3.1 平面力系的平衡問題平面力系的平衡問題3.2 含摩擦的平衡問題含摩擦的平衡問題3.3 平面桁架平面桁架3.4 空間力系的平衡問題空間力系的平衡問題第三章第三章 靜力平衡問題靜力平衡問題返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄1三個(gè)基本概念三個(gè)基本概念 ：力力 力偶力偶 約束約束三組平衡方程：（三組平衡方程：（力系簡化后的結(jié)論力系簡化后的結(jié)論力系簡化后的結(jié)論力系簡化后的結(jié)論）一般力系一般力系 匯交力系匯交力系 平行力系平行力系三類基本定理：三類基本定理：合力投影定理合力投影定理 合力矩定理合力矩定理 力的平移定理力的平移定理三種基本能力：三種基本能力：力的投影力的投影 力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩 約束反力分析約束反力分析一般一般 匯交匯交 平行平行力系力系:力系力系:力系力系:回回顧顧2設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)載荷集度為載荷集度為載荷集度為載荷集度為q q(x x)，在距在距在距在距O O點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)x x 處取處取處取處取微段微段微段微段d dx x,微段微段微段微段上上上上的的的的力為力為力為力為q q(x x)d)dx x。討論討論 同向分布平行力系合成同向分布平行力系合成合力合力合力合力F FR R的作用線到的作用線到的作用線到的作用線到O O的距離為：的距離為：的距離為：的距離為：h h=MMO O/F F R R=/l ld dx xx xq q0 0)(l ld dx xx xxqxq0 0)(xdxq(x)qOxolF FR Rh以以O(shè)點(diǎn)為簡化中心，主矢點(diǎn)為簡化中心，主矢和和主矩為主矩為：F R=q(x)dx=；MO=xq(x)dx=ldxxq0)(ldxxxq0)(F R0，MO0；故可合成為一個(gè)合力故可合成為一個(gè)合力，且且 FR=F R=ldxxq0)(F FR R大小等于大小等于大小等于大小等于分布載荷圖形的面積分布載荷圖形的面積分布載荷圖形的面積分布載荷圖形的面積F FR R的的的的作用線通過分布載荷圖形的形心作用線通過分布載荷圖形的形心作用線通過分布載荷圖形的形心作用線通過分布載荷圖形的形心。3 故故故故同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力，合力的合力的合力的合力的大小等于分布載荷圖形的面積大小等于分布載荷圖形的面積大小等于分布載荷圖形的面積大小等于分布載荷圖形的面積，作用線通過圖形的形作用線通過圖形的形作用線通過圖形的形作用線通過圖形的形心心心心，指向與原力系相同指向與原力系相同指向與原力系相同指向與原力系相同。例例例例 求梁上分布載荷的合力求梁上分布載荷的合力求梁上分布載荷的合力求梁上分布載荷的合力。解解解解：載荷圖形分為三部分，有：載荷圖形分為三部分，有：載荷圖形分為三部分，有：載荷圖形分為三部分，有設(shè)合力設(shè)合力設(shè)合力設(shè)合力F FR R距距距距O O點(diǎn)為點(diǎn)為點(diǎn)為點(diǎn)為x x，由合力矩定理有：由合力矩定理有：由合力矩定理有：由合力矩定理有：-F FR Rx x=-F FR1R1-3.53.5F FR2R2-3 3F FR3R3=-(1.6+2.1+2.7)=(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN6.4kN mm得到得到得到得到 x x=6.4/3.1=2.06m=6.4/3.1=2.06m 故合力為故合力為故合力為故合力為3.1kN3.1kN，作用在距作用在距作用在距作用在距O O點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)2.06m2.06m處，向下。處，向下。處，向下。處，向下。F FR1R1=1.6kN=1.6kN;作用線距作用線距作用線距作用線距O O點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)1m1m。F FR2R2=0.6kN=0.6kN;作用線距作用線距作用線距作用線距O O點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)3.5m3.5m。F FR3R3=0.9kN=0.9kN;作用線距作用線距作用線距作用線距O O點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)3m3m。合力合力合力合力 F FR R=F FR1R1+F FR2R2+F FR3R3=3.1kN=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32F FR1R11F FR2R2F FR3R3F FR Rx4例例 求圖中分布力系的合力。求圖中分布力系的合力。解：解：FR1=2q1=1 kN;FR2=3q2/2=6 kN;合力的大小：合力的大?。篎R=FR2-FR1=5 kN 方向同方向同F(xiàn)R2，如圖。，如圖。合力作用位置合力作用位置(合力矩定理合力矩定理):FRx=3FR2-1FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5 KN/m2m3mq2=4 KN/mAF FR1R1F FR2R2F FR Rx x5 平面力系的平衡條件平面力系的平衡條件 平面一般力系處于平衡，平面一般力系處于平衡，充分和必要條件充分和必要條件充分和必要條件充分和必要條件為力系為力系的主矢的主矢F R和主矩和主矩MO都等于零都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過O點(diǎn)；點(diǎn)；1、2式指出：若有合力。必垂直于式指出：若有合力。必垂直于x軸且垂直于軸且垂直于y軸。軸。故平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）：（基本形式）（x軸不平行于軸不平行于y軸軸）6平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：二力矩式二力矩式（AB不垂直于不垂直于x軸軸)注意：注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫出無數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方出無數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方程均應(yīng)自動(dòng)滿足，程均應(yīng)自動(dòng)滿足，故獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)。三力矩式三力矩式(A、B、C三點(diǎn)不共線三點(diǎn)不共線)7取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿足。取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿足。獨(dú)立平衡方程只有二個(gè)獨(dú)立平衡方程只有二個(gè),為：為：平面匯交力系平面匯交力系:取取x軸垂直于各力，則軸垂直于各力，則x的投影方程滿足。的投影方程滿足。獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè)獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè),為：為：平面平行力系平面平行力系:yxMyx8討論討論討論討論1 1：判斷所列平衡方程組是否必要且充分的判斷所列平衡方程組是否必要且充分的判斷所列平衡方程組是否必要且充分的判斷所列平衡方程組是否必要且充分的。(a)(b)(c)Fx=0 Fy=0 M0(F)=0 Fy=0 Fy=0 MA(F)=0 MA(F)=0 MA(F)=0 MB(F)=0思路：思路：思路：思路：平面力系簡化為一個(gè)力；或一力偶；或平衡。平面力系簡化為一個(gè)力；或一力偶；或平衡。平面力系簡化為一個(gè)力；或一力偶；或平衡。平面力系簡化為一個(gè)力；或一力偶；或平衡。滿足任一力矩平衡方程，則不可能有合力偶；滿足任一力矩平衡方程，則不可能有合力偶；滿足任一力矩平衡方程，則不可能有合力偶；滿足任一力矩平衡方程，則不可能有合力偶；滿足任一投影平衡方程，若有合力則必垂直于投影軸。滿足任一投影平衡方程，若有合力則必垂直于投影軸。滿足任一投影平衡方程，若有合力則必垂直于投影軸。滿足任一投影平衡方程，若有合力則必垂直于投影軸。由此，用反證法判斷。由此，用反證法判斷。由此，用反證法判斷。由此，用反證法判斷。充分充分 可能有合力可能有合力（過（過A垂直于垂直于y）可能有合力可能有合力（垂直于（垂直于OAB）xyxyOABC9三拱鉸受力再分析三拱鉸受力再分析三拱鉸受力再分析三拱鉸受力再分析ABCF F三鉸拱三鉸拱ABF Fo討論討論討論討論2 2：二力平衡必共線二力平衡必共線二力平衡必共線二力平衡必共線F1oF2討論討論討論討論3 3：三力平衡必共點(diǎn)三力平衡必共點(diǎn)三力平衡必共點(diǎn)三力平衡必共點(diǎn)F1F2F3oBCF FB B二力桿二力桿F FC C10思路：研究對(duì)象思路：研究對(duì)象受力分析受力分析平衡方程平衡方程求解求解一、一、平面力系平衡問題的分析方法平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有兩類靜力平衡問題，一般有兩類靜力平衡問題，一般有兩類靜力平衡問題，一般有兩類：對(duì)于對(duì)于完全被約束的物體完全被約束的物體完全被約束的物體完全被約束的物體或系統(tǒng)，在或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。已知外載荷的作用下，求約束力。對(duì)于對(duì)于未完全被約束未完全被約束未完全被約束未完全被約束的物體的物體的物體的物體或系統(tǒng)，或系統(tǒng)，求平衡時(shí)外載荷所應(yīng)滿足的條件及約求平衡時(shí)外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力束力。60ABCDF3.1 3.1 平面力系的平衡問題平面力系的平衡問題返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄11例例例例3.13.13.13.1 求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A A、B B處的約束力。處的約束力。處的約束力。處的約束力。解解：1）畫整體受力圖。）畫整體受力圖。注意注意BC為二力桿。為二力桿。驗(yàn)算驗(yàn)算，再寫一個(gè)不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如，再寫一個(gè)不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如 MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 結(jié)果正確。結(jié)果正確。2）取坐標(biāo)，列平衡方程。）取坐標(biāo)，列平衡方程。Fx=FAx-FCcos30=0 ABCF=2kNF Fq q30q=0.5kN/m L=2m1.5mFq=2q=1 kNF FC CF FAyAyF FAxAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0 MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0 3）解方程得到解方程得到;FC=4kN;FAy=1kN;FAx=2kN 矩心取在二未知力交點(diǎn)矩心取在二未知力交點(diǎn)矩心取在二未知力交點(diǎn)矩心取在二未知力交點(diǎn)A A處，力矩方程中只有一個(gè)未處，力矩方程中只有一個(gè)未處，力矩方程中只有一個(gè)未處，力矩方程中只有一個(gè)未知量知量知量知量F FC C，可直接求解?？芍苯忧蠼?。可直接求解?？芍苯忧蠼狻?2 MA(F)=FBABcos-FCABsin=0 FC=Fcot。越小，夾緊力越大。越小，夾緊力越大。例例例例3.23.2 夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，求求求求F F力作用下工件所受到的夾緊力。力作用下工件所受到的夾緊力。力作用下工件所受到的夾緊力。力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。研究整體，受力如圖。研究整體，受力如圖。研究整體，受力如圖。需要求的是需要求的是需要求的是需要求的是F FC C。列平衡方程：列平衡方程：Fy=FB-F=0 FB=F 解解解解：逐一討論逐一討論逐一討論逐一討論A A、B B，可解?？山狻？山?。可解。ABFBAFCFBFABFAFABCF FyxOFBFCFA討論討論討論討論：若將矩心取在：若將矩心取在：若將矩心取在：若將矩心取在F FA A、F FB B二未知力交點(diǎn)二未知力交點(diǎn)二未知力交點(diǎn)二未知力交點(diǎn)O O，則由力矩方程直接可得則由力矩方程直接可得則由力矩方程直接可得則由力矩方程直接可得:MMO O(F F)=)=F F ABABcoscos-F FC C ABABsinsin=0 =0 F FC C=F Fcotcot 13例例例例3.33.3 梁梁梁梁ACBACB如圖。梁上起重小車重如圖。梁上起重小車重如圖。梁上起重小車重如圖。梁上起重小車重WW=50kN=50kN，吊，吊，吊，吊 重重重重 P P=10kN=10kN，求，求，求，求A A、B B處的約束力。處的約束力。處的約束力。處的約束力。由由由由(1)(1)知，知，知，知，F(xiàn) FAxAx=0=0。剩余兩個(gè)方程中含剩余兩個(gè)方程中含剩余兩個(gè)方程中含剩余兩個(gè)方程中含3 3個(gè)未知約束反力，不足以求解。個(gè)未知約束反力，不足以求解。個(gè)未知約束反力，不足以求解。個(gè)未知約束反力，不足以求解。列平衡方程：列平衡方程：Fx=FAx=0 -(1)Fy=FAy+FBy-P-W=0-(2)MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0 -(3)解解解解：1)1)1)1)取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫受力圖。取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫受力圖。取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫受力圖。取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPF FByByF FAxAxF FAyAyMMA A14 2)小車小車小車小車為研究對(duì)象，列平衡方程：為研究對(duì)象，列平衡方程：MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN3)取取BCBC梁梁梁梁為研究對(duì)象為研究對(duì)象，有：，有：MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN 將將FBy代入代入(2)、(3)式，求得：式，求得：FAy=P+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kNm有時(shí)需要綜合研有時(shí)需要綜合研有時(shí)需要綜合研有時(shí)需要綜合研究整體及部分的究整體及部分的究整體及部分的究整體及部分的平衡，平衡，平衡，平衡，聯(lián)聯(lián)聯(lián)聯(lián)立立立立求解求解求解求解4mWP1m1mDEF FE EF FD DC1m8mBF F E EF FCyCyF FByByF FCxCx=0=015補(bǔ)充例補(bǔ)充例：已知：已知：已知：已知ADAD=BDBD=CDCD=a a，求圖示桿系求圖示桿系求圖示桿系求圖示桿系A(chǔ) A、B B 及及及及 D D處的約束力處的約束力處的約束力處的約束力。解：研究整體有：解：研究整體有：解：研究整體有：解：研究整體有：Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB=0 FAx=-FB=-F/2 研究研究CD桿桿，有：，有：MC(F)=FDya=0 FDy=0 Fy=FACsin45 -F=0 FAC Fx=FDx-FACcos45=0 FDxABCFDF FAyAyF FAxAxF FB BCDFF FDyDyF FDxDxF FACAC請(qǐng)驗(yàn)算：請(qǐng)驗(yàn)算：AB桿桿(帶帶銷銷A)受受力是否平力是否平衡？衡？F FB BF FDxDxF FDyDyF FAxAxF FAyAyF FACACF FACACF FAxAxF FAyAy16求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清弄清題意，題意，標(biāo)出標(biāo)出已知已知量量整體受整體受力圖，力圖，列平衡列平衡方程方程，解決問解決問題否？題否？選取適選取適當(dāng)?shù)淖?dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和標(biāo)軸和矩心，矩心，注意正注意正負(fù)號(hào)。負(fù)號(hào)。檢檢查查結(jié)結(jié)果果，驗(yàn)驗(yàn)算算補(bǔ)充選取補(bǔ)充選取適當(dāng)研究適當(dāng)研究對(duì)象，畫對(duì)象，畫受力圖，受力圖，列平衡方列平衡方程求解。程求解。NoYes注意：注意：力偶力偶M在任一軸上的投影為零；在任一軸上的投影為零；力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩即為力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩即為M。17問題問題1：不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu) 在圖示平衡位置時(shí)在圖示平衡位置時(shí)在圖示平衡位置時(shí)在圖示平衡位置時(shí)F F1 1、F F2 2之關(guān)系之關(guān)系之關(guān)系之關(guān)系。問題問題2:三鉸拱受力偶三鉸拱受力偶三鉸拱受力偶三鉸拱受力偶MM作用，作用，作用，作用，不計(jì)拱的重量，求不計(jì)拱的重量，求不計(jì)拱的重量，求不計(jì)拱的重量，求A A、B B處的約束力處的約束力處的約束力處的約束力。bMABac4560ABCDF F1 1F F2 2問題問題3：試求圖示雙跨梁試求圖示雙跨梁試求圖示雙跨梁試求圖示雙跨梁A A端端端端 的約束力。的約束力。的約束力。的約束力。ABCF Fq2aaa4518問題問題1.不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí) F F1 1、F F2 2之關(guān)系。之關(guān)系。之關(guān)系。之關(guān)系。4560ABCDF1 F2F FD DF FC CME(F)=F2AE-F1sin60BE=0 注意：注意：BE=AB；AE=AB 可解得：可解得：F2=.F12E 19問題問題2:三鉸拱受力偶三鉸拱受力偶三鉸拱受力偶三鉸拱受力偶MM作用，不計(jì)拱的重量，作用，不計(jì)拱的重量，作用，不計(jì)拱的重量，作用，不計(jì)拱的重量，求求求求A A、B B處的約束力處的約束力處的約束力處的約束力。解解:BC為二力桿為二力桿;外力只有力偶外力只有力偶M,以以AC為為軸寫投影方程可知，軸寫投影方程可知，A處反力處反力為為FAy=0,整體受力如圖所示。整體受力如圖所示。bMABacFB BFCFAxAMFAy=0F CFAFBA BbMcdaBAFF=BdFM=+-0有0(F)=AM又由可解得BF20問題問題2再論再論:不計(jì)拱重，分析三鉸拱的約束力不計(jì)拱重，分析三鉸拱的約束力不計(jì)拱重，分析三鉸拱的約束力不計(jì)拱重，分析三鉸拱的約束力。FBA BMdFAABFBA BFFBA BFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點(diǎn)。三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點(diǎn)。三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點(diǎn)。三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點(diǎn)。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。21問題問題3：試求圖示雙跨梁試求圖示雙跨梁試求圖示雙跨梁試求圖示雙跨梁A A端的約束反力。端的約束反力。端的約束反力。端的約束反力。先分離研究對(duì)象，再處理其上先分離研究對(duì)象，再處理其上先分離研究對(duì)象，再處理其上先分離研究對(duì)象，再處理其上的分布載荷。的分布載荷。的分布載荷。的分布載荷。解：解：解：解：1 1）研究整體：）研究整體：）研究整體：）研究整體：2）研究）研究BC，受力如圖。受力如圖。求出求出FC即可。即可。MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=0一般力系，一般力系，一般力系，一般力系，3 3個(gè)方程，個(gè)方程，個(gè)方程，個(gè)方程，4 4個(gè)未知量。不足以求解個(gè)未知量。不足以求解個(gè)未知量。不足以求解個(gè)未知量。不足以求解F FBxBxCFqBF FByByF FC CABCF Fq2aaa45F FC CF FAyAyF FAxAxMMA A22二、二、靜不定問題的概念靜不定問題的概念1)1)1)1)靜定問題靜定問題完全約束住完全約束住的的n個(gè)物體組成的個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)物體系統(tǒng)在平面一在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個(gè)平衡方程。若反力未知量是個(gè)平衡方程。若反力未知量是3n個(gè)，則是靜定的。個(gè)，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題由平衡方程即可確定的靜力平衡問題 -未知量數(shù)未知量數(shù)=獨(dú)立平衡方程數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)ABCF F30如例如例1 1 系統(tǒng)系統(tǒng)2 2根桿根桿6 6個(gè)平衡方程；個(gè)平衡方程；約束約束3 3處鉸鏈處鉸鏈6 6個(gè)反力，靜定。個(gè)反力，靜定。若將若將BC視為二力桿，視為二力桿，則平衡方程減少則平衡方程減少2個(gè)，個(gè)，但但B、C處約束力未知量也減少了處約束力未知量也減少了2個(gè)個(gè)。23本題作用于小車的是本題作用于小車的是 平行于平行于y軸的平行力系，軸的平行力系，系統(tǒng)系統(tǒng) 三個(gè)物體三個(gè)物體8個(gè)平衡方程；個(gè)平衡方程；約束約束 固定端固定端3；中間鉸；中間鉸2；活動(dòng)鉸、車輪接觸；活動(dòng)鉸、車輪接觸 處各處各1共共8個(gè)反力，個(gè)反力，是靜定問題。是靜定問題。如例如例如例如例3 3系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)三個(gè)物體三個(gè)物體三個(gè)物體三個(gè)物體9 9個(gè)方程，個(gè)方程，個(gè)方程，個(gè)方程，反力只有反力只有反力只有反力只有8 8個(gè)。個(gè)。個(gè)。個(gè)。小車可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。小車可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。小車可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。小車可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)未被完全約束住的物體及系統(tǒng) 約束力未知量約束力未知量數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。CABWWP P242）靜不定問題靜不定問題或或超靜定問題超靜定問題 完全約束的物體或系統(tǒng)完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)，若約束力數(shù) 獨(dú)立獨(dú)立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱稱靜不定問題靜不定問題。3 3n n=3;=3;mm=4=4一次靜不定一次靜不定一次靜不定一次靜不定3 3n n=3;=3;mm=6=6三次靜不定三次靜不定三次靜不定三次靜不定3 3n n=3;=3;mm=4=4一次靜不定一次靜不定一次靜不定一次靜不定約束反力數(shù)約束反力數(shù) m系統(tǒng)中物體數(shù)系統(tǒng)中物體數(shù) n 3 33n 靜不定問題靜不定問題靜不定的次數(shù)為：靜不定的次數(shù)為：k=m-3n25MAB討論討論：試判斷下列問題的靜定性。：試判斷下列問題的靜定性。約束力數(shù)約束力數(shù) m=8 物體數(shù)物體數(shù) n=3 m3n 未完全約束未完全約束 m=6 n=2 m=3n靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu) m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)60ABCDF F1 1F F2 2ABCFDFABxFAByFACxFACyF FAxAxF FAyAy26討論討論：判斷下述分析的正誤。：判斷下述分析的正誤。MMA A=M+Fa-2PaM+Fa-2Pa 固定鉸的約束力作用于銷釘上。固定鉸的約束力作用于銷釘上。多桿用同一銷釘連接，討論某桿時(shí)，多桿用同一銷釘連接，討論某桿時(shí)，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;FAy=P;MA=M？F FAyAyF FAyAyPABCPABCAF FAxAxF FAyAyF FAyAyF FAxAxF FAxAxF FAByAByF FABxABxF FACxACxF FACyACyFABxFAByFACxFACyF FAxAxF FAyAy27第一種情形第一種情形A AC CB Bl lll lF F問題討論問題討論：試求圖示試求圖示試求圖示試求圖示A A、B B、C C處的約束力。處的約束力。處的約束力。處的約束力。l ll lF FA AB BD DC CF FB BF FAyAyd dF FAxAx第二種情形第二種情形l ll ll lA AC CB BMM=F F l l MMA A(F F)=0 0 F FB B d d-F F 2 2l l=0=0F FB B=2=2 2 2F F MMB B(F F)=0)=0 FAy l l+F F l l=0=0F FAyAy=-F F Fx=0F FAxAx+F+FB Bcoscos =0 0F FAxAx=-2 2F F28第二種情形第二種情形l ll ll lA AC CB BMM=F F l lFAyFAxl ll lA AB BD DFBxFByFCxFCyFBxFByB BC C分析分析BC和和ABD桿桿受力受力MM=F F l l考察考察考察考察BCBC桿的平衡桿的平衡桿的平衡桿的平衡:FCx=FBx;FCy=FBy MMB B(F F )=0 :)=0 :F FCyCy l lBCBC+Fl Fl=0=02=-F 2 FCy=FBy再考察再考察再考察再考察ABAB桿，桿，桿，桿，由由由由 MMA A(F F )=0)=0 可求得可求得可求得可求得FBx29由由由由ABDABD桿的平衡有：桿的平衡有：桿的平衡有：桿的平衡有：MA(F)=0 2 FBx=F 2 MB(F)=0 F FAyAy=0 MC(F)=0:F FAxAx=F=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形第二種情形l ll ll lA AC CB BMM=F F l l更更簡簡單單方方法法以整體為研究對(duì)象如何？以整體為研究對(duì)象如何？F FAxAxl ll ll lA AB BD DC CMM=F F l lF FCxCxF FAyAyF FCyCy?B BC CMM=F F l lF FCxCxF FBxBxl ll lA AB BD DF FBxBxF FAxAx?30思考題：思考題：3-1習(xí)習(xí) 題：題：3-1，3-5;選做題：選做題：3-3，3-6返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄作業(yè)：作業(yè)：P71-7331512DdDCFAOMABWGABFLFTAFLFTF FN NA AF FBF NAFF FN NB BF FFoFT靜止滑動(dòng)F FmaxmaxFTcr摩擦給運(yùn)動(dòng)帶來阻力，消耗能量，降低效率；摩擦給運(yùn)動(dòng)帶來阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可進(jìn)行傳動(dòng)、驅(qū)動(dòng)、制動(dòng)、自鎖。利用摩擦可進(jìn)行傳動(dòng)、驅(qū)動(dòng)、制動(dòng)、自鎖。摩擦是兩物體接觸表面間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨摩擦是兩物體接觸表面間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨摩擦是兩物體接觸表面間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨摩擦是兩物體接觸表面間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）時(shí)的阻礙作用。接觸表面間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)勢(shì)）時(shí)的阻礙作用。接觸表面間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)勢(shì)）時(shí)的阻礙作用。接觸表面間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)勢(shì)）時(shí)的阻礙作用。接觸表面間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的摩擦，是靜滑動(dòng)摩擦的摩擦，是靜滑動(dòng)摩擦的摩擦，是靜滑動(dòng)摩擦的摩擦，是靜滑動(dòng)摩擦。一、靜滑動(dòng)摩擦一、靜滑動(dòng)摩擦一、靜滑動(dòng)摩擦一、靜滑動(dòng)摩擦3.2 含摩擦的平衡問題含摩擦的平衡問題返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄32只要只要只要只要滑動(dòng)未發(fā)生，物體仍靜止，滑動(dòng)未發(fā)生，物體仍靜止，滑動(dòng)未發(fā)生，物體仍靜止，滑動(dòng)未發(fā)生，物體仍靜止，則則則則F F由由由由平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程確定確定確定確定。摩擦力摩擦力F也是被動(dòng)力，它阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，但不也是被動(dòng)力，它阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，但不能完全約束物體的運(yùn)動(dòng)。能完全約束物體的運(yùn)動(dòng)。F F作用在沿接觸面切向且指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反作用在沿接觸面切向且指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反作用在沿接觸面切向且指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反作用在沿接觸面切向且指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。APTNFVf是靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)，是靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)，F(xiàn)N是法向反力是法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動(dòng)）摩擦力與法摩擦力與法向反力的大小成正比向反力的大小成正比，即 Fmax=f FNFoFT靜止滑動(dòng)F FmaxmaxFTcr FT=0,靜止，無運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)；靜止，無運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)；F=00FTFTcr,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；一般有一般有 FT F F1min1min=MM(a a-fe fe)/)/frLfrLMMO OF FmaxmaxF FN NF FOxOxF FOyOyAF F1min1minF FmaxmaxF F N NF FAxAxF FAyAy35例例例例3.63.63.63.6 圖示懸臂可沿柱滑動(dòng)圖示懸臂可沿柱滑動(dòng)圖示懸臂可沿柱滑動(dòng)圖示懸臂可沿柱滑動(dòng),摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為f f。為保證為保證為保證為保證 不卡住，試確定力不卡住，試確定力不卡住，試確定力不卡住，試確定力F Fo o o o的作用位置。的作用位置。的作用位置。的作用位置。解解：1)Fo向下，懸臂下滑向下，懸臂下滑。臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界狀態(tài) x x=x xmaxmax；有：有：有：有：F Fx x=F FN ND D-F FN NA A=0=0；F Fy y=F FA A+F FD D-F Fo o=0=0 MMA A(F F)=)=F FN ND Dh h+F FD Dd d-F Fo o(x xmaxmax+d d/2)=0/2)=0 及及及及 F FA A=f f F FN NA A,F FD D=f f F FN ND D 解得：解得：解得：解得：F FN NA A=F FN ND D=F Fo o/2/2f f,x xmaxmax=h h/2/2f f.懸臂不卡住，懸臂不卡住，懸臂不卡住，懸臂不卡住，應(yīng)有應(yīng)有應(yīng)有應(yīng)有 x xmaxmax h h/2/2f f而與而與而與而與F Fo o無關(guān)。無關(guān)。無關(guān)。無關(guān)。ABCDxmaxhdF Fo oF FD DF FN ND DF FN NA AF FA A36例例例例3.63.6 圖示懸臂可沿柱滑動(dòng)圖示懸臂可沿柱滑動(dòng)圖示懸臂可沿柱滑動(dòng)圖示懸臂可沿柱滑動(dòng),摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為f f。為保證不為保證不為保證不為保證不 卡住，試確定力卡住，試確定力卡住，試確定力卡住，試確定力F Fo o的作用位置。的作用位置。的作用位置。的作用位置。解解：2)Fo向上，懸臂上滑向上，懸臂上滑。臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界狀態(tài) x x=x xmaxmax；有：有：有：有：F Fx x=F FN NB B-F FN NC C=0=0；F Fy y=F Fo o-F FB B-F FC C=0=0 MMB B(F F)=)=F FC Cd d-F FN NC Ch h-F Fo o(x xmaxmax-d d/2)=0/2)=0 及及及及 F FB B=f f F FN NB B,F FC C=f f F FN NC C 同樣解得：同樣解得：同樣解得：同樣解得：F FN NB B=F FN NC C=F Fo o/2/2f f x xmaxmax=h h/2/2f f.ABCDxmaxhdF Fo oF FC CF FN NC CF FN NB BF FA A懸臂不卡住，懸臂不卡住，懸臂不卡住，懸臂不卡住，應(yīng)有應(yīng)有應(yīng)有應(yīng)有 x xmaxmax h h/2f/2f，而與而與而與而與F Fo o無關(guān)；無關(guān)；無關(guān)；無關(guān)；與上下滑無關(guān)。與上下滑無關(guān)。與上下滑無關(guān)。與上下滑無關(guān)。37含摩擦的平衡問題的分析方法：含摩擦的平衡問題的分析方法：研究對(duì)象研究對(duì)象 受力分析受力分析 平衡方程平衡方程求解求解先回憶靜力平衡問題的一般方法：先回憶靜力平衡問題的一般方法：（此時(shí)此時(shí)F F=F Fmaxmax）可滑動(dòng)的臨可滑動(dòng)的臨可滑動(dòng)的臨可滑動(dòng)的臨界情況分析界情況分析界情況分析界情況分析摩擦力沿滑動(dòng)面摩擦力沿滑動(dòng)面摩擦力沿滑動(dòng)面摩擦力沿滑動(dòng)面切向，指向與運(yùn)切向，指向與運(yùn)切向，指向與運(yùn)切向，指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反動(dòng)趨勢(shì)相反動(dòng)趨勢(shì)相反動(dòng)趨勢(shì)相反。加摩擦加摩擦加摩擦加摩擦方程方程方程方程 F Fmaxmax=f f F FN N解有解有解有解有一個(gè)一個(gè)一個(gè)一個(gè)區(qū)間區(qū)間區(qū)間區(qū)間范圍范圍范圍范圍WWFTBA38討論一討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象摩擦角及自鎖現(xiàn)象設(shè)主動(dòng)力之合力設(shè)主動(dòng)力之合力設(shè)主動(dòng)力之合力設(shè)主動(dòng)力之合力F FA A的作用線與法向夾角為的作用線與法向夾角為的作用線與法向夾角為的作用線與法向夾角為，若若若若 jf若若若若 j jf f,則無論則無論則無論則無論F FA A多小，物體都不能保持平衡。多小，物體都不能保持平衡。多小，物體都不能保持平衡。多小，物體都不能保持平衡。39 2.2.夾緊裝置如圖。夾緊后夾緊裝置如圖。夾緊后夾緊裝置如圖。夾緊后夾緊裝置如圖。夾緊后OAOA水平，欲在力水平，欲在力水平，欲在力水平，欲在力F Fo o除去后工除去后工除去后工除去后工件不松，求偏心距件不松，求偏心距件不松，求偏心距件不松，求偏心距e e.O OA Ae eF Fo oB B工件工件D D直徑直徑 3.3.破碎機(jī)軋輥破碎機(jī)軋輥破碎機(jī)軋輥破碎機(jī)軋輥D D=500mm=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。破碎球形物料。破碎球形物料。破碎球形物料。f f=0.3=0.3,求能破碎的最大求能破碎的最大求能破碎的最大求能破碎的最大物料直徑物料直徑物料直徑物料直徑d d。（。（。（。（物重不計(jì)）物重不計(jì)）物重不計(jì)）物重不計(jì)）1.1.木楔打入墻內(nèi)，木楔打入墻內(nèi)，木楔打入墻內(nèi)，木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為摩擦角為摩擦角為摩擦角為j jf f，試問試問試問試問 為多大時(shí)木楔打入后才不致為多大時(shí)木楔打入后才不致為多大時(shí)木楔打入后才不致為多大時(shí)木楔打入后才不致退出？退出？退出？退出？利用自鎖條件，研究下述問題利用自鎖條件，研究下述問題：401.1.木楔打入墻內(nèi)，木楔打入墻內(nèi)，木楔打入墻內(nèi)，木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為摩擦角為摩擦角為摩擦角為j jf f ，試問，試問，試問，試問 為多大時(shí)為多大時(shí)為多大時(shí)為多大時(shí) 木楔打入后才不致退出？木楔打入后才不致退出？木楔打入后才不致退出？木楔打入后才不致退出？不計(jì)重力，木楔受全反力不計(jì)重力，木楔受全反力不計(jì)重力，木楔受全反力不計(jì)重力，木楔受全反力F FR1R1、F FR2R2二力作用而處于平衡，二力作用而處于平衡，二力作用而處于平衡，二力作用而處于平衡，則則則則F FR1R1、F FR2R2必共線且沿鉛垂方必共線且沿鉛垂方必共線且沿鉛垂方必共線且沿鉛垂方向向向向(對(duì)稱性對(duì)稱性對(duì)稱性對(duì)稱性)。臨界狀態(tài)有：臨界狀態(tài)有：臨界狀態(tài)有：臨界狀態(tài)有：=j jf f;自鎖條件為：自鎖條件為：自鎖條件為：自鎖條件為：j jf fF FR1R1F1maxF F2max2maxjF FR2R2F FN1N141問題問題：2.2.夾緊裝置如圖。夾緊后夾緊裝置如圖。夾緊后夾緊裝置如圖。夾緊后夾緊裝置如圖。夾緊后OAOA水平，欲在水平，欲在水平，欲在水平，欲在F Fo o力除去力除去力除去力除去 后工件不松，求偏心距后工件不松，求偏心距后工件不松，求偏心距后工件不松，求偏心距e e.自鎖條件：自鎖條件：自鎖條件：自鎖條件：a a a a j j j jf ftgtga a a a=e/(d/2)=e/(d/2)tgtgj j j jf f=f f得得得得:e:e f f d/2d/2 3.3.破碎機(jī)軋輥破碎機(jī)軋輥破碎機(jī)軋輥破碎機(jī)軋輥D D=500mm=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f f=0.3=0.3,求能破碎的最大物料直徑求能破碎的最大物料直徑求能破碎的最大物料直徑求能破碎的最大物料直徑d d。（。（。（。（物重不計(jì)）物重不計(jì)）物重不計(jì)）物重不計(jì)）二力平衡必共線。二力平衡必共線。二力平衡必共線。二力平衡必共線。臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界狀態(tài):tantan=f f(D D+d d)cos)cos/2=256/2=256 解得：解得：解得：解得：d d 34mm34mmf 1 cos=(1+f )2-1/2O OA Ae eF Fo oB B工件工件D D直徑直徑aF FR R FROAFA42橋橋梁梁結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)：桿件間的結(jié)合點(diǎn)。桿件間的結(jié)合點(diǎn)。桿件間的結(jié)合點(diǎn)。桿件間的結(jié)合點(diǎn)。桁架桁架桁架桁架：桿桿桿桿組成的幾何形狀不變的框架。組成的幾何形狀不變的框架。組成的幾何形狀不變的框架。組成的幾何形狀不變的框架。平面桁架平面桁架平面桁架平面桁架:桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。3.3 3.3 平面桁架平面桁架返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄43平面桁架的平面桁架的 基本假設(shè)基本假設(shè):2)2)2)2)載荷都在桁架平面內(nèi)載荷都在桁架平面內(nèi)載荷都在桁架平面內(nèi)載荷都在桁架平面內(nèi)，且，且，且，且作用于作用于作用于作用于桁架的桁架的桁架的桁架的節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)處，處，處，處，或可作為集中載荷分配到節(jié)點(diǎn)處。或可作為集中載荷分配到節(jié)點(diǎn)處。或可作為集中載荷分配到節(jié)點(diǎn)處?；蚩勺鳛榧休d荷分配到節(jié)點(diǎn)處。故：故：故：故：力系是平面力系力系是平面力系力系是平面力系力系是平面力系；桿都是桿都是桿都是桿都是在二端節(jié)點(diǎn)處受力在二端節(jié)點(diǎn)處受力在二端節(jié)點(diǎn)處受力在二端節(jié)點(diǎn)處受力 的的的的二力桿二力桿二力桿二力桿。桿。桿。桿。桿內(nèi)力是內(nèi)力是內(nèi)力是內(nèi)力是沿桿的沿桿的沿桿的沿桿的拉拉拉拉/壓力壓力壓力壓力。1)1)1)1)桿桿桿桿均均均均為無重直桿為無重直桿為無重直桿為無重直桿，節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)均均均均為鉸接為鉸接為鉸接為鉸接點(diǎn)。點(diǎn)。點(diǎn)。點(diǎn)。3)3)3)3)桁架桁架桁架桁架只在節(jié)點(diǎn)處受到約束只在節(jié)點(diǎn)處受到約束只在節(jié)點(diǎn)處受到約束只在節(jié)點(diǎn)處受到約束。AB12345678910111213F FAxAxCDF FC CF FAyAyF FB B44無余桿桁架無余桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)均為匯交力系，有節(jié)點(diǎn)均為匯交力系，有2n個(gè)平衡方程；未知量有個(gè)平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和根桿的內(nèi)力和3個(gè)約束，個(gè)約束，m+3=2n，是是靜定問題。靜定問題。基本三角形有基本三角形有基本三角形有基本三角形有3 3根桿和根桿和根桿和根桿和3 3個(gè)節(jié)點(diǎn)，其余個(gè)節(jié)點(diǎn)，其余個(gè)節(jié)點(diǎn)，其余個(gè)節(jié)點(diǎn)，其余(n n-3)-3)個(gè)節(jié)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)個(gè)節(jié)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)個(gè)節(jié)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)個(gè)節(jié)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)2 2根桿，故根桿，故根桿，故根桿，故無余桿桁架中桿數(shù)無余桿桁架中桿數(shù)無余桿桁架中桿數(shù)無余桿桁架中桿數(shù)m m和節(jié)和節(jié)和節(jié)和節(jié)點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)n n應(yīng)當(dāng)滿足：應(yīng)當(dāng)滿足：應(yīng)當(dāng)滿足：應(yīng)當(dāng)滿足：m m=3+2(=3+2(n n-3)-3),即即即即 m m=2=2n n-3-3顯然，顯然，顯然，顯然，無余桿桁架是靜定桁架無余桿桁架是靜定桁架無余桿桁架是靜定桁架無余桿桁架是靜定桁架。有余桿桁架（有余桿桁架（有余桿桁架（有余桿桁架（m m22n n-3-3）則是靜不定的。則是靜不定的。則是靜不定的。則是靜不定的。AB123C45D67保證桁架形狀的必要條件：保證桁架形狀的必要條件：保證桁架形狀的必要條件：保證桁架形狀的必要條件：以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加二根桿件。加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加二根桿件。加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加二根桿件。加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加二根桿件。45F討論下列桁架及問題的靜定性討論下列桁架及問題的靜定性桿數(shù)桿數(shù)m=7 節(jié)節(jié)點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)n=5m=2n-3 靜定桁架靜定桁架約束力約束力3 靜靜定問題定問題 靜不定桁架，反力靜不定桁架，反力4一次一次靜靜不定問題不定問題 桿數(shù)桿數(shù)m=6 節(jié)節(jié)點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)n=4m-(2n-3)=1 靜不定桁架靜不定桁架約束力約束力3 一一次靜不定次靜不定 m-(2n-3)=2 靜不定桁架，靜不定桁架，約束力約束力4 三三次靜不定問題次靜不定問題 F463.3.1 節(jié)點(diǎn)法節(jié)點(diǎn)法用節(jié)點(diǎn)法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為：用節(jié)點(diǎn)法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為：1)1)研究整體研究整體，求約束反力求約束反力。求反力求反力求反力求反力F FAxAx、F FAyAy 由由由由A A節(jié)點(diǎn)平衡求節(jié)點(diǎn)平衡求節(jié)點(diǎn)平衡求節(jié)點(diǎn)平衡求F F1 1、F F2 2 由由由由D D節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)求F F3 3、F F4 4 由由由由 C C節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)求F F5 5、F F6 6 3)3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點(diǎn)開始，從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點(diǎn)開始，逐一列平衡方程求解逐一列平衡方程求解。若求得的結(jié)果為負(fù)，則是壓力。若求得的結(jié)果為負(fù)，則是壓力。2)2)選取選取節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)，畫，畫受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力。AB12345678910111213F FAxAxCDF FC CF FAyAyF FB BAF F1 1F FAyAyF FAxAxF F2 2DF F 2 2F F3 3F F4 4CF FC CF F 1 1F F 3 3F F6 6F F5 5473.3.2 截面法截面法2)2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對(duì)象，畫受任取一截面，截取部分桁架作為研究對(duì)象，畫受 力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。截面法求解桁架問題時(shí)，不需逐個(gè)節(jié)點(diǎn)分析，截面法求解桁架問題時(shí)，不需逐個(gè)節(jié)點(diǎn)分析，截面法求解桁架問題時(shí)，不需逐個(gè)節(jié)點(diǎn)分析，截面法求解桁架問題時(shí)，不需逐個(gè)節(jié)點(diǎn)分析，其其其其分析方法分析方法分析方法分析方法可歸納為：可歸納為：可歸納為：可歸納為：3)3)列平衡方程求解。因?yàn)樽饔迷谘芯繉?duì)象上的是平列平衡方程求解。因?yàn)樽饔迷谘芯繉?duì)象上的是平 面一般力系，可以求解面一般力系，可以求解3個(gè)未知量。個(gè)未知量。1)1)研究整體，求約束反力。研究整體，求約束反力。48CD456F FE EF3F2F1DF F6 6F F4 4F F1 1CF F6 6F F5 5F F3 3BF F8 8F F9 9F F3 3F FB BF F9 9F F7 7F F1 1F FAxAxF FAyAyA例例例例3.113.113.113.11 求圖示桁架中各桿內(nèi)力。求圖示桁架中各桿內(nèi)力。求圖示桁架中各桿內(nèi)力。求圖示桁架中各桿內(nèi)力。解解解解：1)1)1)1)由整體求得：由整體求得：由整體求得：由整體求得：F FAxAx=0=0;F FAyAy=F FE E/3/3;F FB B=2=2F FE E/3/32)2)2)2)截取上部研究，受力如圖。截取上部研究，受力如圖。截取上部研究，受力如圖。截取上部研究，受力如圖。有有有有 F Fx x=0 =0 F F2 2=0=0 MMD D(F F)=-)=-F FE(2(2a a/3)-/3)-F F3 3a a=0 =0 F F3 3=-=-2 2F FE E/3/3 F Fy y=-=-F FE E-F F3 3-F F1 1=0 =0 F F1 1=-=-F FE E/3/3綜合應(yīng)用截面法和截點(diǎn)法，可提高求解的效率。綜合應(yīng)用截面法和截點(diǎn)法，可提高求解的效率。綜合應(yīng)用截面法和截點(diǎn)法，可提高求解的效率。綜合應(yīng)用截面法和截點(diǎn)法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789F FE Ea/2a/2aaa333F FB BF FAxAxF FAyAy3)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)D，可求得可求得 F F4、F F6；4)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)C，可求得可求得 F F5、F F6；5)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)B，可求得可求得 F F8、F F9；6)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)A，可求得可求得 F F7、F F9；49討論討論討論討論1 1 1 1：求桁架指定截面內(nèi)力。求桁架指定截面內(nèi)力。求桁架指定截面內(nèi)力。求桁架指定截面內(nèi)力。FAB123aaaaa4FF F1 1ABF F2 2F F3 3F F4 41AB23aF FaaaF FFFF1F2F350AKEBDCJF討論討論2：廣告牌由桿系支撐，風(fēng)：廣告牌由桿系支撐，風(fēng)：廣告牌由桿系支撐，風(fēng)：廣告牌由桿系支撐，風(fēng)載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？思考：思考：思考：思考：零桿是否可零桿是否可零桿是否可零桿是否可以不要？以不要？以不要？以不要？KEDCJF F FCBCB=0=0D F FCDCD=0=0EKCJF51思考題：思考題：3-4習(xí)習(xí) 題：題：3-13,3-14,3-17(b)。選做題選做題:3-16(b)，3-11。返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄作業(yè)：作業(yè)：P71-7652 力力F 為為Fz、Fxy；Fxy Fx、Fy；顯然有：顯然有：F=Fx+Fy+Fz；且各分且各分力為力為力為力為：由定義知后者正是力由定義知后者正是力在各軸上的投影。故在各軸上的投影。故正交坐標(biāo)系中，投影正交坐標(biāo)系中，投影和分力大小相等。和分力大小相等。二次投影法：先投影到坐標(biāo)面，再投影到軸上。二次投影法：先投影到坐標(biāo)面，再投影到軸上。二次投影法：先投影到坐標(biāo)面，再投影到軸上。二次投影法：先投影到坐標(biāo)面，再投影到軸上。1.力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影AAxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzo一、空間中力的投影及力對(duì)軸之矩一、空間中力的投影及力對(duì)軸之矩3.4 空間力系的平衡問題空間力系的平衡問題返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄53物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。以門繞以門繞以門繞以門繞Z Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為例來討論。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為例來討論。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為例來討論。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為例來討論。顯然有：顯然有：顯然有：顯然有：MMz z(F F1 1)=0)=0；MMz z(F F2 2)=0)=02.2.力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩 將力將力F分解成分解成Fz和和Fxy，可見可見 Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)力力力力F F對(duì)軸對(duì)軸對(duì)軸對(duì)軸z z之矩之矩之矩之矩MMz z(F F)等于力在垂直于等于力在垂直于等于力在垂直于等于力在垂直于z z軸之平面軸之平面軸之平面軸之平面內(nèi)的分量內(nèi)的分量內(nèi)的分量內(nèi)的分量F Fxyxy對(duì)軸對(duì)軸對(duì)軸對(duì)軸z z與該平面交點(diǎn)與該平面交點(diǎn)與該平面交點(diǎn)與該平面交點(diǎn)O O之矩之矩之矩之矩。正負(fù)用右手螺旋法確定，（圖中為正）。正負(fù)用右手螺旋法確定，（圖中為正）。正負(fù)用右手螺旋法確定，（圖中為正）。正負(fù)用右手螺旋法確定，（圖中為正）。力與軸相交或平行力與軸相交或平行，對(duì)軸之矩為零對(duì)軸之矩為零故故力力F對(duì)軸對(duì)軸z之矩之矩可寫為：可寫為：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh zF F1 1FF F2 2 yhOxF FxyxyF Fz z54例例例例:試寫出圖中力試寫出圖中力試寫出圖中力試寫出圖中力F F在軸上的投影及對(duì)力軸之矩。在軸上的投影及對(duì)力軸之矩。在軸上的投影及對(duì)力軸之矩。在軸上的投影及對(duì)力軸之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40 NFZ=(3/5)F=30 NMx(F)=-Fyz+Fzy =-40+36=-4 Nm My(F)=-FZx=-6 Nm Mz(F)=Fyx=8 Nm利用合力矩定理，進(jìn)一步有利用合力矩定理，進(jìn)一步有利用合力矩定理，進(jìn)一步有利用合力矩定理，進(jìn)一步有：MMz z(F F)=)=MMz z(F Fx x)+)+MMz z(F Fy y)+)+MMz z(F Fz z)=)=F Fx x y y+F Fy y x xOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mAF F=50N=50Naa=0.6mb=0.8maFyFz55二、力偶矩的矢量表示二、力偶矩的矢量表示故：故：故：故：力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢，可平行移動(dòng)。，可平行移動(dòng)。，可平行移動(dòng)。，可平行移動(dòng)?？臻g力偶系的合成可按力偶矩矢量求和空間力偶系的合成可按力偶矩矢量求和空間力偶系的合成可按力偶矩矢量求和空間力偶系的合成可按力偶矩矢量求和進(jìn)行。進(jìn)行。進(jìn)行。進(jìn)行。力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢 MM：矢的長度矢的長度矢的長度矢的長度-力偶矩的大??；力偶矩的大??；力偶矩的大??；力偶矩的大小；矢的指向矢的指向矢的指向矢的指向-力偶作用平面的法向；力偶作用平面的法向；力偶作用平面的法向；力偶作用平面的法向；轉(zhuǎn)向由轉(zhuǎn)向由轉(zhuǎn)向由轉(zhuǎn)向由右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則確定。確定。確定。確定。1 1）力偶矩矢：力偶矩矢：力偶矩矢：力偶矩矢：空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于 力偶矩的大小；力偶矩的大??；力偶矩的大??；力偶矩的大?。涣ε甲饔闷矫?；力偶作用平面；力偶作用平面；力偶作用平面；力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。F F xyzF F MM562）空間中力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩間的關(guān)系空間中力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩間的關(guān)系如圖，力如圖，力如圖，力如圖，力F F對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)O O點(diǎn)之矩矢點(diǎn)之矩矢點(diǎn)之矩矢點(diǎn)之矩矢MMO O垂直于垂直于垂直于垂直于OABOAB平面且大小為：平面且大小為：平面且大小為：平面且大小為：MMO O=MMO O(F F)=)=F F h h=2=2 OABOABAzBOMOF Fh另一方面：力另一方面：力F 對(duì)對(duì)軸軸z之矩等于其在之矩等于其在垂直于軸垂直于軸 z之的平面內(nèi)的分量之的平面內(nèi)的分量F 對(duì)對(duì)交點(diǎn)交點(diǎn)O之矩，即：之矩，即：故可知：故可知：故可知：故可知：力對(duì)某點(diǎn)之矩矢在過該點(diǎn)任一軸上力對(duì)某點(diǎn)之矩矢在過該點(diǎn)任一軸上力對(duì)某點(diǎn)之矩矢在過該點(diǎn)任一軸上力對(duì)某點(diǎn)之矩矢在過該點(diǎn)任一軸上 的投影等于力對(duì)該軸之矩的投影等于力對(duì)該軸之矩的投影等于力對(duì)該軸之矩的投影等于力對(duì)該軸之矩。Mz(F)=Mo(F)=2Oab=2OABcos=MOcosF F abMMz z57三、三、空間一般力系的簡化和平衡空間一般力系的簡化和平衡1.1.1.1.