中 國 石 油 大 學(xué) （ 華 東 ） 理 學(xué) 院 基 礎(chǔ) 數(shù) 學(xué) 系 金 貴 榮 。和 公 共 選 修 課 程 程公 共 基 礎(chǔ) 課 程 、 專 業(yè) 課拔 尖 班 的 課 程 設(shè) 置 為 ：，程 中 最 重 要 的 課 程 之 一 基 礎(chǔ) 課其 中 高 等 數(shù) 學(xué) 就 是 公 共根 據(jù) 教 學(xué) 大 綱 的 要 求 ，本 課 程 共 上 兩 個 學(xué) 期 ， 個 學(xué) 分 ，11 )56( 176 90( )86 學(xué) 時 。 共是 工 科 各 專 業(yè) 考 研 必 考課 程 ， 也 是 工 科 各 專 業(yè) 許 多后 續(xù) 專 業(yè) 課 程 的 基 礎(chǔ) 。因 此 ， 牢 固 地 掌 握 高 等數(shù) 學(xué) 的 基 本 內(nèi) 容 ，熟 練 地 運用 它 的 基 本 方 法 ，深 刻 理 解 它 的 基 本 思 想 ， 是 學(xué) 好工 科 各 專 業(yè) 的 后 續(xù) 專業(yè) 課 的 關(guān) 鍵 和 保 障 。 量 非 初 等 函 數(shù) ）（ 主 要 是 初 等 函 數(shù) 或 少其 主 要 內(nèi) 容 包 括 ： 究內(nèi) ， 用 極 限 的 方 法 ， 研高 等 數(shù) 學(xué) 是 在 實 數(shù) 范 圍函 數(shù) 性 質(zhì).的 一 門 課一 元 函 數(shù) 微 積 分.常 微 分 方 程 函 數(shù) 與 極 限 ，導(dǎo) 數(shù) 、 微 分 及 其 應(yīng) 用 ，應(yīng) 用 ，不 定 積 分 與 定 積 分 及 其.廣 義 積 分 ,空 間 解 析 幾 何 :多 元 函 數(shù) 微 積 分 .無 窮 級 數(shù) 多 元 函 數(shù) 的 極用 ，偏 導(dǎo) 數(shù) 、 全 微 分 及 其 應(yīng) 數(shù) 量 值 函限 與 連 續(xù) ，數(shù) 的 積 分 重 積 分 ， ，第 一 型 曲 線 、 曲 面 積 分 ;用數(shù) 量 值 函 數(shù) 積 分 學(xué) 的 應(yīng)向 量 值 函 數(shù) 的 積 分 分 ） ，（ 第 二 型 曲 線 、 曲 面 積 學(xué) 習(xí) 方 法 ：.1上 課 紀(jì) 律 ：.2好 習(xí) 慣 。 題 的學(xué) 習(xí) 中 ， 要 養(yǎng) 成 多 想 問容 后 ， 再 去 做 作 業(yè) ， 在 學(xué) 內(nèi)習(xí) ， 基 本 掌 握 了 課 堂 教急 于 完 成 作 業(yè) ， 通 過 復(fù) 不 要要 注 意 以 聽 為 主 。 課 后必 須 記 適 當(dāng) 的 筆 記 ， 但 題 來 聽 課 ，上 課 前 先 預(yù) 習(xí) ， 帶 著 問課 ，不 遲 到 ， 不 早 退 ， 不 曠 累 計 缺 課 超 過 該 課 程 授， 不 得 參 加 期 末 考 試 ；課 學(xué) 時 的 31 上 課 必 須 關(guān) 閉 手 ！機(jī) ， 嚴(yán) 禁 上 課 玩 手 機(jī) 作 業(yè) ：.3 題 ，練 習(xí) 冊 上 的 習(xí) 題 為 必 做均 為 選 做 題 ， 不 交 。 ）擬 題 、 課 本 上 的 練 習(xí) 題 模期 中 期 末 考 試 題 、 期 末一 章 的 測 驗 題 、 往 年 的 （ 其 中 每記 入 期 末 總 評 成 績 。業(yè) 成 績 以 作細(xì) 的 登 記 ， 并 給 出 平 時和 完 成 情 況 有 一 個 較 詳 。 作 業(yè) 的 收 交業(yè) 總 數(shù) 的一 次 ， 每 次 重 點 批 改 作 業(yè)書 寫 工 整 ！ 每 周 收 交 作作 業(yè) 要 按 數(shù) 學(xué) 排 版 格 式10 31輔 導(dǎo) 答 疑 ：.4電 話 ： 15020063032 答 疑 室 。堂時 間 ： 待 定 ； 地 點 ： 南 112 高 等 數(shù) 學(xué) 練 習(xí) 冊 發(fā) 放 時 間 、 地 點 及 相 關(guān) 要 求 ：時 間 ： 星 期 二 、 三 、 五 （ 9月 20、 21、 23日 ）下 午 3： 00 5： 00地 點 ： 文 理 樓 237 室聯(lián) 系 人 ： 李 明 （ 電 話 15254205011）要 求 ： 每 個 班 所 有 同 學(xué) 都 要 買 練 習(xí) 冊 ， 由 班 長 統(tǒng)一 收 好 錢 （ 最 好 是 整 錢 ， 建 議 在 班 費 中 支 ） 在 上 述 高 等 數(shù) 學(xué) 練 習(xí) 冊 每 本 售 價 ： 17元規(guī) 定 時 間 內(nèi) 購 買 。 1.1 函 數(shù) 的 概 念 及 其 初 等 性 質(zhì) 1.2 數(shù) 列 極 限 1.3 函 數(shù) 極 限 1.4 無 窮 小 與 無 窮 大 1.5 函 數(shù) 連 續(xù) 性 1.6 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 1.一 些 常 用 的 符 號 .“ 至 少 有 一 個 ”： 表 示 “ 存 在 一 個 ” 或 .”， 則若“： 表 示 “ 可 推 出 ” 或 .或 “ 等 價 ” “ 充 分 必 要 ”： 表 示 “ 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ” 或 .: “ 對 每 一 個 ”表 示 “ 對 任 意 一 個 ” 或 2.實 數(shù) 集 ,2,1,0* N自 然 數(shù) 集 ： ,3,2,1)( NZ正 整 數(shù) 集 ：,1,2 ，負(fù) 整 數(shù) 集 ： Z ，整 數(shù) 集 ： 101 Z有 理 數(shù) ： 無 限 不 循 環(huán) 小 數(shù) .無 理 數(shù) 統(tǒng) 稱 為 實 數(shù)有 理 數(shù) 、 ,全 體 有 理 數(shù)有 理 數(shù) 集 ： Q ,全 體 無 理 數(shù)無 理 數(shù) 集 ： I .IQR 實 數(shù) 集 ：無 限 循 環(huán) 小 數(shù)無 理 數(shù) ： .)0 形 式 的 數(shù)q ,( Zqpqp 或 凡 能 表 示 為 .形 式 的 數(shù)或 表 示 不 成 qp 有 理 數(shù) 集 的 稠 密 性 ： 任 意 兩個 不 同 的 有 理 數(shù) 之 間 都 有 無 窮 多個 有 理 數(shù) ba (（ 無 理 數(shù) 集 、 實 數(shù) 集 ）（ 無 理 數(shù) 、 實 數(shù) ）（ 無 理 數(shù) 、 實 數(shù) ） 。實 數(shù) 集 的 連 續(xù) 性 ： 實 數(shù) 集 與 數(shù) 軸 上 點 的 集 合 之 間 建立 一 一 對 應(yīng) 關(guān) 系 。 o x11 22 . . .實 數(shù) 集 是 連 續(xù) 的 或 完 備 的 。 .， 反 之 亦 然點說 成 數(shù)不 加 區(qū) 別 ， 常 將在 高 等 數(shù) 學(xué) 中 ， 數(shù) 與 點x x“ ”“ ” )ba 2 ba 3.常 用 不 等 式 : .0, ,0, xx xxxRx .0,.1 xRxo 絕 對 值 : )0(.3 hhx o .hxh )0(.4 hhxo .hxhx 或 .,.2 xxxRxo .yxyxyx ,.5 Ryxo 三 角 不 等 式.6 o ( 平 均 值 不 等 式 ) 則設(shè) .,2,1,0 niai n aaaaaaaaa n nn nn 212121 111( 調(diào) 和 平 均 值 ) ( 幾 何 平 均 值 ) ( 算 術(shù) 平 均 值 )（ 證 明 略 ）更 一 般 地 ， 有,)1( niRxi .2121 nn xxxxxx 4.鄰 域 : ,0 為 鄰 域 的 中 心點 x .,0 為 鄰 域 的 半 徑 ),( 00 xUx O空 心 鄰 域 ：的點 ),(: 00 xUx 實 心 鄰 域的點 .),( 000 xxxxx x 0 x 0 x0 x .),(),(0 00000 xxxxxxx x 0 x 0 x0 x 稱 為對 應(yīng) 的 數(shù)數(shù) yx函 數(shù) 值 的 集 合 ：一 . 函 數(shù) 的 定 義定 義 .MD 和設(shè) 給 定 兩 個 非 空 實 數(shù) 集 對 應(yīng)按 照 某 種 對 應(yīng) 法 則若 , fDx 唯 一 確 定,My的 一 個 實 數(shù) 上 的 函 數(shù) ，是 定 義 在則 稱 Df )(: xfyxMDf 表 示 為 ： 的 定 義 域 ，稱 為 函 數(shù) fD ;)(xfyx 的 函 數(shù) 值 ， 記 作 RMDxxfyyDf ),()( .的 值 域稱 為 函 數(shù) f函 數(shù) 傳 統(tǒng) 的 習(xí) 慣 符 號 ： .)( Dxxfy ， 注 意 ： ， 可 以 多 對 一 ，定 義 中 的 對 應(yīng) 法 則 f 一 個 函 數(shù) 也 可 以 在 其 定 義 域 的 不 同 部 分 分 別用 不 同 的 解 析 式 子 表 示 ， 則 稱 之 為 分 段 定 義 的 函 數(shù) ，簡 稱 分 段 函 數(shù) . .0,1 ,0,21 ,0,)(: 2 xx x xxxf例 如 o xy121 )(xfy .不 能 一 對 多 但 絕 有 些 特 殊 的 函 數(shù) 只 能 用 語 言 來 描 述 對 應(yīng) 法 則 ，并 用 約 定 的 符 號 予 以 表 示 : f.,1 的 最 大 整 數(shù) ”是 不 超 過對 應(yīng) 的“例 xyRx ., Rxxy 記 作 ： 稱 為 取 整 函 數(shù)例 如 ： 5.3= - 4.9= .1 ,xxx Rx 有顯 然 ，（ 求 極 限 時 有 用 ） 1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 -1-3 xyo1234 xy 階 梯 曲 線，5 .5時 ，當(dāng) )(1 Znnxn x n .,2 ”對 應(yīng) 的“例 xxyRx ., Rxxy 記 作 ： ., Rxxxxy 即 稱 為 非 負(fù) 小 數(shù) 部 分 函 數(shù).,10 , xxxx Rx 有顯 然 ， o xy 11 xy 2 3 41234 例 3 符 號 函 數(shù) .0,1 ,0,0 ,0,1sgn xxxx 當(dāng)當(dāng)當(dāng),sgnxxx .sgn 的 符 號 的 作 用起 了 xx .,0 ,1)( 是 無 理 數(shù) 時當(dāng) 是 有 理 數(shù) 時當(dāng) xxxD例 4 狄 利 克 萊 函 數(shù)德 國 ）（ ,18591805,Dirichlet 1 -1 xyo xy sgn有 理 數(shù) 點無 理 數(shù) 點 1 xy o )(xDy 例 5 黎 曼 函 數(shù)德 國 ）（ ,18661826,Riemann.G .)10(10,0 ,(,1)( 內(nèi) 的 無 理 數(shù)，和， 為 既 約 真 分 數(shù) ）x qpZqpqpxqxR 1 xyo )(xRy 21 31 21 31 32 41 4341 81 83 85 8781 三 . 函 數(shù) 的 初 等 性 質(zhì) .,)( Dxxfy 設(shè)1 函 數(shù) 的 有 界 性 ,MxfDx,M MM )(0)3( 若 ,)(,0)1( MxfDxM 若 .)( 上 有 界在則 稱 Dxf pxfDxRp )(,)2( 若 .)( 界上 有 上在則 稱 Dxf ,)( qxf )( q )(下. )()(上 既 有 上 界 又 有 下 界 在函 數(shù)上 有 界在函 數(shù) DxfDxf 定 理 .上 無 界在則 稱 Dxf )( ., )0(),0()0,(1)(6 上 有 界區(qū) 間在 任 何 不 包 含 原 點 的 閉 無 界 ，與在證 明 ：例 baxxf 證 ,0M :Mx .1)( Mxxf MM MxM 10 ;)0(),0()0,(1)( 無 界與在 xxf , （ 不 包 含 原 點 ）而 bax ,bxa 即,111 axb .,1)( 上 有 界在 baxxf ,)1( M 2 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 , 2121 時當(dāng)如 果 xxDxx .)( 的單 調(diào) 遞 增上 是在 區(qū) 間則 稱 函 數(shù) Dxf ),()(: 21 xfxf 恒 有 )(xfy )( 1xf )( 2xf xyo D ( ) （ 減 ） .,)( Dxxfy 設(shè) x)(xfy)( 1xf )( 2xfyo D時 ，上 單 調(diào) 遞 增 或 單 調(diào) 遞 減在當(dāng) Dxf )( ; )(的單 調(diào)上 是在 則 稱D xf .)( 單 調(diào) 函 數(shù)上 的為 Dxf )(xfy )( 1xf )( 2xf xyo D , 2121 時當(dāng)如 果 xxDxx ),()(: 21 xfxf 恒 有 .)( 單 調(diào) 不 減上 是在 區(qū) 間則 稱 函 數(shù) Dxf )( )(xfy)( 1xf )( 2xf xyo D )( 增 3 函 數(shù) 的 奇 偶 性 ),()(,)1( xfxfDx 若 ),()(,)2( xfxfDx 若 ,)( 關(guān) 于 原 點 對 稱上 定 義 ， 且在設(shè) DDxf .)( 稱 為 非 奇 非 偶 函 數(shù)否 則 ， xf .),()( ,)0(),()(7 數(shù) 的 和內(nèi) 能 表 成 奇 函 數(shù) 與 偶 函在證 明 內(nèi) 的 任 意 函 數(shù)為 定 義 在設(shè)例 llxf lllxf 證 ,)()( 21)( xfxfxF 令 ,)()(21)( xfxfxG 偶 函 數(shù)奇 函 數(shù).)()()( xGxFxf 顯 然 為 偶 函 數(shù) ；則 稱 )(xf .)( 為 奇 函 數(shù)則 稱 xf 4 函 數(shù) 的 周 期 性為 周 期 函 數(shù) ，則 稱 )(xf .)( 的 一 個 周 期稱 為 xfl ,)( 上 定 義在設(shè) 函 數(shù) Dxf ,0l若 )()( xflxf 有定 義 ,DlxDx 且 .為 無 窮 區(qū) 間說 明 周 期 函 數(shù) 的 定 義 域 D2l23l 2l 23l. . . . xyo )(xfy 的 所 有 周 期 中 存 在在 周 期 函 數(shù)若 )(xf 最 小 的 正，周 期 T .)( 的為則 稱 這 個 最 小 正 周 期 xfT 基 本 周 期.周 期 都 是 指 基 本 周 期通 常 我 們 所 說 的 函 數(shù) 的 ，有 一 個 周 期若 )(xf .)( 必 有 無 窮 多 個 周 期則 xf 則的 一 個 周 期為事 實 上 ， 若 ,)(xfl)()( lxfxf )( llxf )2( lxf .)( nlxf .)()( 的 周 期也 是 xfNnnl ,2cos,sin)( Txxxf 的 周 期 為 ,cot,tan)( Txxxf 的 周 期 為 ,2)sin()( TCBxAxF 的 周 期 為 ,2)cos()( TCBxAxF 的 周 期 為 ,)tan()( TCBxAxF 的 周 期 為 ,)cot()( TCBxAxF 的 周 期 為 則的 周 期是， 而若 ,)()()( 1 xfTxfxF iini i ,)(, 21 的 周 期是的 最 小 公 倍 數(shù) xFTTTT n 常 用 結(jié) 果 !)( 的 最 小 正 周 期不 一 定 是但 xFT 以 任 意 正 有狄 利 克 萊 函 數(shù)例 .,0 ,1)(8 Ix QxxD .小 正 周 期理 數(shù) 為 周 期 ， 但 沒 有 最, Qr事 實 上 ， ，若 Ix )( rxD .)(xD的 周 期 ，即 任 意 正 有 理 數(shù) 是 )(xD 但 正 有 理 數(shù) 中 不 存 在 最 小 值 ， ，若 Qx ，則 Qrx ，Qx，Qrx ,1 ，則 Irx .Ix,Irx ,0 .)( 無 最 小 正 周 期故 xD 1. 復(fù) 合 函 數(shù) .),(,)( AxxuBuufy 和設(shè) )( BxAxxD 且若 .BA ）（或 ,)(, BxuDx 對 應(yīng) 唯 一 一 個先 通 過 法 則即 .RyDx 都 對 應(yīng) 唯 一 一 個 .,)( Dxxfy 定 義 .Ryf 對 應(yīng) 唯 一 一 個再 通 過 法 則 .)()( 復(fù) 合 而 成 的 復(fù) 合 函 數(shù)與稱 為 由 函 數(shù) ufyxu 作 ：義 了 一 個 新 的 函 數(shù) ， 記 上 定于 是 在 D稱 為 外 函 數(shù) ，其 中 ： )(ufy 稱 為 內(nèi) 函 數(shù) ，)(xu .稱 為 中 間 變 量u 注 意 : ,arcsinuy 例 如 ;2 2xu 沒 有 意 義 ！則 )2arcsin( 2xy ，和給 定 兩 個 函 數(shù) AxxuBuufy )(,)(.10 .)( xfy 算 ：不 一 定 都 能 進(jìn) 行 復(fù) 合 運 )( BxAxxD 且 .BA ）（或 可 以 復(fù) 合 的 條 件 是 ： ,)2cot(: xy 例 如,uy 由 ,cotvu .2 復(fù) 合 而 成xv .20 進(jìn) 行 復(fù) 合 運 算 意 有 限 個 函 數(shù) 也 可 以在 滿 足 相 應(yīng) 條 件 時 ， 任 2. 反 函 數(shù) 則若 給 定 函 數(shù) ,)( Dxxfy 都 對 應(yīng)通 過 fDx , 唯 一 確 定 .)(Dfy的 ， 也 有是 否 通 過 某 對 應(yīng) 法 則反 之 ， ),(Dfy唯 一 一 個 與 之 對 應(yīng) 呢 ？Dx 不 一 定 ！定 義 對 應(yīng)通 過 某 一 法 則如 果 ),(Dfy 唯 一 一 個,)( 成 立 ）（ 使 xfyDx .)(,)(1 Dfyyfx 一 個 新 的 函 數(shù) ， 上 定 義 了則 稱 在 )(Df的 反 函 數(shù) ， 記 作稱 它 為 )(xfy .存 在 反 函 數(shù)只 有 一 一 對 應(yīng) 函 數(shù) ， 才結(jié) 論 ： 的 反 函 數(shù) ， 則是如 果 )()(1 xfyyfx 的 反 函 數(shù) ，也 是 )()( 1 yfxxfy 或 者 說 ，.)()( 1 互 為 反 函 數(shù)與 yfxxfy 的 定 義)(xf，的 值 域域 就 是 )(1 yf )()( 1 yfxf 的 值 域 就 是， 且的 定 義 域 .,)( Dxyxf )()( 11 ff x .)(,)(1 Dfyxyf )()( ff y 表 示 因 變 量 ，表 示 自 變 量 ，習(xí) 慣 上 ， 總 是 用 yx 的 反 函 數(shù) 一 般 記 作 ：，所 以 ， Dxxfy )( .)(,)(1 Dfxxfy .)(,)(1 Dfyyfx 關(guān)系 相 同 函 數(shù)注 意 ：求 反 函 數(shù) 的 方 法 ： .)(,)()( 1 Dfyyfxxfy 中 解 出先 從再 按 習(xí) 慣 寫 成 ： .)(,)(1 Dfxxfy ).0( )()()(1 a baxfxfx反 函 數(shù) 的互 為 反 函 數(shù) ， 求與設(shè)例 15 4 習(xí) 題練 習(xí) 冊 P解 互 為 反 函 數(shù) ，與 )()( xfx 有對 一 切 x )( xf .x,)( baxfy 設(shè) 則 )()( baxfy ,bax)(1 byax .)( abay .)()( 的 反 函 數(shù)為故 baxfabaxy . )()( 1對 稱關(guān) 于 直 線 的 圖 形和 它 的 反 函 數(shù)函 數(shù) xy xfyxfy )(xfy xyo ),( xyM ),( yxM )(1 xfy )(1 yfx xy 定 理 .)( )(,)()( 1也 嚴(yán) 格 單 調(diào) 增 加數(shù) 在 ， 且 反 函則 必 存 在 反 函 數(shù) ，嚴(yán) 格 單 調(diào) 增 加在若 Df Dfyyfx Dxfy （ 或 減 少 ）（ 或 減 少 ） 證 明 略 注 意 ： .分 條 件 ， 非 必 要 條 件 它 存 在 反 函 數(shù) 的 充函 數(shù) 的 嚴(yán) 格 單 調(diào) 性 只 是 .01,1 ,10,)( xx xxxf例 如 ： 非 單 調(diào) ，在 1,1上 存 在 反 函 數(shù) ：但 它 在 2,0)1,1( f )(1 yfx .21,1 ,10,)(1 xx xxxfy即 1 xyo 12-1 )(xfy -1 2 )(1 xfy ,10 y,y .21 y,1 y 基 本 初 等 函 數(shù) （ 6類 ） ： 常 值 函 數(shù) 、 冪 函 數(shù) 、 指 數(shù)函 數(shù) 、 對 數(shù) 函 數(shù) 、 三 角 函 數(shù) 、 反 三 角 函 數(shù) . 1.常 值 函 數(shù) .Cy 2.冪 函 數(shù) ).( 是 常 數(shù)xy 3. 指 數(shù) 函 數(shù) ),1,0( aaay x .xey 4.對 數(shù) 函 數(shù) ),1,0(log aaxy a .lnxy 5. 三 角 函 數(shù) ,sin xy ,cos xy ,tan xy ,cot xy ,sec xy .csc xy 6. 反 三 角 函 數(shù) ,arcsinxy ,arccosxy ,arctanxy cotarc .xy由 基 本 初 等 函 數(shù) 經(jīng) 過 有 限 次 四 則 運 算 和 有 限 次復(fù) 合 運 算 所 構(gòu) 成 的 并 且 可 以 用 一 個 式 子 表 示 的 函 數(shù) ,統(tǒng) 稱 為 初 等 函 數(shù) . )1ln(2)1sin(: 232 xexy xx 例 如 ,2sinh xx eex 雙 曲 正 弦 ,2cosh xx eex 雙 曲 余 弦 ,coshsinhtanh xx xx ee eexxx 雙 曲 正 切 .sinhcoshcoth xx xx ee eexxx 雙 曲 余 切 雙 曲 函 數(shù) 都是初等函數(shù) :冪 指 函 數(shù)都 是 初 等 函 數(shù) 時 ，與當(dāng) )()( xxf . )(ln)( 也 是 初 等 函 數(shù)xfxe 復(fù) 合 而 成 ）（ 由 )(ln)(, xfxuey u )0)()( )( xfxfy x 嗎 ？問 下 列 函 數(shù) 是 初 等 函 數(shù) 的 初 等 函 數(shù) ， 試為 具 有 相 同 定 義 域與設(shè)例 Dgf1 ;,)(,)(max)()2 ;,)()()()1 DxxgxfxG DxxgxfxF .,)(,)(min)( DxxgxfxH 解 )()1 xF ;)( 是 初 等 函 數(shù)xF)()2 xG )()()()( xgxfxgxf 21)(xH )()()()( 21 xgxfxgxf .)(),( 都 是 初 等 函 數(shù)xHxG 2)()( xgxf .!)()2(.1, ,10,2)()1(2 nnfxx xxxf 等 函 數(shù) ？判 斷 下 列 函 數(shù) 是 否 為 初例解 解 析 式 表 示 ， 中 不 能 用 一 個在 其 定 義 域 ),0)()1( xf .)( 不 是 初 等 函 數(shù)xf 不 能 表， 而的 定 義 域 為 nnNnf 21!)()2( .增 加的 增 大 ， 運 算 的 次 數(shù) 也的 解 析 式 ， 隨 復(fù) 合 函 數(shù) 經(jīng) 有 限 次 運 算示 成 基 本 初 等 函 數(shù) 及 其n .)( 不 是 初 等 函 數(shù)nf .,2,1,)( nnfxn數(shù) 列 是 整 標(biāo) 函 數(shù) :注 意 ： , 21 nn xxxx ：表 為 數(shù) 列 的 通 項1x 2x3x 4x nx xo , 21 nxxx 數(shù) 列 對 應(yīng) 著 數(shù) 軸 上 一 個 點 列 . 可 看 作 一 動點 在 數(shù) 軸 上 依 次 取 .)1(1 1 時 的 變 化 趨 勢當(dāng)觀 察 數(shù) 列 nnn .1)1(1, 1 無 限 接 近 于無 限 增 大 時當(dāng) nxn nn .0)1(, 無 限 接 近 于無 限 增 大 時同 理 ， 當(dāng) nxn nn ”限 接 近 于 無無 限 增 大 時當(dāng)存 在 常 數(shù)對 數(shù) 列“ . ,a xnax nn以 上 例 子 反 映 了 :一 類 數(shù) 列 的 某 種 共 性 ., 為 它 的 極 限稱 這 類 數(shù) 列 為 收 斂 數(shù) 列 a都 不 收 斂 ，而 數(shù) 列 )1(, 2 nn 無 限 增 大當(dāng)事 實 上 n, .11)1(, 2 上 跳 動和的 變 化 在隨而也 無 限 增 大時 nn n .)1(2 個 確 定 常 數(shù)都 不 能 無 限 地 接 近 于 某與 nn 問 題 :意 味 著 什 么 ? 如 何 用 數(shù) 學(xué) 語 言 定 量 地 刻 劃 它 .axn axn 任 意 小 ， 就 能 保 證只 要 ,”的 自 然 數(shù)可 以 超 過 任 何 一 個 給 定“ Nn 充 分 大 ” ，的 含 義 就 是 ： “ n 亦 即 ”無 限 接 近 于 某 確 定 常 數(shù)無 限 增 大 時當(dāng)“ axn n, .ax n 無 限 接 近任 意 小 ， 從 而 就 能 保 證 ”無 限 接 近 于 某 確 定 常 數(shù)“ axn ”無 限 增 大“ n ,Nn .為 某 個 確 定 的 自 然 數(shù)其 中 N 用 數(shù) 學(xué) 式 子 表 示 為 ：用 數(shù) 學(xué)式 子 表 示 為 ： .1)1(1, 1 無 限 接 近 于無 限 增 大 時當(dāng)例 nxn nn 1nx nnn 11)1( 1 ,1001取 ,10011 n由 ,100時只 要 n ,100111 nxn有,10001取 ,1000時只 要 n ,1000111 nx n有,100001取 ,1000011 nx有,10000時只 要 n,0 ,)1( 時只 要 Nn .1 成 立有 nx 定 義 1 ）（ N . 為 定 數(shù)，設(shè) 有 數(shù) 列 axn,0若 NnNN , .axn . 的 極 限稱 為 數(shù) 列定 數(shù)，收 斂 于則 稱 數(shù) 列 nn xaax .)(lim naxax nnn 或記 作 ：定 義 2 ，不 存 在 極 限若 數(shù) 列 nx 都 不 是即 R，的 極 限 nx . 發(fā) 散 或 不 收 斂則 稱 數(shù) 列 nx :收 斂 數(shù) 列 的 幾 何 意 義 ,0 NnNN ,axn axnnlim . axa n即從 幾 何 上 看 就 是 ：收 斂 于數(shù) 列 , axn,0 , NN nxN 的 項所 有 下 標(biāo) 大 于),( 21 NN xx即 內(nèi) ，都 落 在 ),( aa x2a aa 2Nx1Nx. ),( 項 ） 項 （ 前的 有 限之 外 最 多 只 有 而 在N xaa n Nx2x 3x1x 注 意 : ，” 出 發(fā)從 結(jié) 論 “ axn用 定 義 ” 驗 證 數(shù) 列 極 限 ， 關(guān)鍵 是 如 何 由 任 意 給 定 的 尋 找 N ？,0N“ ，的 式 子關(guān) 于解 不 等 式 ， 得 n 則 N 的 式 子關(guān) 于 具 體 方 法 ： ,0對 任 意 給 定 的 例 1 .32312lim nnn證 明證 )31(3 )31(2632312 n nnnn 由,0 ,1 n,1 N ,Nnn93 2 n99 n1 . .32312 nn有 .32312lim nnn 例 2 .2152 1lim 22 nnnn證 明證 ,0 2152 122 nnn由 nnn 104 252 nn n 104 25 2 nnn n 34 52 nnn 552 . ,5 n ,5,3max N取 ,Nn.2152 122 nnn有 .2152 1lim 22 nnnn注 意 ）（ 3n 注 : .很 不 方 便 要 得 到有 時 直 接 解 不 等 式 axn的 式 子關(guān) 于 n ,nn ax ， 使 得適 當(dāng) 放 大因 此 ， 通 常 先 將 axn )(0, n nn 且較 為 簡 單 的 式 子放 大 的 原 則 ： 使 放 大 后 ！從 而 確 定 所 要 找 的再 解 不 等 式 Nn , , , ,件 考 慮 到 這 個 前 提 條的 值 時并 在 最 后 確 定必 須 大 于 某 個 正 數(shù)時 要 限 定 有簡 單為 使 式 子在 放 大 過 程 中另 外 Nn .5,3max2 N中 取如 例 )32( n中例 例 3 .1,0lim qqnn 其 中證 明證 0 ,0 nn qq由 ,lnln qn,lnln qN 取 ,時則 Nn ,0 nq就 有 .0lim nn q ;,0 上 式 恒 成 立時當(dāng) Nnq ,10 時當(dāng) q ,lnlnqn ,)10( .)0(1lim4 aann證 明例證 ,1)1 時當(dāng) a 恒 有, Nn.0111 n a .1lim nn a,1)2 時當(dāng) a ,1n a則 ),0(,1 nnn a 令 ,11)1( nnnnnn nna ,)1(0 nan na 1,0 . ,1 an解 得 ,Nn 1n a nn a 1 ,N )1( a.1lim nn a ,0 .1lim nn n同 理 可 證 ： .1,1,1 n bbba 則令 nn bb 1所 證 ，由 )2綜 合 之 ， 故 ,10)3 時當(dāng) a 1n a 1 n b,0 ,Nn ,N )1( b .1 n b從 而 .1n a 1 n b.1lim nn a .)0(1lim aann 定 理 1（ 唯 一 性 ） . 收 斂 ， 則 其 極 限 必 唯 一若 數(shù) 列 nx證 ,lim axnn 設(shè) ,lim bxnn 另 外 又 設(shè) 由 定 義 ,使 得,0 21 NNN ;1 axNn n .2 bxNn n ,max 21 NNN 取 上 述 二 式 同 時 成 立 ，則 ,Nnba )()( bxxa nn bxax nn .2 .ba 的 任 意 小 性 ， 可 知由 證 畢 定 理 2（ 有 界 性 ） . 必 有 界收 斂 ， 則若 數(shù) 列 nn xx .,0 MxNnM n 有，即反 之 不 然 ！ .)1(: 有 界 但 它 卻 發(fā) 散例 如 n證 ,lim axnn 設(shè) 由 定 義 , ,1對 ,1, axNnNN n則 aaxx nn 從 而 aaxn .1 a,1,max 1 axxM N令 ., MxNn n 有則 .,0 MxNnMx MnMn 有無 界 .2 發(fā) 散無 界 ， 則若 數(shù) 列定 理 nn xx ,5,41,3,21,1: 1)1( 無 界例 如 nn .它 發(fā) 散證 畢 中 從在 數(shù) 列 ,: 21 nn xxxx定 義 左 向 右 任 意 選 取 無 窮 多 項 ， 并 按 它 們 在 原 數(shù)列 中 的 次 序 排 成 一 個 新 的 數(shù) 列 ， 表 為 ： ,: 21 kk nnnn xxxx 121, kkk nnnnNn 且其 中 ： 的 一 個 子 數(shù) 列 ，為則 稱 nn xx k 簡 稱 子 列 . 項中 是 第數(shù) 列 項 ， 在 原中 的 第在 子 列表 示 kn nnk nx kxxn kk 又 子 列 是 按 它 們 在 成 的 ，原 數(shù) 列 中 的 次 序 排 列 而 21 nn即 1kk nn .knk 故 有特 別 ， 若 選 取 ,12 Nkknk ,: 123112 kk xxxx 的 奇 子 數(shù) 列 ；稱 為 nx 有若 選 取 ,2 Nkknk ,: 2422 kk xxxx . 的 偶 子 數(shù) 列稱 為 nx ax knklim ,0 KkNK . ax kn 定 理 3 axn 收 斂 于數(shù) 列 的 任 一 子 列 nx. ax kn 都 收 斂 于證 ) ,lim axnn ,0 , NN. axNn n ，由 于 knk ,NK 取 ,NKk 則 ,Nkn k 必 有. ax kn .lim ax knk 即) .顯 然 證 畢推 論 1 的 某 一 個 子 列 發(fā) 散若 nx 或 某 兩 個 子 列都 收 斂 但 極 限 不 相 等 ， . 發(fā) 散則 nx 推 論 2 axnnlim .limlim 212 axx kkkk 證 ) .3， 顯 然 成 立由 定 理) ,limlim 212 axx kkkk ,0, 11 KkNK .12 ax k, 22 KkNK .2 ax k,2,12max 21 KKN 取 ,Nn ,12 時當(dāng) kn ,1212 1 Kk,1Kk axn ,2 時當(dāng) kn ,22 2Kk ,2Kk axn 證 畢.lim ax nn ;ax k 12;ax k 2. axn故 定 理 4（ 四 則 運 算 ） 則，若 ,limlim byax nnnn ).0(limlimlim)3( ;limlim)lim)2( ;limlim)lim1 bbayxyx bayxyx bayxyx nn nnnnn nnnnnnn nnnnnnn （）（ （ 證 明 略 ）注 意 : 四 則 運 算 只 對 有 限 個 收 斂 數(shù) 列 而 言 ， 否 則不 能 用 . )21(lim: 222 nnnnn 例 如 ,lim2lim1lim 222 nnnn nnn 000 .0 無 窮 多 個 收 斂 數(shù) 列 這 是 錯 誤 的 . )21(lim: 222 nnnnn 正 確 做 法 221lim n nn 22 )1(lim nnnn 211lim nn .21 例 5 求 下 列 極 限 ,lim)1( 1110 1110 kkkk mmmmn bnbnbnb anananaI .0,0), ,1,0,1,0(, 00 bank jmibaNkm ji無 關(guān) 的 常 數(shù) ，均 為 與其 中 ： 解 )( )(lim 1110 1110 kkkkk mmmmmn nbnbnbbn nananaanI kkkk mmmmkmn nbnbnbb nananaan 1110 1110lim ,km ,00 ba ,km ,0 .km , 12 1sinlim)2( 22 nnnnn 210 ;21)1(lim)3( nnnn nn nn 1lim 111 1lim nn .21 定 理 5（ 迫 斂 性 或 兩 邊 夾 定 理 ） NnNN ,若 ,limlim nnnnnnn zlxzyx 且有 .lim lynn 則證 ,limlim nnnn zlx ,0, 11 NnNN . lxl n有, 22 NnNN . lzl n有,max 21* NNNN 取 ,* 時當(dāng) Nnnnn zyx l . l.lyn即 .lim lynn 證 畢 例 6 .)2211(lim 222 nnn nnnnnn 求解由 兩 邊 夾 定 理 ， ,121 2 nn nxn nnn n221 則 ,2211 222 nnn nnnnnxn 記 ,)1(2 )1()2(2 )1( 22 nn nnxnnnn n ,)1(2 )1(lim21)2(2 )1(lim 22 nn nnnnnn nn又 .21)2211(lim 222 nnn nnnnnn 練習(xí)冊 習(xí)題7 6P 例 7 ,lim 21n nknnn aaa 求 .;,2,1,0 為 固 定 自 然 數(shù)其 中 ： kkiai 解 ,max 21 kaaaA 記 則 n nknn aaa 21n nA Akn A ,A由 兩 邊 夾 定 理 ， Aaaan nknnn 21lim .,max 21 kaaa n nAk n ，設(shè) 有 數(shù) 列 nx ,121 nn xxxx , 121 nn xxxx ,121 nn xxxx ,121 nn xxxx 單 調(diào) 數(shù) 列為 單 調(diào) 增 加 數(shù) 列 ；則 稱 nx 為 嚴(yán) 格 單 調(diào) 增 加 數(shù) 列 ；則 稱 nx 為 單 調(diào) 減 少 數(shù) 列 ；則 稱 nx . 為 嚴(yán) 格 單 調(diào) 減 少 數(shù) 列則 稱 nx 若若若若 定 理 6（ 單 調(diào) 有 界 原 理 ） .單 調(diào) 有 界 數(shù) 列 必 有 極 限（ 證 明 略 ） )(121 Mxxxx nn 若 上 界 )(121 mxxxx nn 若 下 界 則. 必 有 極 限數(shù) 列 nx例 8 .,2,1),2(21,0 110 nxxxx nnn設(shè) .: 收 斂 ， 并 求 其 極 限數(shù) 列證 明 nx證 ,由 平 均 值 不 等 式 有對 , Nn)2(21 11 nnn xxx 11 2 nn xx ,2 有 下 界 ； nx ,22 nx由 上 式 得 , Nn則1 nn xx nnxx2 22 ,0.1 nn xx 收 斂 ，根 據(jù) 單 調(diào) 有 界 原 理 ， nx，設(shè) ax nn lim ,2a,2nx已 知 ,2a舍 去 .2lim nn x故)2(21 nnn xxx ),2(21 11 nnn xxx由 ),2(21 aaa ,022 a 例 9 .,2,1,)11( 存 在 有 限 極 限證 明 數(shù) 列 nnx nn證 1 1211 121 n aaaaaa nn n )0( ia.1 1121121 nnn n aaaaaa nn nx )11( )11()11(1 nn 個 括 號n 11 )11(1 nn nn 1111 nn.1 nx,2,1,1 nxx nn即 ;單 調(diào) 遞 增nx !1!2111 n 1212111 n1213 n .3 ,有 上 界nx .lim 存 在nn xen nn )11(lim記 為 459045182818282.7計 算 可 得 ： 211 2111 n)11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn 由 二 項 式 定 理 ， 有nn nx )11( 21!2 )1(11 nnnnn nnnnn 1! 123)1( 1.3 函 數(shù) 的 極 限有 定 義 ，在設(shè) )()( 0 xUxf O 討 論 當(dāng) 自 變 量. )(0的 變 化 趨 勢 時 ， 對 應(yīng) 的 函 數(shù) 值無 限 趨 近 于 定 點 xfxx .)(, 0 的 極 限函 數(shù)時即 xfxx .1,11)( 2 xxxxf例 ： xyo 112 112 xxy,)1(1 xx當(dāng) .2)( xf )(12 xfx 時 ，稱 為 當(dāng)把 .211lim 2 1 xxx的 極 限 ， 記 為 問 題 :函 數(shù) )(xfy 在 0 xx 的 過 程 中 ,對 應(yīng) 函 數(shù)值 )(xf 是 否 無 限 趨 近 于 確 定 值 A？ ;)()( 任 意 小表 示 AxfAxf .0 00 的 過 程表 示 xxxx x 0 x0 x 0 x ,0 鄰 域的 去 心點 x .0 程 度接 近體 現(xiàn) xx 一 般 地 有 定 義 1 )( .)()( 0 為 常 數(shù)有 定 義 ，在設(shè) AxUxf O .)( Axf ,:,0,0 0 xxx若 0 .)( 0 Axxxf 時 存 在 極 限 ， 其 極 限 為在則 稱 Axfxx )(lim0記 作 .)()( 0 xxAxf 或 Axfxx )(lim0 .)(,0: 0 AxfAxxx ,0,0 幾 何 解 釋 : xyo )(xfy 0 xAA A 0 x 0 x. 2,)( ,),( 0形 區(qū) 域 內(nèi) 的 帶寬 為中 心 線 為落 在 以 直 線的 圖 形 完 全時在當(dāng) Ayxfy xUx O 單 側(cè) 極 限 :例 如 , .)(lim 0,1 0,1)(0 2xf xx xxxfx 求設(shè) , 0 xx從 左 側(cè) 無 限 趨 近 ;0 xx記 作,0 xx從 右 側(cè) 無 限 趨 近 .0 xx記 作 yo x1xy 1 12 xy.00 兩 種 情 況 分 別 討 論和分 xx 左 極 限 .)( ,:,0,0 00 Axf xxxx右 極 限 .)( ,:,0,0 00 Axf xxxx 0: 0000 0 xxxxxxxx xxx 注 意 .)0()()(lim 00)0( 00 AxfxfAxfxx xx 或記 作 .)0()()(lim 00)0( 00 AxfxfAxfxx xx 或記 作 ）（ xx00 ）（ 00 xx 定 理 Axfxx )(lim0 .)(lim)(lim 00 xfAxf xxxx .lim0 不 存 在驗 證 xxx y x1 1oxxx 0lim左 右 極 限 存 在 但 不 相 等 , .lim 0 不 存 在xxx 例 1證 1)1(lim0 xxx x 0lim 11lim0 xxxx 0limxxx 0lim 例 2 ).(lim,0,1 0,1)( 02 xfxx xxxf x 求設(shè) yo x1xy 1 12 xy解 兩 個 單 側(cè) 極 限 為是 函 數(shù) 的 分 段 點 ,0 x )(lim0 xfx ,1)(lim0 xfx ,1左 右 極 限 存 在 且 相 等 ,.1)(lim 0 xfx故 )1(lim0 xx )1(lim 20 xx 則 ，得 00: xx 的 式 子關(guān) 于 .的 式 子關(guān) 于 用 定 義 ” 驗 證 函 數(shù) 極 限 : “ Axfxx )(lim0 ,0 關(guān) 鍵 是 如 何 由 尋 找 ？具 體 方 法 ： 出 發(fā) ， 解 不 等 式從 Axf )( ,)(lim( 0 Axfxx 或 ，（ 或 00: xx 的 式 子關(guān) 于 )(lim0 Axfxx ） xx 00: 的 式 子關(guān) 于 下 列 極 限 ：證 明例 3 );(lim)1( 0 為 常 數(shù)CCCxx ,0證 Axf )(由 CC ,恒 成 立,0可 任 取 一 個 ,0: 0 xxx . CCAxf )(有 .lim 0 CCxx ;lim)2( 00 xxxx )1( )2( ,0 Axf )(由 0 xx ,0取 ,0: 0 xxx .0 xxAxf )(有 .lim 00 xxxx ;6193lim)3( 23 xxx ,0 )432( ,130 xx x限 制32 361 x ,303 x ,30,1min 取 ,30: xx ,61932 xx有 .6193lim 23 xxx x32 4證 9 9661 22 x xx3361 xx 61932 xx由 3301 x , .022lim)4( 2 xxx證 ,0 022 xx由 22 xx)2(2 2 xx x 22 2 xx 2 2 x2 x . 20 x ,20: xx,0 2 取 .022 xx有 .022lim2 xxx .2 .)( Axf問 題 : 如 何 用 數(shù) 學(xué) 語 言 刻 劃 兩 個 “ 無 限 趨 近 ” .,)( Axf ,0 XxX ;)( 任 意 小表 示 Axf .的 過 程表 示 x時 ，當(dāng) x .),)( 為 定 常 數(shù)有 定 義 ，在設(shè) Aaxf . )(, )(A xxfA xf x限 時 存 在 極在則 稱 函 數(shù)常 數(shù) 無 限 地 趨 近 于 某 個 確 定對 應(yīng) 的 函 數(shù) 值 無 限 增 大 時 ，一 般 地 ， 如 果 當(dāng) 自 變 量 ? .)(,:,0,0 AxfXxxX Axfx )(lim 定 義 2 )( X .)( 為 常 數(shù)有 定 義 ，在設(shè) Aaxxf .)( Axf,0,0 XxX 若 .)( Axxf 時 存 在 極 限在則 稱 ).()()(lim xAxfAxfx 或記 作 Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX類 似 地 ， 有 Axfx )(lim .)(lim)(lim xfAxf xx ,1)sin1(lim xxx定 理 .)(1sin1)( xxxxf ,1)sin1(lim xxx例 如 ： 1三 者 之 間 的 關(guān) 系 ： 幾 何 解 釋 : 為 例以 Axfx )(lim .)(,:,0,0 AxfAXxxX )(xfy xoyAX X .2, )(, 的 帶 形 區(qū) 域 內(nèi)寬 為為 中 心 線在 以 直 線 的 圖 形 完 全 落函 數(shù)時或當(dāng) Ay xfyXxXx X則 ，得 x: 的 式 子關(guān) 于 .的 式 子關(guān) 于 用 定 義 ” 驗 證 函 數(shù) 極 限 :X“ Axfx )(lim ,0 X關(guān) 鍵 是 如 何 由 尋 找 ？具 體 方 法 ： 出 發(fā) ， 解 不 等 式從 Axf )( ,)(lim( Axfx 或 ，（ 或 x: 的 式 子關(guān) 于 )(lim Axfx ）x: 的 式 子關(guān) 于 .115 63lim4 33 xx xxx證 明例 證 ,0 115 6333 xx xx由 15 523 xx x.)5( x若 xx x53 3 532 x ,35 x,0X取 35,5max ,Xx .115 6333 xx xx有 .115 63lim 33 xx xxx .)1(0lim5 aaxx證 明例證 ,0 ,0X,Xx xx aa 0 . ax log )1( alog.0lim xx a X)( alog .)0(01lim6 是 常 數(shù)證 明例 kxkx證 ,0 01 kx . ,1 1kx kx1)1( x不 妨 設(shè) ,0X 1,1max 1k,Xx .01lim kx x 為 例 給 出 ：以極 限 完 全 平 行 的 性 質(zhì) ， 它 們 具 有 與 數(shù) 列函 數(shù) 極 限 有 六 種 形 式 ， )(lim0 xfxx性 質(zhì) 1（ 唯 一 性 ） .)(lim0 存 在 ， 則 它 必 唯 一若 xfxx （ 證 明 略 ）性 質(zhì) 2（ 局 部 有 界 性 ） ,0)(lim0 Mxfxx 存 在 ， 則若 .)(,0:,0 0 Mxfxxx 有證 ，設(shè) Axf xx )(lim0 ，對 01 .1)(,0: 0 Axfxxx 有)(xf AAxf )( .1 AAAxf )( .)( Mxf 有,1 AM 取 證 畢 性 質(zhì) 3（ 局 部 保 號 性 ） ,0)(lim0 Axfxx若 .0)(),( 00 xfxUx 有,0則 )0( )0)( xf證 ,0)(lim 0 Axfxx ，對 0，0 ,0: 0 xxx ,)( Axf有 Axf )( 2AA .02 A 證 畢2A 性 質(zhì) 4（ 四 則 運 算 ） ,)(lim)(lim 00 BxgAxf xxxx ，若則 )()(lim)1( 0 xgxfxx ;)(lim)(lim 00 BAxgxf xxxx ;)(lim)(lim)()(lim)2( 000 BAxgxfxgxf xxxxxx .)0()(lim )(lim)( )(lim)3( 000 BBAxg xfxg xf xx xxxx （ 證 明 略 ）注 ： 四 則 運 算 對 有 限 個 存 在 極 限 的 函 數(shù) 而 言 . 性 質(zhì) 5（ 極 限 不 等 式 ） 都與若 )(lim)(lim 00 xgxf xxxx ),()(,0:,0, 0 xgxfxxx 有且存 在 .)(lim)(lim 00 xgxf xxxx 則證 ,)(lim)(lim 00 BxgAxf xxxx 設(shè) 用 反 證 法 ，)(lim)(lim 00 xgxf xxxx 設(shè) A ,B)()(lim0 xgxfxx )(lim)(lim 00 xgxf xxxx BA ,0,由 局 部 保 號 性 ),(,0 00 xUx 有,0)()( xgxf ),()( xgxf 即 .題 設(shè) 矛 盾與注 意 : 時 ，若 )()( xgxf .)(lim)(lim 00 xgxf xxxx 性 質(zhì) 6（ 迫 斂 性 或 兩 邊 夾 定 理 ） ,0若 且有 ,)()()(,0: 0 xhxgxfxxx ,)(lim)(lim 00 xhAxf xxxx .)(lim0 Axgxx 則性 質(zhì) 7（ 海 涅 ( Heine,1821-1881,德 )定 理 ） Axfxx )(lim0 ,),2,1(: 0 nxxx nn .)(lim,lim 0 Axfxx nnnn 都 有 （ 證 明 略 ）注 ： 海 涅 定 理 揭 示 了 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 的 關(guān) 系 .（ 證 明 略 ） ;)(lim0 不 存 在xfxx,lim 0 xxnn : nx若)( 不 存 在但 )(lim nn xf )( : nn yx 與若 ,lim,lim 00 xyxx nnnn )(lim)(lim nnnn yfxf 但 .)(lim0 不 存 在xfxx 推 論 :( 判 斷 不 存 在 的 方 法 )(lim0 xfxx ,)(0 Nnxxn ,)( 0 Nnxy、x nn .1sinlim8 0 不 存 在證 明例 xx證 ),(0,0 nyx nn則 ,21nxn 取 ,002sin)( nxf n .1sinlim 0 不 存 在xx ,11)22sin()( nyf n ，同 理 可 證 xx 1coslim0.coslimsinlim 都 不 存 在， xx xx ,22 1 nyn 性 質(zhì) 8（ 極 限 的 變 量 代 換 ） ,)(lim0 axuxx 設(shè) ,)(lim,)()( 0 AufaxuxU auo 內(nèi)且 )(lim 0 xufxx則 .)(lim Aufau （ 證 明 略 ）.), ,(00 均 成 立限 形 式以 上 各 性 質(zhì) ， 對 其 它 極 xxxxxx x 計 算 下 列 極 限 ：例 9 232lim)1( 23 21 xxx xx )2(lim )32(lim 231 21 xxx xx x2limlimlim 32lim 12131 21 xxx x xxx x 2111 32 .155 253 12lim)2( 22 xx xxx 22253 112lim xx xxx )253(lim )112(lim 22xx xx xx 222lim5lim3lim 1lim1lim2lim xx xx xxx xxx 003 002 .32 21lim)3( 2 21 xx xx )2)(1( )1)(1(lim1 xx xxx21lim1 xxx 2lim 1lim11 xxxx .32)(11lim)4( 0 Nnxxnx ,11 yxn 令 .1)1(