函數(shù)關(guān)系四邊形OPDC可以分成OPC與等邊PDC，OPC可用OPOCsin表示，而等邊PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識(shí)解決解：設(shè)POB，四邊形面積為，則在POC中，由余弦定理得：PC2OP2OC22OPOCcos54cosOPCPCD(54cos)2sin()當(dāng)即時(shí)，max2評(píng)述：本題中余弦定理為表示PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時(shí)，涉及到兩角和正弦公式sin（）sincoscossin的構(gòu)造及逆用，應(yīng)要求學(xué)生予以重視（三）隨堂練習(xí)：1已知兩地的距離為兩地的距離為，現(xiàn)測(cè)得，則兩地的距離為 （ ） A. B. C. D. 2在ABC中，已知角B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，求AB解：在ADC中，cosC又0C180，sinC 在ABC中，AB評(píng)述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用2、 如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的長。解：在ABD中，設(shè)BD=x則即 整理得：解之：（舍去）由余弦定理： （四）小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用的同時(shí)，掌握由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實(shí)際應(yīng)用題的能力(五）、課后作業(yè)：課本本節(jié)2-1 B組2、3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 補(bǔ)充題：在ABC中已知a2bcosC，求證：ABC為等腰三角形證法一：欲證ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a2bcosC，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinCsinBcosCcosBsinC0即sin（BC）0，BC（）B、C是三角形的內(nèi)角，BC，即三角形為等腰三角形證法二：根據(jù)射影定理，有abcosCccosB，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即又即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC為等腰三角形五、教后反思：