第2講 不等式的證明 [基礎題組練] 1．設a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項，求證：＋≥4. 證明：由是3a與3b的等比中項得 3a·3b＝3， 即a＋b＝1，要證原不等式成立， 只需證＋≥4成立，即證＋≥2成立， 因為a＞0，b＞0，所以＋≥2＝2， (當且僅當＝，即a＝b＝時，“＝”成立)， 所以＋≥4. 2．求證：＋＋＋…＋＜2. 證明：因為＜＝－， 所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋ ＝1＋＋＋…＋＝2－＜2. 3．(2019·長春市質量檢測(二))已知函數(shù)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|. (1)求f(x)<2的解集； (2)若f(x)的最小值為T，正數(shù)a，b滿足a＋b＝，求證：＋≤T. 解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝＝，其圖象如圖，由圖象可知：f(x)<2的解集為. (2)證明：由圖象可知f(x)的最小值為1， 由基本不等式可知≤＝＝， 當且僅當a＝b時，“＝”成立，即＋≤1＝T. 4．設不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集為M，a，b∈M. (1)證明：＜； (2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小． 解：(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0 解得－＜x＜，即M＝，所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝. (2)由(1)得a2＜，b2＜，因為|1－4ab|2－4|a－b|2 ＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2) ＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 故|1－4ab|2＞4|a－b|2，即|1－4ab|＞2|a－b|. [綜合題組練] 1．設a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1. (1)求證：2ab＋bc＋ca＋≤； (2)求證：＋＋≥2. 證明：(1)要證2ab＋bc＋ca＋≤，只需證1≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，即證1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立， 所以2ab＋bc＋ca＋≤. (2)因為≥，≥，≥， 所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2(當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立)． 2．(2019·新疆自治區(qū)適應性檢測)設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|2x－4|，g(x)＝9＋2x－x2. (1)解不等式f(x)>1； (2)證明：|8x－16|≥g(x)－2f(x)． 解：(1)當x≥2時，f(x)＝2x＋1－(2x－4)＝5>1恒成立，所以x≥2. 當－≤x<2時，f(x)＝2x＋1－(4－2x)＝4x－3>1，得x>1，所以1<x<2. 當x<－時，f(x)＝－2x－1－(4－2x)＝－5>1不成立． 綜上，原不等式的解集為(1，＋∞)． (2)證明：|8x－16|≥g(x)－2f(x)?|8x－16|＋2f(x)≥g(x)， 因為2f(x)＋|8x－16|＝|4x＋2|＋|4x－8|≥|(4x＋2)－(4x－8)|＝10，當且僅當－≤x≤2時等號成立，所以2f(x)＋|8x－16|的最小值是10， 又g(x)＝－(x－1)2＋10≤10，所以g(x)的最大值是10，當x＝1時等號成立． 因為1∈，所以2f(x)＋|8x－16|≥g(x)， 所以|8x－16|≥g(x)－2f(x)． 3．(2019·四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝m－|x－1|，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集為[－2，4]． (1)求m的值； (2)若a，b，c為正數(shù)，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥3. 解：(1)由f(x＋2)＋f(x－2)≥0得，|x＋1|＋|x－3|≤2m， 設g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，則g(x)＝ 數(shù)形結合可得g(－2)＝g(4)＝6＝2m，得m＝3. (2)證明：由(1)得＋＋＝3. 由柯西不等式，得(a＋2b＋3c)≥＝32， 所以a＋2b＋3c≥3. 4．(綜合型)(2019·陜西省質量檢測(一))已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|. (1)解不等式f(x)≤3； (2)記函數(shù)g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域為M，若t∈M，證明：t2＋1≥＋3t. 解：(1)依題意，得f(x)＝ 所以f(x)≤3?或或 解得－1≤x≤1， 即不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤1}． (2)證明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3， 當且僅當(2x－1)(2x＋2)≤0時取等號， 所以M＝[3，＋∞)． t2＋1－3t－＝＝， 因為t∈M，所以t－3≥0，t2＋1>0， 所以≥0， 所以t2＋1≥＋3t.