第第2講分分類討論思想、思想、轉(zhuǎn)化與化化與化歸思想思想高高考考定定位位分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想近幾年高考每年必考，一般都在解答題中，難度較大.1.在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們常常會(huì)遇到這樣一種情況：解到某一步之后，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的發(fā)展是按照不同的方向進(jìn)行的.當(dāng)被研究的問(wèn)題包含了多種情況時(shí)，就必須抓住主導(dǎo)問(wèn)題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問(wèn)題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究.其研究的基本方向是“分”，但分類解決問(wèn)題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合分合”的解決問(wèn)題的思想，就是分類討論法.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.2.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)、三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式等.(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等.(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等.(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等.3.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法.一般是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.轉(zhuǎn)化與化歸思想是實(shí)現(xiàn)具有相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)知識(shí)板塊進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，如函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、數(shù)與形、式與數(shù)、角與邊、空間與平面、實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的互化等，消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法等都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們也經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意相近主干知識(shí)之間的互化，注重知識(shí)的綜合性.4.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略，同時(shí)也是獲取成功的思維方式.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題.(2)換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題.(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑.(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到化歸的目的.(5)特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問(wèn)題、結(jié)論適合原問(wèn)題.(6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題.(7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑.(8)類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于確定.(9)參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進(jìn)行解決.(10)補(bǔ)集法：如果正面解決原問(wèn)題有困難，可把原問(wèn)題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類比為全集U，通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集UA獲得原問(wèn)題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.熱點(diǎn)一分類討論思想的應(yīng)用微題型1運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)列問(wèn)題探究提高利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，需要分公比q1和q1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?jīng)Q定的.一般地，在應(yīng)用帶有限制條件的公式時(shí)要小心，根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論.微題型2運(yùn)用分類討論思想解決導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題(1)若m1，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)減減增增減減探究提高分類討論思想在解決導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題時(shí)的常見(jiàn)類型：(1)含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題：對(duì)于含參數(shù)的不等式，應(yīng)注意分類討論的原因、標(biāo)準(zhǔn)、順序.如一元二次不等式，應(yīng)按“開(kāi)口方向相應(yīng)方程有無(wú)實(shí)根根的大小”進(jìn)行討論.(2)含參數(shù)的函數(shù)的極值(最值)問(wèn)題：常在以下情況下需要分類討論：導(dǎo)數(shù)為零時(shí)自變量的大小不確定需要討論；導(dǎo)數(shù)為零的自變量是否在給定的區(qū)間內(nèi)不確定需要討論；端點(diǎn)處的函數(shù)值和極值大小不確定需要討論；參數(shù)的取值范圍不同導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化不確定需要討論.(3)含參數(shù)的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題：常需要根據(jù)參數(shù)與極值的大小關(guān)系分類討論.微題型3運(yùn)用分類討論思想解決圓錐曲線中的參數(shù)問(wèn)題所以BMDE，綜上可知，直線BM與直線DE平行.探究提高與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題中應(yīng)用分類討論思想的常見(jiàn)類型：(1)判斷曲線的類型：判斷曲線的類型，常依據(jù)二元方程對(duì)其參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)一般考慮二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)、大小關(guān)系.(2)參數(shù)方程、不等式的求解：如求離心率、漸近線方程時(shí)對(duì)圓錐曲線焦點(diǎn)位置的討論，或者對(duì)方程系數(shù)的討論，或者求解過(guò)程中分母是否為0的討論.(3)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定：對(duì)于含參數(shù)的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的求解，如對(duì)直線斜率存在與否的討論、消元后二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的討論，判別式與0的大小關(guān)系的討論等.熱點(diǎn)二轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用微題型1特殊與一般的轉(zhuǎn)化答案(1)C(2)2 016探究提高一般問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單.特殊問(wèn)題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問(wèn)題的效果.微題型2常量與變量的轉(zhuǎn)化探究提高在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看做是“主元”，而把其它變?cè)醋鍪浅Ａ浚瑥亩_(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的.微題型3換元轉(zhuǎn)化問(wèn)題探究提高換元法的特點(diǎn)是通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，把陌生的形式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ男问?高中數(shù)學(xué)中主要換元法有整體換元、三角換元、對(duì)稱換元、均值換元等等.換元法應(yīng)用廣泛，如解方程、解不等式、證明不等式、求函數(shù)的值域、求數(shù)列的通項(xiàng)與和等，在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用.解題過(guò)程中要注意換元后新變量的取值范圍.1.分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”.用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問(wèn)題的操作過(guò)程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)逐類進(jìn)行討論歸納綜合結(jié)論檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對(duì)象彼此交集為空集，并集為全集).做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論.常見(jiàn)的分類討論問(wèn)題有：(1)集合：注意集合中空集討論.(2)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a1和0a1的討論；函數(shù)yax2bxc有時(shí)候分a0和a0的討論；對(duì)稱軸位置的討論；判別式的討論.(3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論.(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論；(7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論.(8)概率中的分類問(wèn)題.(9)去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則(1)熟悉已知化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決.(2)簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).(3)和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.(4)正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探討，使問(wèn)題獲得解決.