加課練(1)——函數(shù)的圖象與性質(zhì) A組　基礎(chǔ)題組 1.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ①f(x)=-x3;②f(x)=12|x|;③f(x)=-sinx;④f(x)=xe|x|. A.①③ B.①④ C.②③ D.③④ 答案　A　對(duì)于①,f(-x)=-(-x)3=x3=-f(x),且在(0,1)內(nèi),若x1<x2,則f(x1)>f(x2),故①滿足題意;對(duì)于②,f(-x)=12|-x|=12|x|=f(x),則f(x)是偶函數(shù),故②不滿足題意;對(duì)于③,f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x),且在(0,1)內(nèi),若x1<x2,則f(x1)>f(x2),故③滿足題意;對(duì)于④,f(-x)=-xe|-x|=-xe|x|=-f(x),但f(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù),故④不滿足題意.綜上,選A. 2.(2019四川成都模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足fx+32=f(x),當(dāng)x∈0,12時(shí),f(x)=log12(1-x),則f(x)在區(qū)間1,32上是(　　) A.減函數(shù)且f(x)>0 B.減函數(shù)且f(x)<0C.增函數(shù)且f(x)>0 D.增函數(shù)且f(x)<0 答案　D　當(dāng)x∈0,12時(shí),由f(x)=log12(1-x)可知f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0,又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以在區(qū)間-12,0上函數(shù)f(x)也單調(diào)遞增,且f(x)<0.由fx+32=f(x)知,32為函數(shù)f(x)的周期,所以在區(qū)間1,32上,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增且f(x)<0.故選D. 3.函數(shù)y=sinx-1x的圖象大致是(　　) 答案　B　函數(shù)y=sinx-1x是奇函數(shù),排除D.因?yàn)閥'=cosx+1x2,當(dāng)x∈0,π2時(shí),y'>0,所以函數(shù)y=sinx-1x在區(qū)間0,π2上是增函數(shù),排除A,C.故選B. 4.若定義在R上的函數(shù)f(x)存在有限個(gè)非零自變量x,使得f(-x)=f(x),則稱f(x)為類偶函數(shù).下列函數(shù)中為類偶函數(shù)的是(　　) A.f(x)=cosx B.f(x)=sinxC.f(x)=x2-2x D.f(x)=x3-2x 答案　D　A中函數(shù)為偶函數(shù),則在定義域內(nèi)均滿足f(x)=f(-x),不符合題意;B中,當(dāng)x=kπ(k∈Z)時(shí),滿足f(x)=f(-x),不符合題意;C中,由f(x)=f(-x),得x2-2x=x2+2x,解得x=0,不符合題意;D中,由f(x)=f(-x),得x3-2x=-x3+2x,解得x=0或x=±2,滿足題意,故選D. 5.(2018貴州貴陽(yáng)第一學(xué)期檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=2xx-1,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱 B.函數(shù)f(x)在(-∞,1)上是增函數(shù) C.函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A,B,使得直線AB∥x軸 D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 答案　A　因?yàn)閒(x)=2xx-1=2(x-1)+2x-1=2x-1+2,所以該函數(shù)圖象可以由y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱,A正確,D錯(cuò)誤;易知函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤.易知函數(shù)f(x)的圖象是由y=2x的圖象平移得到的,所以不存在兩點(diǎn)A,B使得直線AB∥x軸,C錯(cuò)誤.故選A. 6.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,若g(3)=2,則f(-2)=　　　　.  答案　3 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,且g(3)=2,所以f(2)=3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(-2)=f(2)=3. 7.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范圍是　　　　.  答案　(-1,0) 解析　由題意得x<0.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2(-x),y=x+1的圖象,易知滿足條件的x∈(-1,0). 8.若函數(shù)f(x)=ax-2x-1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a=　　　　.  答案　1 解析　函數(shù)f(x)=ax-2x-1=a+a-2x-1, 當(dāng)a=2時(shí),f(x)=2(x≠1),函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱, 故a≠2,其圖象的對(duì)稱中心為(1,a),所以a=1. 9.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析　(1)設(shè)x<0,則-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)為奇函數(shù), 所以f(-x)=-f(x), 所以x<0時(shí),f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增, 結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知a-2>-1,a-2≤1,所以1<a≤3, 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]. 10.已知函數(shù)f(x)=|x|(x-a),a>0. (1)作出函數(shù)f(x)的圖象; (2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),由圖象寫出f(x)的最小值. 解析　(1)f(x)=x(x-a),x≥0,-x(x-a),x<0,其圖象如圖所示. (2)由圖知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),a2,+∞;單調(diào)遞減區(qū)間是0,a2. (3)由圖象知,當(dāng)a2>1,即a>2時(shí),所求最小值f(x)min=f(1)=1-a; 當(dāng)0<a2≤1,即0<a≤2時(shí), 所求最小值f(x)min=fa2=-a24. 綜上,f(x)min=-a24(0<a≤2),1-a(a>2). B組　提升題組 1.(2019湖北武漢模擬)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2.規(guī)定:當(dāng)|f(x)|≥g(x)時(shí),h(x)=|f(x)|;當(dāng)|f(x)|<g(x)時(shí),h(x)=-g(x).則h(x)(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,無(wú)最小值 C.有最小值-1,無(wú)最大值 D.有最大值-1,無(wú)最小值 答案　C　如圖,畫出y=|f(x)|=|2x-1|與y=g(x)=1-x2的大致圖象,兩圖象相交于A,B兩點(diǎn).在A、B兩側(cè),|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之間,|f(x)|<g(x),故h(x)=-g(x).綜上可知,y=h(x)的圖象為圖中的實(shí)線部分,因此h(x)有最小值-1,無(wú)最大值.故選C. 2.已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有xf(x+1)=(1+x)f(x),則f20172的值是(　　) A.20172 B.1 C.0 D.2017 答案　C　xf(x+1)=(1+x)f(x)等價(jià)于f(x+1)x+1=f(x)x,所以函數(shù)y=f(x)x是T=1的周期函數(shù),所以f-12-12=f1212,化簡(jiǎn)為f-12=-f12,又因?yàn)閥=f(x)是偶函數(shù),所以f-12=f12,所以f12=0,所以f2017220172=f1212=2f12=0,即f20172=0. 3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,對(duì)任意x1,x2∈0,12,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2). (1)設(shè)f(1)=2,求f12,f14; (2)證明:f(x)是周期函數(shù). 解析　(1)由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈0,12,知f(x)=fx2·fx2≥0,x∈[0,1]. ∵f(1)=f12+12=f12·f12=f122,f(1)=2, ∴f12=212. ∵f12=f14+14=f14·f14=f142,f12=212,∴f14=214. (2)證明:∵y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱, ∴f(x)=f(2-x). 又∵f(x)是R上的偶函數(shù),∴f(-x)=f(x), ∴f(-x)=f(2-x),∴f(x)=f(2+x), ∴f(x)是定義在R上的周期函數(shù),且2是它的一個(gè)周期. 4.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x|x≠0},且滿足對(duì)于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論; (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍. 解析　(1)∵對(duì)于任意x1,x2∈D, 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)為偶函數(shù). 證明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=12f(1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)為偶函數(shù). (3)依題設(shè)有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函數(shù), ∴f(x-1)<2等價(jià)于f(|x-1|)<f(16). 又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù), ∴0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1, ∴x的取值范圍是{x|-15<x<17且x≠1}.