專題限時集訓(xùn)(十一)立體幾何1(2019·全國卷)如圖，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(1)證明：MN平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離解(1)證明：連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以MEB1C，且MEB1C又因為N為A1D的中點，所以NDA1D由題設(shè)知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MNED又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)過點C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.從而CH平面C1DE，故CH的長即為點C到平面C1DE的距離由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.從而點C到平面C1DE的距離為.2(2020·全國卷)如圖，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)證明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)設(shè)O為A1B1C1的中心，若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPN，求四棱錐B­EB1C1F的體積解(1)證明：因為M，N分別為BC，B1C1的中點，所以MNCC1.又由已知得AA1CC1，故AA1MN.因為A1B1C1是正三角形，所以B1C1A1N.又B1C1MN，故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)AO平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1FPN，故AOPN.又APON，故四邊形APNO是平行四邊形，所以PNAO6，APONAM，PMAM2，EFBC2.因為BC平面EB1C1F，所以四棱錐B­EB1C1F的頂點B到底面EB1C1F的距離等于點M到底面EB1C1F的距離如圖，作MTPN，垂足為T，則由(1)知，MT平面EB1C1F，故MTPMsinMPN3.底面EB1C1F的面積為×(B1C1EF)×PN(62)×624.所以四棱錐B­EB1C1F的體積為×24×324.3(2019·全國卷)圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積解(1)證明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面由已知得ABBE，ABBC，又BE，BC面BCGE，BEBCB，故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中點M，連接EM，DM.因為ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且EBC60°，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四邊形ACGD的面積為4.4(2018·全國卷)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC平面PBD？說明理由解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD因為BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)當(dāng)P為AM的中點時，MC平面PBD證明如下：如圖，連接AC，BD，AC交BD于O.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點連接OP，因為P為AM中點，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD1(2020·懷仁模擬)如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點， M，N分別是AB，PC的中點(1)求證： MN平面PAD；(2)若MNBC4，PA4，求異面直線PA與MN所成的角的大小解(1)取PD的中點H，連接AH，NH，N是PC的中點，NH綊DCM是AB的中點，且DC綊AB，NH綊AM，即四邊形AMNH為平行四邊形MNAH.又MN平面PAD，AH平面PAD，MN平面PAD(2)連接AC并取其中點O，連接OM，ON.則OM綊BC，ON綊PAONM就是異面直線PA與MN所成的角，由MNBC4，PA4，得OM2，ON2.MO2ON2MN2，ONM30°，即異面直線PA與MN成30°的角2(2020·汕頭一模)在四棱錐P­ABCD中，平面PAC平面ABCD，且有ABDC，ACCDDAAB(1)證明：BCPA；(2)若PAPCAC，Q在線段PB上，滿足PQ2QB，求三棱錐P­ACQ的體積解(1)證明：不妨設(shè)AB2a，則ACCDDAa，由ACD是等邊三角形，可得ACD，ABDC，CAB.由余弦定理可得BC2AC2AB22AC·AB·cos3a2，即BCa，BC2AC2AB2.ACB90°，即BCAC又平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面PAC，PA平面PAC，BCPA(2)依題意得，PAPC，VP­ACQVQ­PACVB­PAC×SPAC×BC×××××2.3(2020·深圳二模)如圖所示，四棱錐S­ABCD中，SA平面ABCD，ABCBAD90°，ABADSA1，BC2，M為SB的中點(1)求證：AM平面SCD；(2)求點B到平面SCD的距離解(1)證明：取SC的中點N，連接MN和DN，M為SB的中點，MNBC，且MNBC，ABCBAD90°，AD1，BC2，ADBC，且ADBC，AD綊MN，四邊形AMND是平行四邊形，AMDN，AM平面SCD，DN平面SCD，AM平面SCD(2)ABAS1，M為SB的中點，AMSB，SA平面ABCD，SABC，ABCBAD90°， BCAB，BC平面SAB, BCAM，AM平面SBC由(1)可知AMDN，DN平面SBC，DN平面SCD，平面SCD平面SBC，作BESC交SC于E，則BE平面SCD，在直角三角形SBC中，SB·BCSC·BE，BE，即點B到平面SCD的距離為.4(2020·長沙模擬)如圖，已知三棱錐P­ABC的平面展開圖中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，ABE和BCF均為正三角形，在三棱錐P­ABC中(1)證明：平面PAC平面ABC；(2)求三棱錐P­ABC的表面積和體積解(1)設(shè)AC的中點為O，連接BO，PO.由題意，得PAPBPC，PO1，AOBOCO1.因為在PAC中，PAPC，O為AC的中點，所以POAC因為在POB中，PO1，OB1，PB，PO2OB2PB2，所以POOB因為ACOBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，因為PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC(2)三棱錐P­ABC的表面積S2×××2××2 2，由(1)知，PO平面ABC，所以三棱錐P­ABC的體積為VSABC×PO ××××1.1.已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是直角梯形，ADDC，AB1，ADDC2，AA12，且AA1平面ABCD，F(xiàn)為A1B1的中點(1)在圖中畫出一個過BC1且與AF平行的平面(要求寫出作法)；(2)求四棱柱ABCD­A1B1C1D1的表面積解(1)在平面CDD1C1中，過D作DPAF，交C1D1于P，在平面CDD1C1中，過C1作C1EDP，交CD于E，連接BE，此時AFC1E，過BC1且與AF平行的平面為平面BEC1.(2)四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是直角梯形，ADDC，AB1，ADDC2，AA12，且AA1平面ABCD，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的表面積為：S2S梯形ABCDS矩形ABB1A1S矩形ADD1A1S矩形DCC1D1S矩形BCC1B12××21×22×22×2×2162.2.如圖，在三棱柱FAB­EDC中，側(cè)面ABCD是菱形，G是邊AD的中點平面ADEF平面ABCD，ADE90°.(1)求證：ACBE；(2)在線段BE上求點M(說明M點的具體位置)，使得DE平面GMC，并證明你的結(jié)論解(1)證明：如圖，連接BD，則由四邊形ABCD是菱形可得ACBD，平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，且DEAD, DE平面ABCD又AC平面ABCD, ACDE.BDDED, AC平面BDE，BE平面BDE, ACBE.(2)設(shè)BDCGO，在BDE中，過O作DE的平行線交BE于點M，M點即為所求的點OM在平面MGC內(nèi)，DE不在平面MGC內(nèi)，且OMDE, DE平面MGC四邊形ABCD為菱形，且G是AD的中點，DOGBOC，且，又OMDE，于是，故點M為線段BE上靠近點E的三等分點3如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC90°，AB2DC2BC，E為AB的中點，沿DE將ADE折起，使得點A到點P位置，且PEEB，M為PB的中點，N是BC上的動點(與點B，C不重合)(1)求證：平面EMN平面PBC；(2)設(shè)三棱錐B­EMN和四棱錐P­EBCD的體積分別為V1和V2，當(dāng)N為BC中點時，求的值解(1)證明：PEEB，PEED，EBEDE，PE平面EBCD，又PE平面PEB，平面PEB平面EBCD，BC平面EBCD，BCEB，平面PBC平面PEBPEEB，PMMB，EMPB，BCPBB，EM平面PBC，又EM平面EMN，平面EMN平面PBC(2)N是BC的中點，點M，P到平面EBCD的距離之比為，··.4.如圖，三棱柱ABC­A1B1C1中，平面AA1B1B平面ABC，D是AC的中點(1)求證：B1C平面A1BD；(2)若A1ABACB60°，ABBB1，AC2，BC1，求三棱錐C­AA1B的體積解(1)連接AB1交A1B于點O，則O為AB1的中點， D是AC的中點，ODB1C，又OD平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD(2)AC2，BC1，ACB60°，AB2AC2BC22AC·BC·cosACB3，得AB. AC2AB2BC2，得ABBC又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCAB，BC平面AA1B1BA1AB60°，ABBB1AA1，AA1.SA1AB·AB·AA1·sinA1AB.VC­A1ABSA1AB·BC××1.