32 立體幾何中的向量方法32 1 直線的方向向量與平面的法向量1了解如何用向量把空間的點(diǎn)、直線、平面表示來出2理解并掌握用向量方法解決立體幾何問題3掌握把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題1空間中的點(diǎn)P，可用向量OP表示，OP稱為點(diǎn)P的_ 2空間中任意一條直線 l 的位置可以由_以及一個向量確定，這個向量叫做直線的_3直線 l平面，取直線 l 的方向向量 a，則向量a平面，向量 a 叫做平面的_注意：(1)平面的一個法向量垂直于與平面共面的所有向量(2)一個平面的法向量有無限多個，且它們互相平行 位置向量 l上一個定點(diǎn)A 方向向量 法向量 4設(shè) a，b 在平面內(nèi)(或與平行)，a 與 b 不平行，直線 l的方向向量為 c，則 l_.ac且bc(或ac0且bc0)【要點(diǎn)1】用直線的方向向量確定空間中的直線和平面【要點(diǎn)2】平面法向量的求法【要點(diǎn)3】直線的方向向量與平面的法向量的應(yīng)用面ABC內(nèi)的任意向量，不妨取AB，BC，因它們的基線相交，將題型1 求平面的法向量例1：已知點(diǎn) A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一個法向量思維突破：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量自主解答：設(shè)平面 ABC 的一個法向量為 n，則 n 垂直于平 其轉(zhuǎn)化成數(shù)量積為 0，求得 n.C面的位置關(guān)系題型2 由直線的方向向量與平面的法向量判斷線、ab8620.ab.l1l2.(2)u(1,3,0)，v(3,9,0)，v3u.vu.(3)a(1,4,3)，u(2,0,3)au0 且 aku(kR)a 與 u 既不垂直也不共線，即 l 與相交但不垂直(4)a(3,2,1)，u(1,2,1)，au3410.au.l或 l.自主解答：(1)a(1,3,1)，b(8,2,2)，2下列命題中正確的是()AA若 n 是平面 ABC 的一個法向量，則 n 和平面 ABC 內(nèi)任意一條直線的方向向量垂直B若 n 和平面 ABC 內(nèi)兩條直線的方向向量垂直，則 n 是平面 ABC 的法向量C若 n 既是平面 的法向量，又是平面 的法向量，則 D若 ，則它們所有共同的法向量都在一條直線上例3：如圖 321，在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分別是 C1C，B1C1 的中點(diǎn)求證：MN平面 A1BD.圖 321題型3 用向量方法證明線面、面面平行線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量且直線不在平面內(nèi)；證明直線的方向向量與平面的法向量垂直證明面面平行時可以直接證明兩平面的法向量平行思維突破：用向量法證明線面平行有如下方法：證明直3若互不重合的平面，的法向量分別為 u(1，2，2)，v(3，6，6)，證明：.證明：u(1，2，2)，v(3，6，6)，v3u，即 vu.又u，v 分別為平面，的法向量且，互不重合，.【變式與拓展】例4：如圖 322，在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，O 為AC 與 BD 的交點(diǎn)，G 為 CC1 的中點(diǎn)，求證：A1O平面 GBD.圖 322思維突破：用向量法證明線面垂直一般有如下兩種方法：證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線的向量垂直；證明直線的方向向量與平面的法向量平行題型4 用向量方法證明線面、面面垂直【變式與拓展】4已知在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別是 B1B，CD 的中點(diǎn)求證：平面 DEA平面 A1FD1.證明：如圖 D16，建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz.不妨設(shè)正方體的棱長為 2，則 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,0)，E(2,2,1)圖 D16