第十三章第十三章 能量法能量法13-1 概概 述述 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變能。簡稱應(yīng)變能。物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即移上所做的功，即=W13-2 桿件變形能計算桿件變形能計算一、軸向拉伸和壓縮一、軸向拉伸和壓縮二、扭轉(zhuǎn)二、扭轉(zhuǎn)三、彎曲三、彎曲純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：13-3 變形能的普遍表達式變形能的普遍表達式即即：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和?？偤汀Ｋ械膹V義力均以靜力方式，按一定比例由所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由O增加至最終值。任一廣義位移增加至最終值。任一廣義位移 與與整個力系有關(guān)，但與其相應(yīng)的廣義力整個力系有關(guān)，但與其相應(yīng)的廣義力 呈線性關(guān)系。呈線性關(guān)系。例：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功例：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功能原理求自由端能原理求自由端B的撓度。的撓度。F解：解：例題：懸臂梁在自由端承受集中力例題：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩M0作用。設(shè)作用。設(shè)EI為常數(shù)，試求為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能。梁的應(yīng)變能。LFMeAB解：解：彎矩方程彎矩方程 變形能變形能LFM0AB 當(dāng)當(dāng)F和和M0分別作用時分別作用時 用普遍定理用普遍定理13-4 互等定理互等定理位移發(fā)生點位移發(fā)生點荷載作用點荷載作用點F1F2F1F2F1F2F1功的互等定理功的互等定理:位移互等定理位移互等定理:例：求圖示簡支梁例：求圖示簡支梁C截面的撓度。截面的撓度。F 例：求圖示懸臂梁中點例：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。F13-5 卡氏定理卡氏定理若只給若只給 以增量以增量 ，其余不變，在，其余不變，在 作用下，原各力作用點將作用下，原各力作用點將產(chǎn)生位移產(chǎn)生位移變形能的增加量：變形能的增加量：略去二階小量，則：略去二階小量，則：如果把原有諸力看成第一組力，把如果把原有諸力看成第一組力，把 看作第二組力，根據(jù)互等看作第二組力，根據(jù)互等定理：定理：所以：所以：變形能對任一載荷變形能對任一載荷Fi 的偏導(dǎo)數(shù)，等于的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點沿作用點沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理推導(dǎo)過程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)。推導(dǎo)過程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)。橫力彎曲：桁架桿件受拉壓：軸受扭矩作用：13-6 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分莫爾定理莫爾定理（莫爾積分）（莫爾積分）例：試用莫爾定例：試用莫爾定理計算圖理計算圖(a)所所示示懸臂梁自由端懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。13-7計算莫爾積分的圖乘法計算莫爾積分的圖乘法 在應(yīng)用莫爾定理求位移時，需計算下列在應(yīng)用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：形式的積分：對于等直桿，對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，可以提到積分號外，故只需計算積分故只需計算積分直桿的直桿的M0(x)圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。頂點頂點頂點頂點二次拋物線二次拋物線 例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。LFF解（1）求自由端的撓度Fm=1(2)求自由端的轉(zhuǎn)角求自由端的轉(zhuǎn)角例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示簡支梁的最大撓度和最大示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。qM解解（1）簡支梁的最大撓度簡支梁的最大撓度（2）求最大轉(zhuǎn)角）求最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個支座處最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個支座處 例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示簡支梁示簡支梁C截面的撓截面的撓度和度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。CL12TU34解：解：例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的的撓度和轉(zhuǎn)角。撓度和轉(zhuǎn)角。CL12TU35解：解：例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點C處的處的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU36解：解：例：圖示梁，抗彎剛度為例：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載，承受均布載荷荷q及集中力及集中力X作用。用圖乘法求：作用。用圖乘法求：(1)集中力作用端撓度為零時的集中力作用端撓度為零時的X值；值；(2)集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時的集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時的X值。值。CL12TU37F解：解：(1)F(2)例：圖示梁的抗彎剛度為例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求，試求D點的點的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU38解：解：例：圖示開口剛架，例：圖示開口剛架，EI=const。求。求A、B兩截面的相對角位移兩截面的相對角位移 AB 和沿和沿P力作用線方向力作用線方向的相對線位移的相對線位移 AB。CL12TU39解：解：例：用圖乘法求圖示階梯狀梁例：用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉(zhuǎn)截面的轉(zhuǎn)角及角及E截面的撓度。截面的撓度。CL12TU40解：解：例：圖示剛架，例：圖示剛架，EI=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角A。CL12TU41解：解：