第三章第三章軸向拉壓變形軸向拉壓變形拉壓桿的變形與疊加原理拉壓桿的變形與疊加原理變形分析變形分析n實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，拉（壓）直桿的變形主要是實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，拉（壓）直桿的變形主要是軸向變形（縱向變形）軸向變形（縱向變形）o當(dāng)桿拉伸時(shí)，桿沿軸向伸長，同時(shí)伴隨著當(dāng)桿拉伸時(shí)，桿沿軸向伸長，同時(shí)伴隨著橫向尺寸略有縮短橫向尺寸略有縮短o當(dāng)桿壓縮時(shí)，其軸向尺寸縮短，而橫向尺當(dāng)桿壓縮時(shí)，其軸向尺寸縮短，而橫向尺寸略有增大寸略有增大FFbb1ll1變形分析變形分析軸向正應(yīng)力軸向正應(yīng)力:軸向正應(yīng)變：軸向正應(yīng)變：FFbb1ll1Hookes Law 軸向變形軸向變形軸向變形軸向變形變形分析變形分析o胡克定律反映了在胡克定律反映了在比例極限比例極限范圍內(nèi)，軸范圍內(nèi)，軸向伸長和軸力的向伸長和軸力的線性關(guān)系線性關(guān)系o桿件的軸向伸長桿件的軸向伸長l與軸力與軸力FN,桿件長度桿件長度l成正比，而成正比，而EA成反比成反比o由于由于EA越大，桿件的變形越?。辉酱?，桿件的變形越小；EA越小，越小，變形越大，因此，稱變形越大，因此，稱EA為桿件的為桿件的（抗拉抗拉）剛度剛度AA1B2B1Bspse變形分析變形分析n n橫向變形橫向變形 橫向正應(yīng)變橫向正應(yīng)變FFbb1ll1實(shí)驗(yàn)和理論研究發(fā)現(xiàn)，在比例極限范圍實(shí)驗(yàn)和理論研究發(fā)現(xiàn)，在比例極限范圍內(nèi)，桿的內(nèi)，桿的橫向變形橫向變形和和軸向變形軸向變形具有關(guān)系具有關(guān)系負(fù)號?變形分析變形分析材料有無材料有無？大多數(shù)大多數(shù)各向同性材料各向同性材料q比例常數(shù)比例常數(shù)m m 稱為泊松比稱為泊松比(Poissons Ratio)一個(gè)無量綱的量一個(gè)無量綱的量理論與實(shí)驗(yàn)均已證實(shí)理論與實(shí)驗(yàn)均已證實(shí) qE G m m的關(guān)系的關(guān)系m m =0.5=0.5意味著是意味著是不可壓縮材料不可壓縮材料Example-多力桿多力桿l3l2PP例例 等截面直桿受等截面直桿受多力的作用，其橫多力的作用，其橫截面面積為截面面積為A，材材料的拉（壓）彈性料的拉（壓）彈性模量為模量為E，求桿的求桿的總變形總變形Example-多力桿多力桿解法一：解法一：幾何疊加法幾何疊加法軸力分析軸力分析 FN1=P FN2=P-2P=-PFFbb1ll1l3l2PP21Example-多力桿多力桿利用利用虎克定律虎克定律，桿件，桿件1段的伸長為段的伸長為方向的標(biāo)注l3l2PP桿件桿件2段的伸長為段的伸長為因此，桿的總伸長為因此，桿的總伸長為疊加原理疊加原理n通常，由于問題的控制方程是線性的，通常，由于問題的控制方程是線性的，因此，可利用疊加原理進(jìn)行求解因此，可利用疊加原理進(jìn)行求解n疊加原理疊加原理：桿件（結(jié)構(gòu)）在幾個(gè)外力作：桿件（結(jié)構(gòu)）在幾個(gè)外力作用下的總響應(yīng)（位移、應(yīng)力等）等于桿用下的總響應(yīng)（位移、應(yīng)力等）等于桿件（結(jié)構(gòu)）在每個(gè)力單獨(dú)作用下的響應(yīng)件（結(jié)構(gòu)）在每個(gè)力單獨(dú)作用下的響應(yīng)（位移、應(yīng)力等）的總和（位移、應(yīng)力等）的總和n物理上講，物理上講，疊加原理成立的條件疊加原理成立的條件o小變形、小位移小變形、小位移oHooke定理成立定理成立Example-多力桿多力桿例例 等截面直桿受多等截面直桿受多力的作用，其橫截面力的作用，其橫截面面積為面積為A，材料的拉材料的拉（壓）彈性模量為（壓）彈性模量為E，求桿的總變形求桿的總變形l3l2PPExample-多力桿多力桿解法二解法二:載荷疊加法載荷疊加法 此軸力產(chǎn)生的伸長為此軸力產(chǎn)生的伸長為當(dāng)桿件在外力當(dāng)桿件在外力F1=P作作用下，整個(gè)桿中內(nèi)力為用下，整個(gè)桿中內(nèi)力為 FN1=Pl3l 2PPP2PExample-多力桿多力桿桿件在外力桿件在外力F2=-2P作用作用下，左部分桿件的內(nèi)力下，左部分桿件的內(nèi)力 FN2=-2P右面部分不受力，所以右面部分不受力，所以內(nèi)力為零。內(nèi)力為零。這樣，桿件在外力這樣，桿件在外力F F2 2作用下的伸長為作用下的伸長為l3l 2PPP2PExample-多力桿多力桿因此，桿件的總伸長為因此，桿件的總伸長為l3l2PPExample-變軸力桿變軸力桿例例 等截面直桿，沿桿長等截面直桿，沿桿長有均布載荷有均布載荷q及端部集中及端部集中力力P的作用，求桿中的最的作用，求桿中的最大應(yīng)力和總伸長大應(yīng)力和總伸長軸力分析軸力分析x xo oLPq x x解解:建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系Example-變軸力桿變軸力桿xlPq xoPFNq從而，橫截面上的正應(yīng)力為從而，橫截面上的正應(yīng)力為最大正應(yīng)力發(fā)生在最大正應(yīng)力發(fā)生在x=0處處Example-變軸力桿變軸力桿 取長度為取長度為dx的微元體的微元體，由胡克定理知，微元體的伸長為由胡克定理知，微元體的伸長為oFN+dFNx FN q xdxdFN對微段變形忽略不計(jì)從而，直桿的總伸長為從而，直桿的總伸長為Example-變截面變軸力變截面變軸力30004000PPPACB370240例例 橫截面為正方形的橫截面為正方形的磚柱分為上、下兩段，磚柱分為上、下兩段，其橫截面尺寸如圖所示其橫截面尺寸如圖所示，已知已知P=50kN，材料的材料的彈性模量彈性模量E=3GPa，確確定磚柱頂端的位移定磚柱頂端的位移Example-變截面變軸力變截面變軸力解解 如果基礎(chǔ)無沉陷，如果基礎(chǔ)無沉陷，則磚柱頂端的位移則磚柱頂端的位移D DA等等于全柱的縮短量于全柱的縮短量D Dl磚柱橫截面上的軸力磚柱橫截面上的軸力N分布為分布為50kN150kN 軸力圖為軸力圖為30004000PPPACBExample-變截面變軸力變截面變軸力磚柱的縮短量為磚柱的縮短量為30004000PPPACBExample-變截面變軸力變截面變軸力由于磚柱下端固定，根據(jù)由于磚柱下端固定，根據(jù)變形的幾何相容性條件，變形的幾何相容性條件，磚柱頂端的位移磚柱頂端的位移D DA等于整等于整個(gè)磚柱的變形個(gè)磚柱的變形D Dl，即即30004000PPPACB桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架位移桁架位移n桁架的變形通常用其桁架的變形通常用其節(jié)點(diǎn)位移來表示節(jié)點(diǎn)位移來表示n由于桁架中所有桿件由于桁架中所有桿件的受力均為軸向力，的受力均為軸向力，所以，利用拉壓桿件所以，利用拉壓桿件的變形和桁架的幾何的變形和桁架的幾何約束特征，可分析桁約束特征，可分析桁架的變形架的變形桁架位移桁架位移例例 圖示簡單桁架由圖示簡單桁架由AB和和BC兩桿組成，夾角為兩桿組成，夾角為a a，兩桿的截面積均為兩桿的截面積均為A，彈性模量為彈性模量為E，節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)B處受處受載荷載荷P的作用，求桁架在的作用，求桁架在B點(diǎn)處的總位移點(diǎn)處的總位移解解 設(shè)桿設(shè)桿AB和和BC的軸力分的軸力分別為別為FN1和和FN2，以節(jié)點(diǎn)為研以節(jié)點(diǎn)為研究對象，由究對象，由B點(diǎn)的點(diǎn)的平衡條件平衡條件得得FN1 FN2 PxyB平衡關(guān)系平衡關(guān)系桁架位移桁架位移本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系-Hookes Law由此可計(jì)算各桿的伸長由此可計(jì)算各桿的伸長先假想去掉節(jié)點(diǎn)FN1 FN2 PxyB桁架位移桁架位移利用利用幾何關(guān)系幾何關(guān)系法分法分析點(diǎn)析點(diǎn)B的位移的位移B精確位置：弧線法精確位置：弧線法B小變形假定：切線代替弧線小變形假定：切線代替弧線近似位置：切線法近似位置：切線法B桁架位移桁架位移簡單拉壓靜不定問題簡單拉壓靜不定問題靜不定問題靜不定問題-概念概念n靜靜不不定定問問題題:未未知知約約束束反反力力的的數(shù)數(shù)目目超超過過獨(dú)獨(dú)立立平平衡方程數(shù)目衡方程數(shù)目n未知約束反力的數(shù)目與獨(dú)立平衡方程數(shù)目之差，未知約束反力的數(shù)目與獨(dú)立平衡方程數(shù)目之差，稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) 保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束稱為束稱為多余約束多余約束n理論力學(xué)研究的是靜定系統(tǒng)的問題，對靜不定理論力學(xué)研究的是靜定系統(tǒng)的問題，對靜不定問題，必須考慮材料的變形特征，問題才能得問題，必須考慮材料的變形特征，問題才能得以解決，是材料力學(xué)的任務(wù)之一以解決，是材料力學(xué)的任務(wù)之一靜不定問題靜不定問題-概念概念（靜定問題）（靜定問題）（一次靜不定問題）（一次靜不定問題）靜不定問題靜不定問題-概念概念n對超靜定問題，多于約束是相對的，對超靜定問題，多于約束是相對的，可選擇不同的約束為多于約束可選擇不同的約束為多于約束多于約束多于約束多于約束多于約束靜定不問題靜定不問題-概念概念n對超靜定問題，多于約束是相對的，對超靜定問題，多于約束是相對的，可選擇不同的約束為多于約束可選擇不同的約束為多于約束多于約束多于約束多于約束多于約束靜不定問題靜不定問題-概念概念n靜定與靜不定的辯證關(guān)系靜定與靜不定的辯證關(guān)系多余約束的多余約束的兩種作用：兩種作用：n增加了未知力個(gè)數(shù)，同時(shí)增加對變形的限增加了未知力個(gè)數(shù)，同時(shí)增加對變形的限制與約束，前者使問題變?yōu)椴豢山?，后者使制與約束，前者使問題變?yōu)椴豢山猓笳呤箚栴}變?yōu)榭山鈫栴}變?yōu)榭山鈔求解靜不定問題的基本方法求解靜不定問題的基本方法平衡、變平衡、變形協(xié)調(diào)、本構(gòu)關(guān)系（形協(xié)調(diào)、本構(gòu)關(guān)系（現(xiàn)在的本構(gòu)關(guān)系體現(xiàn)為現(xiàn)在的本構(gòu)關(guān)系體現(xiàn)為力與桿件伸長的關(guān)系力與桿件伸長的關(guān)系）求解靜不定問題的基本方法求解靜不定問題的基本方法Example-1例例 兩端固定的桿件在中間兩端固定的桿件在中間截面截面C處受軸向力處受軸向力F的作用，的作用，求求A、B兩端的支座反力。兩端的支座反力。ABl1Cl2F解解 解除解除A、B兩端的兩端的固定約束，代之于約束反固定約束，代之于約束反力力FAy和和FBy，其受力如圖其受力如圖ABCF FBy F AyExample-1根據(jù)力的平衡方程，有根據(jù)力的平衡方程，有由于此方程不能求解兩個(gè)未知量，由于此方程不能求解兩個(gè)未知量，故需要補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程來自于問故需要補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程來自于問題的位移約束。對本問題，由于兩端題的位移約束。對本問題，由于兩端固定，桿件總的伸長為零。固定，桿件總的伸長為零。ABCF FBFA 平衡關(guān)系平衡關(guān)系幾何關(guān)系幾何關(guān)系變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件如記如記D DlAC和和D DlBC分別為桿分別為桿AC和桿和桿BC的伸長的伸長，桿桿AB的總伸長為的總伸長為D DlAB，則有則有Example-1將上式代入變形幾何條件中，得將上式代入變形幾何條件中，得n本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系Hookes LawABCF FBFA Example-1這是變形協(xié)調(diào)條件的未知力表示。這是變形協(xié)調(diào)條件的未知力表示。將此式和靜力平衡方程式聯(lián)立，可求的將此式和靜力平衡方程式聯(lián)立，可求的支座的約束反力支座的約束反力