專題限時集訓(xùn)(九)三角函數(shù)與解三角形1(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求A；(2)若ab2c，求sin C解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因為0°A180°，所以A60°.(2)由(1)知B120°C，由題設(shè)及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60°).由于0°C120°，所以sin(C60°)，故sin Csin(C60°60°)sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°.2(2016·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225，所以ab5(負(fù)值舍去)所以ABC的周長為5.3(2020·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2cos A.(1)求A；(2)若bca，證明：ABC是直角三角形解(1)由已知得sin2Acos A，即cos2Acos A0.所以0，cos A.由于0<A<，故A.(2)由正弦定理及已知條件可得sin Bsin Csin A由(1)知BC，所以sin Bsinsin .即sin Bcos B，sin.由于0<B<，故B.從而ABC是直角三角形4(2015·全國卷)ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，BD2DC(1)求；(2)若BAC60°，求B解(1)由正弦定理，得，.因為AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因為C180°(BACB)，BAC60°，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，所以B30°.1(2020·安慶二模)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)若ABC的周長等于15，面積等于，求a，b，c的值解(1)由，根據(jù)正弦定理得b2c2a2aca2c2b2ac，根據(jù)余弦定理得cos B，由0<B<，所以B.(2)由SABCacsin Bac，得ac15.又abc15，由(1)知b2a2c2ac(ac)215(15b)215，所以b7，所以ac8.解得a3，c5，或者a5，c3.所以a3，b7，c5，或者a5，b7，c3.2(2020·昆明模擬)在ABC中，D為BC邊上一點，ADAC，AB，BD，AD2.(1)求ADB；(2)求ABC的面積解(1)因為AB，BD，AD2，所以在ABD中，由余弦定理可得：cosADB，又因為ADB(0，)，所以ADB.(2)因為ADBADC，所以ADC.因為ADAC，所以ADC為等腰直角三角形，可得AC2，所以SABCSABDSADC××2××2×23.3(2020·寶雞二模)已知函數(shù)f(x)2sin2x2sin xcos x1，xR.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f1且A為銳角，a3，sin C2sin B，求ABC的面積解(1)由于函數(shù)f(x)2sin2 x2sin xcosx 11cos 2xsin 2x12sin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)f1且A為銳角，可得2sin1，解得sin，由A，可得A，可得A.sin C2sin B, 由正弦定理可得c2b，又a3，由余弦定理a2b2c22bccos A，可得9b2c2bcb24b22b23b2，b，c2，SABCbcsin A××2×.4(2020·南開區(qū)模擬)在ABC中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若ABC的面積為，ab1，acos Ccsin A0.(1)求c及cos A；(2)求cos(2AC)的值解(1)在ABC中，acos Ccsin A0，sin Acos Csin Csin A0，sin A0, cos Csin C0，即tan C，C(0，), C，SABCab，解得ab6，又ab1，解得a3，b2，又由余弦定理可得c2a2b22abcos C7，解得c，cos A.(2)由(1)可得sin A，sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2 A1，cos(2AC)cos 2Acos Csin 2Asin C××.1ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)bsin Aa(2cos B)(1)求B；(2)若ABC的面積等于，求ABC的周長的最小值解(1)因為bsin Aa(2cos B)，由正弦定理得sin Bsin Asin A(2cos B)顯然sin A>0，所以sin Bcos B2.所以2sin2，B(0，)所以B，所以B.(2)依題意得，所以ac4.所以ac24，當(dāng)且僅當(dāng)ac2時取等號又由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac3ac12.b2，當(dāng)且僅當(dāng)ac2時取等號所以ABC的周長最小值為42.2結(jié)構(gòu)不良試題已知銳角ABC，同時滿足下列四個條件中的三個：A；a13；c15；sin C.(1)請指出這三個條件，并說明理由；(2)求ABC的面積解(1)ABC同時滿足.理由：若ABC同時滿足，因為是銳角三角形，所以sin C<sin ，C<，結(jié)合A，B>.與題設(shè)矛盾故ABC同時滿足不成立所以ABC同時滿足.因為c>a，所以C>A若滿足，則A<C<，B>，與題設(shè)矛盾，故此時不滿足.ABC同時滿足.(2)因為a2b2c22bccosA，所以132b21522×b×15×.解得b8或7.當(dāng)b7時，cos C<0，C為鈍角，與題設(shè)矛盾所以b8，SABCbcsin A30.3.如圖，在ABC中，C，ABC的平分線BD交AC于點D，且tanCBD.(1)求sin A；(2)若·28，求AB的長解(1)設(shè)CBD，因為tan ，又，故sin ，cos .則sinABCsin 22sin cos 2××，cosABCcos 22cos212×1，故sin Asinsin(sin 2cos 2)×.(2)由正弦定理，即，所以BCAC又·|28，所以|28，所以AC4，又由，得，所以AB5.4已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若a2，b2，求c的大??；(2)若b2，且C是鈍角，求ABC面積的取值范圍解(1)在ABC中，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0<B<，sin B0，sin Acos A，tan A.又0<A<，A.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即204c24c·，解得c1(舍去)，c1.c1.(2)由(1)知A，SABCbcsin Ac.由正弦定理，得，c1.A，C為鈍角，0<B<，0<tan B<，c>4，SABC2.即ABC面積的取值范圍是(2，)