第二章 平面問題的基本理論一一.平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題yxyZt/2簡化為圖示等厚度板簡化為圖示等厚度板受載情況受載情況-平行于板平行于板面且沿板厚均勻分布面且沿板厚均勻分布 前后板面沒有載荷；前后板面沒有載荷；此種情況即屬平面應(yīng)此種情況即屬平面應(yīng)力問題。力問題。2.1 2.1 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題題2.2.平面應(yīng)力問題的特征平面應(yīng)力問題的特征1.1.引例：引例：墻壁、座艙隔板等墻壁、座艙隔板等薄板如圖：厚度為薄板如圖：厚度為t,t,以薄板的中面為以薄板的中面為xyxy面面,以垂以垂直于中面的任一直線為直于中面的任一直線為z z軸軸,建立坐標(biāo)系如圖所建立坐標(biāo)系如圖所示。因板面上（示。因板面上（z=z=t/2t/2）不受力，所以有：不受力，所以有：根據(jù)剪應(yīng)力互等定理可知根據(jù)剪應(yīng)力互等定理可知xyzyt/2t/2所以所以,在薄板中只剩下平行于在薄板中只剩下平行于x x、y y面的三個應(yīng)力面的三個應(yīng)力分量，即：分量，即：此即為平面應(yīng)力問題的特征。用單元體可表示如圖此即為平面應(yīng)力問題的特征。用單元體可表示如圖二二.平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 簡化為等長度很長的截面柱體簡化為等長度很長的截面柱體,載荷垂直于長度方載荷垂直于長度方向，且沿長度方向不變向，且沿長度方向不變作為無限長柱體看待。作為無限長柱體看待。3.3.平面應(yīng)力問題的定義平面應(yīng)力問題的定義對于僅有平行于對于僅有平行于xyxy面的三個應(yīng)力分量的均質(zhì)薄板面的三個應(yīng)力分量的均質(zhì)薄板類問題，就稱為平面應(yīng)力問題。類問題，就稱為平面應(yīng)力問題。1.1.引例引例:水壩、隧洞等水壩、隧洞等2.2.平面應(yīng)變問題的特征平面應(yīng)變問題的特征(1)(1)位移分量位移分量對于無限長柱體，由于任一橫截面都可看成對稱截對于無限長柱體，由于任一橫截面都可看成對稱截面，而對稱截面上的各點是不能產(chǎn)生沿面，而對稱截面上的各點是不能產(chǎn)生沿Z Z向的位移向的位移的，因此的，因此,對任一截面都應(yīng)有：對任一截面都應(yīng)有：(2)(2)應(yīng)變分量應(yīng)變分量根據(jù)對稱關(guān)系和剪應(yīng)力互等定理有根據(jù)對稱關(guān)系和剪應(yīng)力互等定理有(3)(3)應(yīng)力分量應(yīng)力分量對于平面應(yīng)變問體對于平面應(yīng)變問體,真正獨立的應(yīng)力分量只有三個。真正獨立的應(yīng)力分量只有三個。3.3.平面應(yīng)變問題的定義平面應(yīng)變問題的定義對于無限長柱體，對于無限長柱體，所有的應(yīng)變與位移都發(fā)生所有的應(yīng)變與位移都發(fā)生xoyxoy面內(nèi)，就稱為平面應(yīng)力問題。這類問題稱為平面面內(nèi)，就稱為平面應(yīng)力問題。這類問題稱為平面應(yīng)變問題應(yīng)變問題小結(jié)：平面問題基本未知量小結(jié)：平面問題基本未知量平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題1.應(yīng)力分量應(yīng)力分量（3個）個）獨立的（獨立的（3個）個）2.應(yīng)變分量應(yīng)變分量獨立的（獨立的（3個）個）（3個）個）3.位移分量位移分量獨立的（獨立的（2個）個）（2個）個）2.22.2平衡微分方平衡微分方程程一一.平面應(yīng)力問題平衡方程平面應(yīng)力問題平衡方程應(yīng)力分量同體力分量之間的關(guān)系應(yīng)力分量同體力分量之間的關(guān)系1.1.研究對象研究對象 取單元體尺寸取單元體尺寸dxdx,dydy,單位厚度，單位厚度，體積力體積力f fx x、f fy y。(1)(1)由于應(yīng)力分量是點的位置坐標(biāo)的函數(shù)，因此，由于應(yīng)力分量是點的位置坐標(biāo)的函數(shù)，因此，在單元體兩個對應(yīng)平面上在單元體兩個對應(yīng)平面上,應(yīng)力相差一個微量。應(yīng)力相差一個微量。(2)(2)由于單元體是由于單元體是微小的，故，它的各微小的，故，它的各面上所受應(yīng)力可認(rèn)為面上所受應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布的，體力是均勻分布的，體力也是均勻分布的。也是均勻分布的。注：注：2.2.靜力平衡條件：靜力平衡條件：剪應(yīng)力互等：上式即為材料力學(xué)中的剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等：上式即為材料力學(xué)中的剪應(yīng)力互等定理定理(正負(fù)號有差別正負(fù)號有差別)(1)(1)對單元體形心取矩平衡對單元體形心取矩平衡,（3 3）平衡方程）平衡方程:由式（由式（2-22-2）可知：兩個方程包含三個未知量，屬超）可知：兩個方程包含三個未知量，屬超靜定問題，要想求應(yīng)力分量，還須找出幾何方程。靜定問題，要想求應(yīng)力分量，還須找出幾何方程。二二.平面應(yīng)變問題的平衡方程平面應(yīng)變問題的平衡方程 由于在、面內(nèi)的受力平衡同平面應(yīng)力問題的由于在、面內(nèi)的受力平衡同平面應(yīng)力問題的情況完全相同，故方程情況完全相同，故方程(-）同樣適用于平面應(yīng)）同樣適用于平面應(yīng)變問題。變問題。對于平面應(yīng)變問題在對于平面應(yīng)變問題在z方向上有正應(yīng)力，但它們不隨方向上有正應(yīng)力，但它們不隨z 的變化而變化，所以能保持自平衡。的變化而變化，所以能保持自平衡。2.32.3幾何方程幾何方程一一.幾何變形圖幾何變形圖應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系uvxyoPoBoAoPABabP Po oA Ao o=dxdx，y y向微向微分線段分線段P Po oB Bo o=dydy,且且P Po oA Ao o A Ao oB Bo o位移分量是點的位置坐標(biāo)位移分量是點的位置坐標(biāo)的函數(shù)的函數(shù);因此因此,線段兩端的線段兩端的位移相差一個微量。位移相差一個微量。二二.線應(yīng)變線應(yīng)變?nèi)?剪應(yīng)變剪應(yīng)變abuvxyoPoBoAoPAB通過兩正交微分線段的角位移研究通過兩正交微分線段的角位移研究四四.幾何方程幾何方程五五.剛體位移剛體位移(1)(1)由幾何方程可知，給定由幾何方程可知，給定u u、v v可完全確定可完全確定 x x、y y、xyxy(2)(2)給定給定 x x、y y、xyxy，不能完全確定不能完全確定u u、v v；關(guān)于此論點關(guān)于此論點 可以從下面的可以從下面的“剛體位移的討論中可以看出來。剛體位移的討論中可以看出來。-剛體位剛體位移移-是待定常數(shù)，要由約束條件決是待定常數(shù)，要由約束條件決定。定。上式是在應(yīng)變分量均為零的情況下得出的，上式是在應(yīng)變分量均為零的情況下得出的，因此該位移因此該位移由（由（c c）式得：式得：謝謝各位！謝謝各位！