軸向拉伸與壓縮一、軸力和軸力圖軸力是軸向拉壓桿在橫截面上的內力，軸力的作用線與桿件的軸線重合。軸力的正負號規(guī)定：拉力為正，壓力為負。軸力圖是描述軸力沿桿件橫截面位置的變化情況。根據(jù)軸力圖可確定桿件上最大軸力的數(shù)值及其所在截面的位置（即危險截面的位置）。二、軸向拉壓桿橫截面上的應力 正應力在橫截面上均勻分布。三、軸向拉壓桿的強度條件為了保證拉壓桿件在工作時不致因強度不夠而破壞，桿內的最大工作應力不得超過材料的許用應力，即強度條件為 利用強度條件一般可以解決三類強度問題：（1）校核強度（2）選擇截面尺寸 （3）確定承載能力 四、軸向拉壓桿的變形計算和胡克定律1、胡克定律：在比例極限范圍內，正應力與正應變成正比，即 2、軸向拉壓桿的變形計算當拉壓桿為等截面常軸力桿件時，桿件的軸向變形為 3、橫向變形與泊松比軸向拉伸時，桿沿軸向伸長，其橫向尺寸減小，軸向壓縮時，桿沿軸向縮短，其橫向尺寸增大，即橫向正應變與軸向正應變恒為異號。在比例極限范圍內，橫向正應變與軸向正應變成正比，即 或 五、材料的力學性能1、低碳鋼的拉伸力學性能低碳鋼在拉伸時的應力應變關系曲線具有明顯的四個階段，即線性階段、屈服階段、硬化階段和頸縮階段。其中，屈服極限表示材料出現(xiàn)塑性變形，強度極限表示材料喪失承載能力。和是衡量材料強度的兩個重要強度指標。2、低碳鋼的壓縮力學性能低碳鋼在壓縮時的應力應變關系曲線在屈服之前與拉伸的應力應變關系曲線基本重合，拉伸與壓縮時的應力指標、和彈性模量E基本相同。不同之處在于隨著壓力的不斷增加，低碳鋼試件越壓越扁，無法測定其強度極限。3、衡量塑性的兩個指標（1）材料的伸長率 （2）斷面收縮率 4、灰口鑄鐵的力學性能在拉伸實驗時，灰口鑄鐵從開始受力到斷裂，變形非常小，沒有屈服和頸縮階段，是一種脆性材料。衡量拉伸強度的惟一指標是拉伸強度極限。在壓縮實驗中，灰口鑄鐵的強度極限遠高于拉伸時的強度極限（約為34倍）。因此，在工程中宜用作承壓構件。例1：如圖所示階梯形直桿，AB段橫截面面積A1300mm2，BC段橫截面面積，材料的彈性模量E200GPa，求（1）桿的軸力圖；（2）各段桿橫截面上的應力；（3）計算桿AC的總變形。例 1 圖（a）【分析】無論求應力還是求變形，都必須知道橫截面上的軸力，因此應先求出各截面的軸力。然后按應力和變形的計算公式計算。解：（1）作桿的軸力圖分別用截面1-1，2-2將桿AC截開，取左段為分離體，如圖（a）所示。由平衡方程得AB段軸力： （壓力）BC段軸力： （拉力）軸力圖如圖（b）所示。（2）計算各段桿橫截面上的應力AB段： 軸力圖例1 圖（b）（壓應力）BC段： （拉應力）（3）計算桿AC的總變形桿AC的總變形等于AB段和BC段的軸向變形之和。即AB段： （縮短）BC段： （伸長）所以 （縮短）例2：鋼木構架如圖所示，桿BC為鋼制圓桿，橫截面面積為A1600mm2，許用拉應力為；桿AC為木桿，橫截面面積為A210000mm2，許用壓應力。試求：（1）若P10KN，校核兩桿的強度；（2）確定該構架的許用載荷P；（3）根據(jù)許用載荷，試重新選擇桿BC的直徑。例 2 圖（a）例 2 圖【分析】根據(jù)所示構架可知桿AC和BC是二力桿，在外載荷P作用下，產生軸向拉力或壓力。因此當桿件截面尺寸、許用應力和外載荷已知時，若要校核強度，其關鍵在于求解桿件的內力和應力，根據(jù)強度條件校核桿件的強度是否足夠。許用載荷與構架中各桿件的許用內力是密切相關的，所以應首先分析桿件內力與外載荷的關系，然后根據(jù)桿件強度條件求出許用內力，再根據(jù)內力與外載荷的關系確定許用載荷。對于截面設計這類問題來說，首先需要確定桿件在外載荷作用下產生的內力和相應的應力，然后根據(jù)強度條件計算桿件滿足強度的截面尺寸。解：（1）校核兩桿的強度以節(jié)點C為研究對象，設桿件AC和BC所受內力均為拉力，則受力分析如圖（a）所示。由平衡方程（拉力） （1）（壓力） （2）則各桿件的應力分別為BC桿： （拉應力） AC桿： （壓應力）因為，所以各桿件滿足強度條件。（2）許可載荷P確定首先求各桿的許可內力，即：BC桿：AC桿：根據(jù)內力和外載荷的關系式（1）和（2）確定許可載荷，即由式（1）得：由式（2）得：所以，為了使構架安全，許用載荷為 （3）（3）確定BC桿件的直徑由式（3）可知，構架的許用載荷由AC桿確定。此時，桿AC的應力達到許用應力，而桿BC的應力小于許用應力，說明BC桿的強度有余，因此可進一步縮小桿件的直徑。在許用載荷作用下，桿BC的內力為 由強度條件 得 則 第九章 扭轉一、扭力偶矩、扭矩和扭矩圖 1、扭力偶矩 2、扭矩和扭矩圖圓軸扭轉時，在橫截面上產生的內力稱為扭矩，用T表示。通常規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，若矢量方向與橫截面的外法線方向一致，則該扭矩為正，反之為負。任一截面處的扭矩用截面法確定，扭矩沿圓軸軸線方向的變化規(guī)律一般用扭矩圖表示。扭矩圖的繪制和軸力圖的繪制方法相同。二、切應力互等定理和剪切胡克定律切應力互等定理：在微單元體的兩個相互垂直截面上，切應力必然成對出現(xiàn)，其大小相等，方向均指向或離開兩截面的交線。如圖所示。純剪切：在微單元體的各個面上只有切應力而無正應力，這種應力狀態(tài)稱為純剪切。剪切胡克定律：當切應力不超過材料的剪切比例極限時，切應力和切應變成正比，即 扭轉切應力的分布規(guī)律三、圓軸扭轉時橫截面上的切應力 扭轉切應力在橫截面上的分布規(guī)律：截面上任意點的切應力與該點到圓心的距離成正比。實心和空心圓軸橫截面上的扭轉切應力分布如圖所示。很顯然，最大切應力發(fā)生在圓截面外邊緣處。四、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)1、實心圓截面極慣性矩： 抗扭截面系數(shù)： 其中，d為圓截面的直徑。2、空心圓截面對于內徑為d，外徑為D（，代表內、外徑的比值）的空心圓截面來說，極慣性矩： 抗扭截面系數(shù)： 其中五、圓軸扭轉時的變形圓軸的扭轉變形用橫截面間繞軸線的相對角位移即扭轉角表示。相距l(xiāng)的兩橫截面間的扭轉角為 （單位：） （9-13）其中稱為截面的抗扭剛度，越大，扭轉角越小。 六、圓軸扭轉時的強度和剛度條件1、圓軸扭轉的強度條件： 利用強度條件可以進行強度校核、截面設計和確定許可載荷三類強度問題，即（1）強度校核：（2）截面設計：（T為危險截面上的扭矩）（3）確定許可載荷：2、圓軸扭轉剛度條件在工程實際中，通常是限制扭轉角沿軸線的變化率或單位長度內的扭轉角，使其不超過某一規(guī)定的許用值，則圓軸扭轉的剛度條件為 例3：圖中所示鋼制階梯形圓軸，AB段為外徑、內徑的空心圓軸，BC段為的實心圓軸。若材料的切變模量，許用切應力，許用單位長度扭轉角。試校核該軸的強度和剛度。例 3 圖【分析】校核軸的強度和剛度關鍵在于求出最大切應力和最大單位長度扭轉角。因此可先畫出軸的扭矩圖，分段求出最大切應力和最大單位長度扭轉角，然后確定最大值，并與許用值進行比較。扭矩圖解：（1）作軸的扭矩圖用截面法求出AB段和BC段扭矩，并作扭矩圖如圖所示。AB段： BC段： （2）強度校核AB段： BC段： 由于 所以該軸的強度滿足要求。（3）剛度校核AB段： BC段： 由于 所以該軸的剛度滿足要求。第十、十一、十二章 彎曲內力、彎曲應力和彎曲變形一、彎曲內力和內力圖梁的彎曲內力分量包括剪力Fs和彎矩M，剪力和彎矩有正負之分。對于剪力，在所切橫截面的內側切取微段，凡使微段有順時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負；使微段彎曲呈凹形的彎矩為正，反之為負。彎曲內力圖的繪制方法：（1）列寫內力方程，繪制內力圖；（2）利用載荷集度、剪力和彎矩的微分關系繪制內力圖。載荷集度、剪力和彎矩的微分關系：二、彎曲應力1、對稱彎曲的概念當梁至少具有一個縱向對稱面，而外力作用在該對稱面內，則在這種情況下，梁的變形對稱于縱向對稱面。這種變形形式稱為對稱彎曲。2、中性層、中性軸中性層：桿件彎曲變形時，部分“縱向纖維”伸長，部分“縱向纖維”縮短，而沿軸線方向既不伸長又不縮短的一層則稱為中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應力等于零的各點的連線，稱為中性軸。中性軸的位置：在桿件發(fā)生對稱彎曲時，直梁的中性軸通過橫截面的形心且垂直于載荷作用面。3、彎曲正應力直梁對稱彎曲時，梁橫截面上的正應力公式為： 彎曲正應力在橫截面上的分布最大彎曲正應力： 橫截面上任一點的正應力與該點到中性軸的距離成正比，即應力沿截面高度方向成線性規(guī)律分布，在截面的上下邊緣存在最大的拉應力和最大的壓應力，4、彎曲切應力（1）矩形截面梁彎曲切應力在橫截面上的分布彎曲切應力： 最大彎曲切應力： 對于矩形截面梁，彎曲切應力沿截面寬度均勻分布，沿截面高度呈拋物線分布，方向與截面剪力的方向相同；在橫截面的上、下邊緣處（），切應力；在中性軸處（），切應力最大。（2）工字形截面梁當工字形截面的腹板厚度遠小于翼緣寬度時，腹板上的切應力可近似看作均勻分布，則腹板上的切應力為 5、彎曲正應力和彎曲切應力強度條件彎曲正應力強度條件 彎曲切應力強度條件 注意：（1）對受彎曲的梁來說，一般彎曲正應力是主要的，所以無論是強度校核還是截面設計，首先按正應力強度條件進行，然后進行切應力校核。（2）對塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗壓的性能相同，因此對于等截面直梁來說，危險截面只有一個，即所在截面。而截面上的危險點也僅此截面上的一點，即所在的點。（3）對脆性材料而言，由于材料的抗拉和抗壓的性能不同，因此對于等截面直梁來說，危險截面有兩個，即正彎矩最大的截面和負彎矩最大的截面。而每一個危險截面上也有兩個危險點，即和所在點。因此要滿足全梁的強度，這四個點的強度必須都滿足強度條件。（4）無論什么材料，對等截面直梁而言，切應力強度條件僅有一個，即所在截面上的中性軸處。三、彎曲變形1、變形的基本物理量：撓度w和轉角。撓度和轉角的關系為dw/dx。2、撓曲線近似微分方程：3、積分法求彎曲變形的要點（1）在用積分法求解梁的撓度和轉角方程時，必須正確分段列寫出撓曲線微分方程。分段的原則是：彎矩方程需分段列出處；抗彎剛度突變處；有中間鉸的梁在中間鉸處。（2）積分常數(shù)由邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。明確梁的邊界條件和光滑連續(xù)條件是求解梁的撓曲線方程的一個關鍵。對于邊界條件來說，通常由梁在支座處的約束性質來確定。在梁的撓曲線分段處，則存在位移連續(xù)條件。即在相鄰梁段的交接處，相連兩截面應具有相同的撓度和轉角；在中間鉸處，相鄰左右兩截面具有相同的撓度。例4：繪制圖中所示外伸梁ABC的剪力圖和彎矩圖。例 4 圖例4圖 （a）【分析】該外伸梁在載荷作用下被分為兩段，即AB段和BC段?？煞謩e列寫AB段和BC段的剪力方程和彎矩方程，然后繪制剪力圖和彎矩圖；本問題也可直接根據(jù)梁的內力和載荷集度間的關系繪制剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支座反力以外伸梁ABC為研究對象，受力圖如圖（a）所示。列寫平衡方程 （2）繪制剪力圖和彎矩圖 將梁劃分為AB段和BC段，利用截面法求得各段起點和終點截面的剪力和彎矩，根據(jù)內力和載荷集度間的關系判斷各段剪力和彎矩圖形的形狀。AB段： A右截面：，； B左截面：，； AB段內無載荷作用，即，則剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。BC段： B右截面：，； C左截面：，。 BC段內有均布載荷q作用，則剪力圖為一斜直線，彎矩圖為拋物線。外伸梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示。當剪力時，彎矩M為極值。即D點處，彎矩為極值。由剪力圖和彎矩圖知彎矩圖剪力圖例 5 圖例5：簡支梁受力如圖所示。已知P4kN，l=10m。試計算下列兩種截面形式梁中的最大正應力和最大切應力。（1）橫截面為b=100mm，h=200mm的矩形；（2）采用型號為I32a的工字鋼。 【分析】為了求解最大正應力和最大切應力，首先需要確定最大彎矩和最大剪力作用面及其大小，也就是確定危險截面，然后正確判斷產生最大正應力和最大切應力的點在危險截面上的位置，即確定危險點。最后按正應力和切應力計算公式求解。解：（1）繪制簡支梁的剪力圖和彎矩圖。 以簡支梁為研究對象，受力分析如圖所示。由平衡方程可得：例5圖（a） 剪力圖和彎矩圖如圖所示。 （2）矩形截面梁剪力圖 簡支梁的跨中有最大彎矩，最大正應力發(fā)生在該截面的上下邊緣，其值為彎矩圖梁中的最大剪力為，最大切應力發(fā)生在截面的中性軸上。 比較計算結果 可知，梁中的最大正應力比最大切應力要大得多。因此，在校核梁的強度時，可以忽略剪力的影響。 （3）I32a工字型鋼截面梁 由型鋼表得：則梁內最大正應力發(fā)生在跨中（最大彎矩所在面）的工字形截面的上下邊緣，其值為 由型鋼表可查得：梁內最大切應力發(fā)生于工字形截面的中性軸上，其值為 也可用近似公式計算，則 例6：某梁的受力圖如圖所示。截面對形心軸y和z的慣性矩分別為Iy296cm4，Iz =884cm4。材料的許用拉應力t30MPa，許用壓應力c60MPa。試按正應力強度條件校核梁的強度。例 6 圖單位：mm例6 圖（a）【分析】本題中材料的拉壓許用應力不相等，并且截面為T型截面，中性軸不是對稱軸，因此最大正彎矩和最大負彎矩所在截面均為危險截面。對于每一個危險截面來說，既要校核最大拉應力，又要校核最大壓應力。也可分別繪制出最大正彎矩和最大負彎矩所在截面上的正應力分布圖，判斷危險點，進行強度校核。解：（1）繪制剪力圖和彎矩圖。以梁為研究對象，受力分析如圖（a）所示。列寫平衡方程： 繪制剪力圖和彎矩圖如圖所示。彎矩圖剪力圖最大負彎矩位于B截面，即；最大正彎矩位于C截面，即。（2）強度校核在B截面，上邊緣受拉，下邊緣受壓。則有 在C截面，下邊緣受拉，上邊緣受壓。則有 所以梁的強度不足，不能滿足強度要求。第十三章 應力狀態(tài)分析一、應力狀態(tài)的概念1、應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)是構件受力后，通過其內一點所作各微截面的應力狀況。通常是圍繞一點取出一微小的平行六面體（稱為單元體）來研究該點處的應力狀態(tài)。2、主應力和主平面僅有正應力沒有切應力的平面稱為主平面，主平面上的正應力稱為主應力。理論證明，對受力構件內任一點總存在這樣一個單元體，該單元體的三對相互垂直的平面均為主平面，這個單元體稱為主平面微體或主單元體。主單元體上的三個主應力按其代數(shù)值，依次用、和表示，即。3、應力狀態(tài)的分類按主應力的數(shù)值情況，可將應力狀態(tài)分為三類。三個主應力中，僅有一個不為零的應力狀態(tài)，稱為單向應力狀態(tài)；三個主應力中，兩個或三個主應力不為零的應力狀態(tài)，分別稱為二向與三向應力狀態(tài)。二向與三向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)。二、平面應力狀態(tài)分析1、解析法單元體上任一斜截面上的應力為 平面應力狀態(tài)最大和最小正應力分別為 主平面方位： 最大和最小切應力分別為 最大和最小切應力所在截面相互垂直，并與正應力極值截面成夾角。在應用公式計算任一截面上的應力時，要注意式中的正應力、和切應力以及角均有正負之分。其符號規(guī)定為正應力拉應力為正，壓應力為負；切應力對單元體內任意點之矩為順時針轉向的切應力為正，反之為負；角自x正方向逆時針轉到斜截面外法線n的正方向的角為正，反之為負。2、主應力純剪切應力狀態(tài)處于平面應力狀態(tài)的單元體，有一個主應力為零，因此確定主應力時，應將、和0按代數(shù)值重新排序，滿足。特例：純剪切應力狀態(tài)的最大正應力和最小正應力分別為并分別位于和的截面上。主應力為：。三、復雜應力狀態(tài)的最大應力復雜應力狀態(tài)的最大和最小正應力分別為最大與最小主應力，即 復雜應力狀態(tài)最大切應力為 四、廣義胡克定律對于、和同時存在的三向應力狀態(tài)，其相應正應變分別為 當材料為各向同性，且處于線彈性范圍之內時，廣義胡克定律才成立。例7：如圖所示一處于平面應力狀態(tài)的單元體。試用解析法求：（1）30°截面上的正應力和切應力；（2）主應力；（3）最大切應力。（圖中單位為MPa）例 7 圖 【分析】平面應力狀態(tài)上任意截面的正應力和切應力直接按公式計算。對于平面應力狀態(tài)單元體來說，有一個主應力等于零，其他兩個主應力由公式計算。當三個主應力都求出后，按代數(shù)值排序確定1，2，3的值。解：（1）計算30°截面上的正應力和切應力由圖示單元體的應力狀態(tài)可知：則 （2）計算主應力根據(jù)平面應力狀態(tài)的極值應力公式得：所以主應力分別為 （3）最大切應力 例8：如圖所示一單元體的應力狀態(tài)，求主應力和最大切應力。（圖中單位為MPa）【分析】由圖可知該單元體有一已知主應力為30MPa，另外兩個主應力可由圖（a）所示單元體確定。當三個主應力都求出后，按代數(shù)值排序確定1，2，3的值。例8圖( a ) 例 8 圖 解：（1）求主應力值該單元體有一已知主應力為30MPa，另外兩個主應力可由圖（a）所示單元體確定。由圖（a）所示單元體可知，則所以主應力為 （2）求最大切應力 第十四章 復雜應力狀態(tài)強度問題一、強度理論1、強度理論的適用范圍四個常用的強度理論對應材料的兩種破壞形式。第一和第二強度理論適用于材料發(fā)生脆性斷裂的情況，工程中常用的磚、混凝土、鑄鐵等脆性材料和在三向拉伸應力狀態(tài)下的材料均采用第一或第二強度理論；第三和第四強度理論適用于發(fā)生塑性屈服的情況，工程中常用的Q235鋼等塑性材料和在三向壓縮應力狀態(tài)下的材料均采用第三或第四強度理論。2、四個強度理論的相當應力四個強度理論所建立的強度條件可用一個統(tǒng)一的表達式來描述，即 式中是根據(jù)不同的強度理論所得到的構件危險點處三個主應力的某種組合，稱為相當應力。對應于四個強度理論的相當應力分別為 3、強度理論的應用在利用強度理論進行桿件強度校核時，應首先在桿件危險點處取出單元體，分析單元體的應力情況，計算出主應力；然后根據(jù)材料的破壞形式，選擇適當?shù)膹姸壤碚撨M行強度校核。二、組合變形桿件的強度計算方法 重點掌握雙對稱截面梁的非對稱彎曲和彎扭組合。組合變形桿件強度計算的基本步驟：（1）將外載荷簡化為幾組載荷，使每組載荷只產生一種類型的基本變形。（2）對于每一種基本變形，根據(jù)內力分析或內力圖，確定桿件的危險截面。（3）利用基本變形的應力計算方法，分別計算每一種基本變形在危險截面上的應力，然后將這些應力疊加，由此確定危險點的位置和應力狀態(tài)，計算危險點的三個主應力。（4）根據(jù)危險點的應力狀態(tài)和桿件破壞的形式，選擇適用的強度理論進行強度計算。1、雙對稱軸的非對稱彎曲在危險截面和危險點確定后，由應力疊加可得組合變形時危險點處的應力，危險點的應力狀態(tài)是單向應力狀態(tài)。工程種常見截面的強度條件為對于矩形或矩形組合截面（如工字形、槽形），危險點在截面的尖角處，其強度條件為 對于圓形截面，危險點在圓周上，其強度條件為 注意：對于圓形、正方形等具有三個以上對稱軸的截面，只產生對稱彎曲。2、彎扭組合若桿件是塑性材料制成的圓截面桿，則發(fā)生彎扭組合變形時，橫截面上的危險點上既有彎矩引起的正應力，又有扭矩引起的切應力。危險點處于二向應力狀態(tài)，一般選用第三或第四強度理論進行強度計算。其強度條件為 式中，W為抗彎截面系數(shù)，M和T為桿件危險截面處的彎矩和扭矩。例9：一鑄鐵制成的構件，其危險點處的應力狀態(tài)如圖所示。材料的許用拉應力為t35MPa，許用壓應力為c120MPa。試校核此構件的強度。（圖中單位為MPa）例 9 圖 【分析】圖中所示單元體屬于平面應力狀態(tài)（也即復雜應力狀態(tài)），其中一個主應力為零。應根據(jù)構件材料及其破壞形式選擇相應的強度理論進行強度校核。首先計算出主應力，然后確定強度理論的相當應力進行強度校核。解：（1）計算主應力 由危險點處單元體的應力狀態(tài)可知，則所以主應力為 （2）強度理論選用及相當應力計算 因為鑄鐵是脆性材料，所以，采用第一強度理論進行強度校核。相當應力為 （3）強度校核 因為，所以根據(jù)第一強度理論的計算結果可知，該構件強度足夠。 例10：矩形截面的懸臂梁承受載荷及截面尺寸如圖所示。試確定危險截面、危險點所在位置，計算梁內最大正應力的值。若將截面改為直徑D50mm的圓形，試計算最大正應力。例 10 圖【分析】矩形截面梁在載荷P1和P2的作用下將分別產生Mz（x）和My（x），使梁分別在Oxy和Oxz平面內發(fā)生對稱彎曲，因此本問題屬于非對稱彎曲問題。對于圓截面梁，由于通過形心的任意軸都是形心主軸，即任意方向的彎矩均只產生對稱彎曲，故可以先求出合成彎矩，然后再根據(jù)對稱彎曲的正應力公式計算最大正應力。解：（1）外力分析例10圖（a）懸臂梁在P1作用下將在Oxy平面內發(fā)生對稱彎曲，在P2力作用下將在Oxz平面內發(fā)生對稱彎曲，所以此梁的變形為非對稱彎曲。 （2）內力分析及危險截面的確定 分別繪制出Mz（x）和My（x）圖，如圖（a）所示。兩個平面內的最大彎矩都發(fā)生在固定端A截面上，其值分別為，由于此梁為等截面桿，故A截面為該梁的危險截面。 （3）應力分析及危險點的確定 在Mz作用下，危險截面A的上邊緣受拉（即ad邊），下邊緣受壓（即bc邊）；在My作用下，危險截面A的左邊緣受拉（即ab邊），右邊緣受壓（即dc邊）。因此危險點位于角點a和c，角點a產生最大拉應力，角點c產生最大壓應力。 （4）圓截面梁的最大正應力 合成彎矩為 例11：某圓軸受力如圖所示，已知圓軸的直徑d=100mm，材料的許用應力150MPa。試按第三強度理論校核該軸的強度。例 11 圖 【分析】就圓截面軸而言，由于通過形心的任意軸都是形心主軸，即任意方向的彎矩均只產生對稱彎曲，所以圓軸在載荷P1和P2的作用下仍屬于對稱彎曲問題，只是截面上的彎矩為載荷P1和P2的共同作用下產生的合成彎矩。由于圓軸在B處受到外力偶矩Me作用，從而使軸產生扭轉變形，所以圓軸將發(fā)生扭轉和彎曲的組合變形。圓軸應按照相應的強度理論進行強度校核。 解：（1）外力分析 圓軸在載荷P1和P2的作用下產生對稱彎曲，在外力偶矩Me作用產生扭轉變形，所以圓軸將發(fā)生扭轉和彎曲的組合變形。 （2）內力分析及危險截面的確定 分別繪制出圓軸的彎矩圖和扭矩圖，如圖（a）、（b）所示。由圖可知，在固定端截面A處內力最大。對于等截面軸來說，該截面為危險截面，其內力值分別為（a）彎矩圖（b）扭矩圖 合成彎矩 扭矩 （3）應力分析及危險點的確定 在合成彎矩M作用下，合成彎矩矢所在位置為圓軸發(fā)生對稱彎曲的中性軸位置，則距離中性軸最遠處的a、b兩點（位于圓軸截面外邊緣）分別產生最大拉正應力和最大壓應力；而且在扭矩T的作用下，也將在這兩個點處產生最大的切應力。所以a、b兩點為危險點，如圖（c）所示。圖（c） （4）強度計算 由第三強度理論可知 所以根據(jù)第三強度理論的計算可知，該圓軸強度足夠。第十五章 壓桿穩(wěn)定問題一、臨界載荷的歐拉公式細長壓桿的臨界載荷Fcr可由歐拉公式計算 臨界載荷 式中，E為壓桿材料的彈性模量；I為壓桿在失穩(wěn)方向橫截面的慣性矩（失穩(wěn)面的慣性矩）；l為壓桿的長度；為長度因數(shù)，它反映了壓桿的支承方式對臨界載荷的影響。二、壓桿臨界應力和臨界載荷壓桿的臨界應力和臨界載荷與柔度相關，所以首先必須明確壓桿的類型，然后根據(jù)桿件的類型選用相應的公式計算臨界應力和臨界載荷。壓桿的類型由壓桿的柔度確定。1、大柔度桿（）臨界應力： 臨界載荷：（A為壓桿的橫截面面積） 2、中柔度桿（，）臨界應力： （直線經(jīng)驗公式） 臨界載荷：（A為壓桿的橫截面面積） 3、小柔度桿（） 此時壓桿主要因應力達到屈服極限（對塑性材料）或強度極限（對脆性材料）而破壞。這是一個強度問題。臨界應力：對于塑性材料，；對于脆性材料。三、壓桿穩(wěn)定性計算為了保證壓桿在軸向壓力F作用下不致失穩(wěn)，必須滿足壓桿穩(wěn)定性條件 式中，為壓桿的工作壓力；為穩(wěn)定安全因數(shù)；為穩(wěn)定許用壓力。也可用應力表示壓桿的穩(wěn)定性條件，即 式中，為壓桿橫截面上的平均工作應力；為穩(wěn)定安全因數(shù)；為穩(wěn)定許用應力。四、求解壓桿穩(wěn)定性問題的基本步驟1、確定壓桿的失穩(wěn)平面：計算壓桿在各個面內的柔度系數(shù)，確定max，max所對應的面為壓桿的失穩(wěn)面；2、判斷壓桿類型：根據(jù)max與p，0的關系，確定壓桿是大柔度桿、中柔度桿還是小柔度桿。3、選擇相應的公式計算臨界應力和臨界壓力。例12：兩端鉸支壓桿的長度l=1.2m，材料為Q235鋼，其彈性模量E200GPa，比例極限p200MPa，屈服極限s200MPa，a=304MPa，b=1.12MPa。臨界應力的經(jīng)驗公式為cra-b。已知截面的面積A900mm2，若截面的形狀分別為圓形和d/D=0.7的空心圓管，試分別計算各壓桿的臨界載荷。 【分析】不同類型的壓桿，其臨界載荷的計算公式是不同的。因此在計算時應先分清壓桿屬于哪一種類型。進行分類的方法通常是根據(jù)壓桿的柔度來判斷。當>p時，為大柔度桿，其臨界載荷采用歐拉公式進行計算；當0p時，為中柔度桿，其臨界載荷用經(jīng)驗公式計算；當0時，為小柔度桿，按強度問題處理。 解：（1）圓形截面 圓形截面的直徑 慣性半徑 兩端鉸支壓桿的長度系數(shù) 1.0柔度 Q235鋼 因為>p，所以該壓桿屬于大柔度桿，由歐拉公式計算臨界載荷。即 （2）空心圓截面 因為，且，所以可解得D47.4mm，d33.18mm。 空心圓截面的慣性矩 慣性半徑 柔度 因為0<<p，所以此壓桿為中柔度桿，其臨界載荷由經(jīng)驗公式計算。即 例13：如圖所示空心圓截面立柱CD，高h=3.5m，外徑D=100mm，d=80mm。材料為Q235鋼，其彈性模量E200GPa，比例極限p200MPa，屈服極限s240MPa，設計要求的強度安全系數(shù)n=2，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3。試確定梁的容許載荷P。例 13 圖圖 （a） 【分析】立柱在載荷P作用下產生壓力，為了保證結構安全工作，立柱應同時滿足強度和穩(wěn)定性條件。所以梁的容許載荷應由立柱的強度和穩(wěn)定性條件確定。 解：（1）計算立柱的內力，確定載荷P與立柱CD內力的關系 以AB梁為研究對象，受力分析如圖（a）所示，其中立柱CD的內力用NCD表示。列寫平衡方程， （2）按強度計算 材料的許用應力 立柱的面積 根據(jù)強度條件得則 （3）按穩(wěn)定條件計算 立柱的截面慣性矩慣性半徑 長度系數(shù) 1.0柔度 Q235鋼 因為>p，所以立柱屬于大柔度桿，由歐拉公式計算臨界載荷。即 根據(jù)穩(wěn)定性條件得則 綜合分析上面的計算結果，該結構梁上的許用載荷應根據(jù)穩(wěn)定性條件確定，即