專題限時集訓(五)空間幾何體的三視圖、表面積、體積與球有關(guān)的切、接、截問題1(2018·全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()AB CDA由題意知，俯視圖中應有一不可見的長方形，且俯視圖應為對稱圖形故選A2(2019·全國卷)設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是()A內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B內(nèi)有兩條相交直線與平行C，平行于同一條直線D，垂直于同一平面B由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B3(2017·全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A B C DB設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h×1.故選B4(2018·全國卷)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A8 B6 C8 D8C在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB平面BCC1B1，連接BC1，AC1，則AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，AC1B30°.又ABBC2，所以在RtABC1中，BC12，在RtBCC1中，CC12，所以該長方體體積VBC×CC1×AB8.5(2020·全國卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，O1為ABC的外接圓若O1的面積為4，ABBCACOO1，則球O的表面積為()A64 B48 C36 D32A如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，O1的半徑為r，因為O1的面積為4，所以4r2，解得r2，又ABBCACOO1，所以2r，解得AB2，故OO12，所以R2OOr2(2)22216，所以球O的表面積S4R264.故選A6(2016·全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18 C20 D28A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.故選A7(2018·全國卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A B C DC如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CDAB，所以異面直線AE與CD所成角為EAB，設(shè)正方體邊長為2a，則由E為棱CC1的中點，可得CEa，所以BEa，則tanEAB.故選C8(2018·全國卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A2 B2 C3 D2B由三視圖可知，該幾何體為如圖1所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖2所示，連接MN，則MS2，SN4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為2.故選B圖1圖29(2019·全國卷)如圖，點N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點，則()ABMEN，且直線BM，EN是相交直線BBMEN，且直線BM，EN是相交直線CBMEN，且直線BM，EN是異面直線DBMEN，且直線BM，EN是異面直線B取CD的中點O，連接ON，EO，因為ECD為正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP，CP，所以BM2MP2BP2227，得BM，所以BMEN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，選B10(2017·全國卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()AA項，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QDABQD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交B項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故選A11(2016·全國卷)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B C6 DB由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R.因為ABC的內(nèi)切圓半徑為2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax.故選B12(2018·全國卷)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D­ABC體積的最大值為()A12 B18 C24 D54B設(shè)等邊三角形ABC的邊長為x，則x2sin 60°9，得x6.設(shè)ABC的外接圓半徑為r，則2r，解得r2，所以球心到ABC所在平面的距離d2，則點D到平面ABC的最大距離d1d46，所以三棱錐D­ABC體積的最大值VmaxSABC×6×9×618.13(2020·全國卷)設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行p4：若直線l平面，直線m平面，則ml.則下述命題中所有真命題的序號是_p1p4p1p2p2p3p3p4法一：對于p1，由題意設(shè)直線l1l2A，l2l3B，l1l3C，則由l1l2A，知l1，l2共面，設(shè)此平面為，由Bl2，l2，知B，由Cl1，l1，知C，所以l3，所以l1，l2，l3共面于，所以p1是真命題對于p2，當A，B，C三點不共線時，過A，B，C三點有且僅有一個平面；當A，B，C三點共線時，過A，B，C的平面有無數(shù)個，所以p2是假命題，p2是真命題對于p3，若空間兩條直線不相交，則這兩條直線可能平行，也可能異面，所以p3是假命題，p3是真命題對于p4，若直線l平面，直線m平面，則ml，所以p4是真命題，p4是假命題故p1p4為真命題，p1p2為假命題，p2p3為真命題，p3p4為真命題綜上可知，真命題的序號是.法二：對于p1，由題意設(shè)直線l1l2A，l2l3B，l1l3C，則A，B，C三點不共線，所以此三點確定一個平面，則A，B，C，所以AB，BC，CA，即l1，l2，l3，所以p1是真命題以下同解法一14(2018·全國卷)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_40因為母線SA，SB所成角的余弦值為，所以母線SA，SB所成角的正弦值為，因為SAB的面積為5，設(shè)母線長為l，所以×l2×5，l280，因為SA與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為rlcos l，因此圓錐的側(cè)面積為rll240.15(2019·全國卷)已知ACB90°，P為平面ABC外一點，PC2，點P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_作PD，PE分別垂直于AC，BC，PO平面ABC，連接CO，由題意可知CDPD，CDPO，PDPOP, CD平面PDO，又OD平面PDO，CDOD，PDPE，PC2，sinPCEsinPCD，PCBPCA60°，又易知POCO，CO為ACB的平分線，OCD45°，ODCD1，OC，又PC2，PO.16一題兩空(2019·全國卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有_個面，其棱長為_圖1圖2261先求面數(shù)有如下兩種方法法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個面，中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2×9826(個)面法二：一般地，對于凸多面體，頂點數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)2.(歐拉公式)由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點數(shù)為24.故由VFE2，得面數(shù)F2EV2482426.再求棱長作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x，則正八邊形的邊長即為半正多面體的棱長連接AF，過H，G分別作HMAF，GNAF，垂足分別為M，N，則AMMHNGNFx.又AMMNNF1，xxx1.x1，即半正多面體的棱長為1.1(2020·西安模擬)一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的全面積與球的表面積之比為()A21 B43 C32 D11C設(shè)球的半徑為r，則由題意S圓柱2r22r·2r6r2，S球4r2，所以圓柱的全面積與球的表面積之比為32，故選C2(2020·攀枝花一模)一個棱長為2的正方體被一個平面截去部分后，余下部分的三視圖如圖所示，則截去部分與剩余部分體積的比為()A13 B14 C15 D16A由題意可知：幾何體被平面ABCD分為上下兩部分，設(shè)正方體的棱長為2，上部棱柱的體積為：×2×1×22；下部為：2×2×226.截去部分與剩余部分體積的比為，故選A3(2020·桂林一模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則的一個充分不必要條件是()Am，mBm，n，mnCmn，m，nDm，mD對于A，由m，m，故A錯誤；對于B，m，n，mn，則，可以平行，故B錯誤；對于C，mn，m，n，可以求出，故C錯誤；對于D，由m，m，得，是充分條件，反之，由，不一定得到m，m，是不必要條件，故選D4(2020·深圳模擬)空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩條對角線AC，BD的關(guān)系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交C取BD中點E，連接AE、CE.ABADBCCD，AEBD，CEBD BD平面AEC又AC面AEC，BDAC故選C5(2020·岳陽二模)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為BC1的中點，則異面直線DE與A1B1所成角的正切值為()A B C DC如圖所示， DCA1B1，DCB1CEDC為異面直線DE與A1B1所成角tanEDC.故選C6(2020·貴陽模擬)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和C1C上(異于端點)，則過三點A，F(xiàn)，E的平面被正方體截得的圖形(截面)不可能是()A正方形B不是正方形的菱形C不是正方形的矩形D梯形A當BECF時，截面是矩形；當2BECF時，截面是菱形；當BE>CF時，截面是梯形，故選A7(2020·南海區(qū)模擬)已知三棱錐P­ABC，AC，BC1，ACBC且PA2PB，PB平面ABC，其外接球體積為()A B4 C D4AAB，設(shè)PBh，則由PA2PB，可得2h，解得h1，可將三棱錐P­ABC還原成如圖所示的長方體，則三棱錐P­ABC的外接球即為長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R2，R1，所以外接球的體積VR3.故選A8(2020·中山模擬)下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號是()A B C DC對于，連接AC，如圖所示由于MNAC，NPBC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知平面MNP平面ACB，所以AB平面MNP.圖1圖2對于，連接BC交MP于D，由于N是AC的中點，D不是BC的中點，所以在平面ABC內(nèi)AB與DN相交，所以直線AB與平面MNP相交對于，連接CD，則ABCD，而CD與PN相交，即CD與平面PMN相交，所以AB與平面MNP相交圖3 圖4對于，連接CD，則ABCDNP，由線面平行的判定定理可知AB平面MNP.綜上所述，能得出AB平面MNP的圖形的序號是，故選C9(2020·開封模擬)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點O是四邊形ABCD的中心，關(guān)于直線A1O，下列說法正確的是()AA1OD1C BA1O平面B1CD1CA1OBC DA1O平面AB1D1B由題意，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點O是四邊形ABCD的中心，所以A1DB1C，ODB1D1，因為A1DDOD，B1D1B1CB1，所以平面A1DO平面B1CD1，因為A1O平面A1DO，所以A1O平面B1CD1，故選B10(2020·沈陽模擬)算數(shù)書竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一”該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算器體積VL2h的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3，那么近似公式VL2h相當于圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A B C DC設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，依題意，L2r，r2h·(2r)2h，即.即的近似值為.故選C11(2020·西安模擬)一只螞蟻從正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點A處出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是()圖1圖2A B C DD中線段為虛線，正確，中線段為實線，正確，故選D12(2020·冀州模擬)已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，點P在線段A1B1上，點Q在線段B1C1上，且B1PB1Q，給出下列結(jié)論：A、C、P、Q四點共面；直線PQ與AB1所成的角為60°；PQCD1；VP­ABCDVQ­AA1D其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4B如圖所示，對于，B1PB1Q，PQA1C1，A、C、P、Q四點共面，正確；對于，連接AC，CB1，可得ACB1是等邊三角形，又ACA1C1，直線PQ與AB1所成的角為60°；對于，由可知PQCD1錯誤；對于，VP­ABCDV正方體AC1，VQ ­AA1D×SAA1D×A1B1×S正方形AA1DD1×A1B1V正方體AC1.VP­ABCDVQ ­AA1D其中正確結(jié)論的個數(shù)2.故選B13.(2020·西北工業(yè)大學附中第三次適應性考試)如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面A1B1C1，底面ABC是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()ACC1與B1E是異面直線BAC平面ABB1A1CAEB1C1DA1C1平面AB1EC對于A選項，由于CC1，B1E都含于平面BCC1B1，所以不是異面直線，故A選項錯誤對于B選項，由于CBA，所以AC與平面ABB1A1不垂直，故B選項錯誤對于C選項，在等邊三角形ABC中，AEBC，根據(jù)直三棱柱中易得AEAA1，所以AE平面BCC1B1，所以AEB1C1，所以C選項正確對于D選項，由于A1C1AC，而AC與平面AB1E相交，所以直線A1C1與平面AB1E不平行，故D選項錯誤，故選C14(2020·邯鄲模擬)如圖1，在ABC中，ABAC，A120°，D為BC中點，DEAC，將CDE沿DE翻折，得到直二面角C­DE­B，連接BC，F(xiàn)是BC中點，連接AF，如圖2，則下列結(jié)論正確的是()圖1圖2AADCD BAFDECDE平面ACE DAF平面CDEC在ABC中，ABAC，A120°，D為BC中點，DEAC，將CDE沿DE翻折，得到直二面角C­DE­B，連接BC，F(xiàn)是BC中點，連接AF，DEAE，DECE，AECEE，DE平面ACE.故選C15(2020·滄州模擬)已知P，A，B，C是半徑為2的球面上的點，O為球心，PAPBPC2，ABC90°，則三棱錐O­ABC體積的最大值是()A B1 C DB如圖，P，A，B，C是半徑為2的球面上的點，O為球心，PAPBPC2，ABC90°，P到平面ABC上的射影G是ABC的外心，即AC中點，則球的球心在PG的延長線上，設(shè)PGh，則OG2h，OB2OG2PB2PG2，4(2h)24h2，解得h1，AGCGBG，三棱錐O ­ABC體積取最大值時，BGAC，三棱錐O ­ABC體積的最大值為：VSABC·h××2××11.故選B16.(2020·漢中模擬)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則()A直線D1D與直線AF垂直B直線A1G與平面AEF不平行C平面AEF截正方體所得的截面面積為D點C與點G到平面AEF的距離相等C對于A，若D1DAF，又因為D1DAE且AEAFA，所以DD1平面AEF，所以DD1EF，所以CC1EF，顯然不成立，故結(jié)論錯誤； 對于B，如圖所示，取B1C1的中點Q，連接A1Q，GQ，由條件可知：GQEF，A1QAE，且GQA1QQ，EFAEE，所以平面A1GQ平面AEF，又因為A1G平面A1GQ，所以A1G平面AEF，故結(jié)論錯誤；對于C，如圖所示，連接D1F，D1A，延長D1F，AE交于點S, 因為E，F(xiàn)為BC，C1C的中點，所以EFAD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點共面，所以截面即為梯形AEFD1又因為D1SAS2，AD12，所以SAD1S×2×6，所以S梯形AEFD16×，故結(jié)論正確；對于 D，記點C與點G到平面AEF的距離分別為h1，h2，因為VC­AEF·SAEF·h1VA­CEF××2，又因為VG­AEF×SAEF·h2VA­GEF××2，所以h1h2，故結(jié)論錯誤，故選C17(2020·貴州模擬)已知三個互不重合的平面，且直線m，n不重合，由下列條件：mn，m；n，；，n.能推得n的條件是_mn，m，可能n；n，面面平行的性質(zhì)得出成立；，n，若與相交，n可能與相交故填.18一題兩空(2020·成都模擬)如圖，圓錐VO的母線長為l，軸截面VAB的頂角AVB150°，則過此圓錐的頂點作該圓錐的任意截面VCD，則VCD面積的最大值是_，此時VCD_.l245°過此圓錐的頂點作該圓錐的任意截面VCD，則VCD面積的最大值時是等腰直角三角形時，此時SVCD·l2·sin 90°l2，且VCD45°.19(2020·南開模擬)如圖，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上一點，且C1P2PC設(shè)三棱錐P­D1DB的體積為V1，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的體積為V，則的值為_正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中的體積VDC×BC×DD1，三棱錐P­D1DB的體積為V1SDD1P×BCDD1×DC×BCV.則的值為.20(2020·江南十校模擬)已知點A，B，C在半徑為2的球O的球面上，且OA，OB，OC兩兩所成的角相等，則當三棱錐O­ABC的體積最大時，平面ABC截球O所得的截面圓的面積為_由題意知，三棱錐O­ABC為正三棱錐，如圖所示：D為BC中點，OG平面ABC，且G為ABC的重心，設(shè)ABx，則AGAD×xx，OG，VO­ABC×x2·，令tx2(0,12)g(t)t2(12t)g(t)3t224t，令g(t)0，解得t8，且t(0,8)時，g(t)單調(diào)遞增；t(8,12)時，g(t)單調(diào)遞減，x2t8時，三棱錐O­ABC體積最大，此時AG2，平面ABC截球O所得的截面圓的面積S·AG2.21(2020·四川蓉城名校聯(lián)盟第二次聯(lián)考)在四面體ABCD中， ABCD，ACBD，ADBC5，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點則下述結(jié)論：四面體ABCD的體積為20；異面直線AC，BD所成角的正弦值為；四面體ABCD外接球的表面積為50；若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為6.其中正確的有_(填寫所有正確結(jié)論的編號)根據(jù)四面體特征，可以補圖成長方體設(shè)其邊長為a，b，c，則解得a3，b4，c5補成長，寬，高分別為3,4,5的長方體，在長方體中：四面體ABCD的體積為V3×4×54×××3×4×520，故正確；異面直線AC，BD所成角的正弦值等價于邊長為5,3的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯誤；四面體ABCD外接球就是長方體的外接球，半徑R，其表面積為50，故正確；由于EF，故截面為平行四邊形MNKL，可得KLKN5，設(shè)異面直線BC與AD所成的角為，則sin sinHFBsinLKN，算得sin ，SMNKLNK·KL·sinNKL×6.故正確