理數(shù) 課標(biāo)版,第七節(jié) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布,1.條件概率及其性質(zhì) (1)對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概 率叫做 條件概率 ,用符號 P(B|A) 來表示,其公式為P(B|A)= (P(A)0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件,教材研讀,的個數(shù),則P(B|A)= . (2)條件概率具有的性質(zhì): (i) 0P(B|A)1 ; (ii)如果B和C是兩個互斥事件,那么P(BC|A)= P(B|A)+P(C|A) .,2.相互獨(dú)立事件 (1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱 A、B是相 互獨(dú)立事件 . (2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)= P(B) , P(AB)=P(B|A)P(A)= P(A)P(B) . (3)若A與B相互獨(dú)立,則 A與 , 與B , 與 也都相 互獨(dú)立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),則 A與B相互獨(dú)立 .,3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的,各次之間相互獨(dú)立 的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有 兩 種結(jié)果,即要么發(fā) 生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事 件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n) ,此時稱隨 機(jī)變量X服從 二項(xiàng)分布 ,記為 XB(n,p) ,并稱p為成功概率.,判斷下面結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊? (1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件. () (2)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B). () (3)P(BA)表示事件A,B同時發(fā)生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). (),1.已知P(B|A)= ,P(AB)= ,則P(A)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 C 由P(AB)=P(A)P(B|A),可得P(A)= .,2.若事件E與F相互獨(dú)立,且P(E)=P(F)= ,則P(EF)的值等于 ( ) A.0 B. C. D. 答案 B EF代表E與F同時發(fā)生,P(EF)=P(E)P(F)= .故選B.,3.設(shè)隨機(jī)變量XB ,則P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 A XB ,P(X=3)= = .,4.某人射擊,一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊,此人至少有兩次擊 中目標(biāo)的概率為 . 答案 解析 可看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),則P= 0.620.4+0.63= .,5.加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別 為 , , ,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為 . 答案 解析 依題意得,加工出來的零件的正品率是 = ,因此加工出來的零件的次品率是1- = .,考點(diǎn)一 條件概率 典例1 (2016課標(biāo)全國,18(1)(2)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼 續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出 險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:,考點(diǎn)突破,設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:,(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率.,解析 (1)設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則 事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05= 0.55. (2)設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事 件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB),=P(B),故P(B|A)= = = = .因此所求概率為 .,方法技巧 條件概率的求法 (1)利用條件概率公式,分別求P(A)和P(AB),再利用P(B|A)= 求解, 這是通用的求條件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件 A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)= .,1-1 甲、乙兩地都位于長江下游,根據(jù)天氣預(yù)報(bào)的記錄知,一年中下雨 天甲市占20%,乙市占18%,兩市同時下雨占12%.則在甲市為雨天的條件 下,乙市也為雨天的概率為 ( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.66,答案 A 將“甲市為雨天”記為事件A,“乙市為雨天”記為事件B, 則P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,故P(B|A)= = =0.6.,1-2 (2016甘肅張掖診斷)某盒中裝有10只乒乓球,其中6只新球,4只舊 球,不放回地依次摸出2個球使用,在第一次摸出新球的條件下,第二次也 摸出新球的概率為 ( ) A. B. C. D. 答案 B “第一次摸出新球”記為事件A,則P(A)= ,“第二次摸出新 球”記為事件B,則P(AB)= = ,P(B|A)= = = ,故選B.,考點(diǎn)二 相互獨(dú)立事件的概率 典例2 在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù) 百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3 名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號 中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中 隨機(jī)選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率; (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求“X2”的概率. 解析 (1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”,B表示事件“觀眾乙選 中3號歌手”,則P(A)= = ,P(B)= = . 事件A與B相互獨(dú)立,觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為 P(A )=P(A)P( )=P(A)1-P(B) = = . (2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”, 則P(C)= = , 依題意,A,B,C相互獨(dú)立, , , 相互獨(dú)立,且AB ,A C, BC,ABC彼此互斥. P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC) = + + = ,P(X=3)=P(ABC)= = , P(X2)=P(X=2)+P(X=3)= + = .,方法技巧 求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法 (1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解; (2)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時,可從對立事件入手計(jì)算. 2-1 甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽 完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的 概率為 ,乙獲勝的概率為 ,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率; (2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù),求X的分布列.,解析 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲 勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”, 則P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) = + + = . 所以甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率為 . (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3),=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= , P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 故X的分布列為,考點(diǎn)三 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 典例3 (2016晉中四校1月聯(lián)考)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每輪游戲 都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每輪游戲 擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次 音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓 出現(xiàn)音樂的概率為 ,且各次擊鼓是否出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立. (1)設(shè)每輪游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列; (2)玩三輪游戲,至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是多少?,解析 (1)X可能的取值為10,20,100,-200. 根據(jù)題意,有P(X=10)= = , P(X=20)= = ,P(X=100)= = , P(X=-200)= = . 所以X的分布列為,(2)設(shè)“第i輪游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3), 則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 所以,“三輪游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1-P(A1A2A3)=1- =1- = . 因此,玩三輪游戲至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是 .,易錯警示 利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)可以 簡化求概率的過程,但需要注意檢驗(yàn)該概率模型是否滿足兩個條件:(1) 在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完 全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的. 另外,要注意利用公式求得的是n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次(X=k)的 概率. 3-1 在一次數(shù)學(xué)考試中,第21題和第22題為選做題.規(guī)定每位考生必須 且只需在其中選做一題.設(shè)4名學(xué)生選做每一道題的概率均為 . (1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率; (2)設(shè)這4名學(xué)生中選做第22題的學(xué)生個數(shù)為,求的分布列.,解析 (1)設(shè)事件A表示“甲選做第21題”,事件B表示“乙選做第21 題”,則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB+ ”,且事 件A、B相互獨(dú)立. 故P(AB+ )=P(A)P(B)+P( )P( )= + = . (2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,且B , 則P(=k)= = (k=0,1,2,3,4). 故的分布列為,