專題限時集訓(十五)選考系列1選修44：坐標系與參數方程(2019·全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值解(1)因為11，且x21，所以C的直角坐標方程為x21(x1)l的直角坐標方程為2xy110.(2)由(1)可設C的參數方程為(為參數，)C上的點到l的距離為.當時，4cos11取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為.選修45：不等式選講(2020·全國卷)設a，b，cR，abc0，abc1.(1)證明：abbcca<0；(2)用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，證明：maxa，b，c.證明(1)由題設可知，a，b，c均不為零，所以abbcca(abc)2(a2b2c2)(a2b2c2)0.(2)不妨設maxa，b，ca，因為abc1，a(bc)，所以a0，b0，c0.由bc，可得abc，故a，所以maxa，b，c.2選修44：坐標系與參數方程 (2019·全國卷)在極坐標系中，O為極點，點M(0，0)(00)在曲線C：4sin 上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當0時，求0及l(fā)的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程解(1)因為M(0，0)在曲線C上，當0時，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.設Q(，)為l上除P外的任意一點在RtOPQ中，cos|OP|2.經檢驗，點P在曲線cos2上所以，l的極坐標方程為cos2.(2)設P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因為P在線段OM上，且APOM，故的取值范圍是.所以，P點軌跡的極坐標方程為4cos ，.選修45：不等式選講(2019·全國卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)當a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)時，f(x)0，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|x1|x|x2|(x1)當x1時，f(x)2(x1)20；當x1時，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集為(，1)(2)因為f(a)0，所以a1.當a1，x(，1)時，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范圍是1，)3選修44：坐標系與參數方程 (2019·全國卷)如圖，在極坐標系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1,0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|，求P的極坐標解(1)由題設可得，弧，所在圓的極坐標方程分別為2cos ，2sin ，2cos .所以M1的極坐標方程為2cos ，M2的極坐標方程為2sin ，M3的極坐標方程為2cos .(2)設P(，)，由題設及(1)知：若0，則2cos ，解得；若，則2sin ，解得或；若，則2cos ，解得.綜上，P的極坐標為或或或.選修45：不等式選講(2019·全國卷)設x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.解(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，當且僅當x，y，z時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)證明：因為(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，當且僅當x，y，z時等號成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設知，解得a3或a1.1選修44：坐標系與參數方程(2020·福清模擬)已知曲線C1：x2(y2)24在伸縮變換 下得到曲線C2，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)把C1化為極坐標方程并求曲線C2的極坐標方程；(2)射線(>0,0<<)與C1，C2交點為A，B，|AB|2，求.解(1)曲線C1：x2(y2)24，轉換為極坐標方程為：4sin .伸縮變換 轉換為： 代入曲線C1：x2(y2)24，得到極坐標方程為8sin .(2)把代入4sin ，即4sin ，轉換為A(4sin ，)，同理B(8sin ，)，由于0<<，所以|AB|8sin 4sin |4sin 2，解得sin ，故或.選修45：不等式選講(2020·安陽一模)已知a，b，cR，xR，不等式|x1|x2|abc恒成立(1)求證：a2b2c2；(2)求證：.解(1)|x1|x2|x1x2|1，abc1.a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，2a22b22c22ab2bc2ac，3a23b23c2a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，a2b2c2.(2)a2b22ab,2a22abb2(ab)2，即a2b2，兩邊開平方得|ab|(ab)同理可得(bc)，(ca)三式相加，得(abc).2選修44：坐標系與參數方程(2020·汨羅一模)在平面直角坐標系xOy中，傾斜角為的直線l的參數方程為(t為參數)以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是sin24cos 0.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l經過曲線C的焦點F且與曲線C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為Q，求的值解(1)直線l的參數方程為 (t為參數)，直線l的普通方程為ytan ·x1 ，由sin24cos 0，得2sin24cos 0，即y24x0，曲線C的直角坐標方程為y24x.(2)直線l經過曲線C的焦點F，tan 1，直線l的傾斜角. 直線l的參數方程為 (t為參數)代入y24x，得t24t80, 設A，B兩點對應的參數為t1，t2.Q為線段AB的中點，點Q對應的參數值為2.又點F，則2.選修45：不等式選講(2020·石家莊二中模擬)已知兩個正數a，b滿足a2b2.(1)求a2b2的最小值；(2)若不等式13a4b2ab對任意的xR恒成立，求實數a的取值范圍解(1)兩個正數a，b滿足a2b2，可得a22b，a2b2(22b)2b25b28b452，由a>0，b>0，可得22b>0，即有0<b<1，則當b時，a2b2的最小值為.(2)不等式|2x4|x1|13a4b2ab對任意的xR恒成立，|2x4|x1|1|x2|(|x2|x1|)10|x2x1|14，當且僅當x2時取得等號，則|2x4|x1|1的最小值為4，可得3a4b2ab4，又2b2a>0，即0<a<2，再由3a4b2ab3a2(2a)a(2a)4，化為a2a0，即0a1，由可得0<a1.故實數a的取值范圍是(0,13選修44：坐標系與參數方程(2020·陜西省高三教學質量檢測一)在平面直角坐標系xOy中，l的參數方程為 (t為參數)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2.(1)求l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)求曲線C上的點到l距離的最大值及該點坐標解(1)由 (t為參數)，得x1.消去參數t，得l的普通方程為x2y10(x1)將2去分母得322sin212，將ysin ，2x2y2代入，得1，所以曲線C的直角坐標方程為1.(2)由(1)可設曲線C的參數方程為 (為參數)，則曲線C上的點到l的距離d，當cos1，即2k，kZ時，dmax，此時， (kZ)所以曲線C上的點到直線l距離的最大值為，該點坐標為.選修45：不等式選講(2020·長郡中學模擬)設函數f(x)|2x1|.(1)若函數F(x)f(x)ax有最小值，求a的取值范圍；(2)若關于x的不等式f(x)|2x1|xm|的解集為A，且A，求實數m的取值范圍解(1)F(x)f(x)ax 使F(x)有最小值的充要條件為即a2,2(2)由題意知：|2x1|2x1|xm|在上恒成立，即|xm|2x1(2x1)即|xm|2在x上恒成立，則2xm2.故(x2)maxm(x2)min，解得m0.故實數m的取值范圍為.1選修44：坐標系與參數方程在直角坐標系xOy下，曲線C1的參數方程為 ( 為參數)，曲線C1在變換T： 的作用下變成曲線C2.(1)求曲線C2的普通方程；(2)若m>1，求曲線C2與曲線C3：ym|x|m的公共點的個數解(1)因為曲線C1的參數方程為 所以曲線C1的普通方程為x2y21, 將變換T： 即 代入x2y21，得y21, 所以曲線C2的普通方程為y21. (2)因為m>1，所以C3上的點A在橢圓E：y21外，當x>0時，曲線C3的方程化為ymxm，代入y21，得(4m21)x28m2x4(m21)0，(*)因為64m44(4m21)·4(m21)16(3m21)>0，所以方程(*)有兩個不相等的實根x1，x2，又x1x2>0，x1x2>0，所以x1>0，x2>0，所以當x>0時，曲線C2與曲線C3有且只有兩個不同的公共點， 又因為曲線C2與曲線C3都關于y軸對稱，所以當x<0時，曲線C2與曲線C3有且只有兩個不同的公共點，綜上，曲線C2與曲線C3：ym|x|m的公共點的個數為4.選修45：不等式選講已知函數f2.(1)解不等式fx；(2)設f的最大值為m，若2ab2bc2cam，a，b，cR，求abc的最小值解(1)由題意，函數f因為fx，可得 或或解得6x，所以不等式解集為：.(2)由(1)知，當x1時，fmax2，所以m2，可得a>0，b>0，c>0，所以22ab2bc2caa2b2b2c2c2a22a22b22c2，所以23，即abc，當且僅當a2b2c2時取等號，即abc的最小值為.2選修44：坐標系與參數方程在新中國成立70周年國慶閱兵典禮中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情在數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為1sin (0<2，>0)，M為該曲線上的任意一點(1)當|OM|時，求M點的極坐標；(2)將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求|MN|的最大值解(1)設點M在極坐標系中的坐標，由1sin ，得1sin ，sin ，0<2， 或.所以點M的極坐標為或.(2)由題意可設M(1，)，N.由1sin ，得11sin ，21sin1cos .|MN|.故時，|MN|的最大值為1.選修45：不等式選講已知f(x)(aR)(1)若a1，求不等式f(x)>4的解集；(2)m(0,1)，x0R，>f(x0)，求實數a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)f(x)>4或或x>2，或x<2.所以不等式f(x)>4的解集為(，2)(2，)(2)因為f(x)，m(0,1)，5529.當且僅當m時等號成立，依題意，m(0,1)，x0R，有>f(x0)，則<9，解之得10<a<8，故實數a的取值范圍是(10,8)3選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知P是曲線C1：x2(y2)24上的動點，將OP繞點O順時針旋轉90°得到OQ，設點Q的軌跡為曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；(2)在極坐標系中，點M，射線(0)與曲線C1，C2分別相交于異于極點O的A，B兩點，求MAB的面積解(1)由題意，點Q的軌跡是以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，則曲線C2：(x2)2y24，2x2y2，xcos ，ysin ，曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為4cos .(2)在極坐標系中，設A，B的極徑分別為1，2，|AB|12|4|sincos|2(1)又M到射線(0)的距離h3sin，MAB的面積S|AB|·h.選修45：不等式選講已知函數f(x)|x1|x2|，記f(x)的最小值為m.(1)解不等式f(x)5；(2)若正實數a，b滿足，求證：2m.解(1)當x1時，f(x)(x1)(x2)2x15，即x2，1x2；當2x1時，f(x)(1x)(x2)35，2x1；當x2時，f(x)(1x)(x2)2x15，即x3，3x2.綜上所述，原不等式的解集為x|3x2(2)f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，當且僅當2x1時，等號成立f(x)的最小值m3.5，即6，當且僅當××即3a2b時，等號成立又，a，b時，等號成立2m.