課時跟蹤檢測(五十六) 高考基礎題型得分練12017·山西太原模擬已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別是點F1，F(xiàn)2，其離心率e，點P為橢圓上的一個動點，PF1F2面積的最大值為4.(1)求橢圓的方程；(2)若A，B，C，D是橢圓上不重合的四個點，AC與BD相交于點F1，·0，求|的取值范圍解：(1)由題意，得當點P是橢圓的上、下頂點時，PF1F2面積取最大值，此時SPF1F2·|F1F2|·|OP|bc，bc4，e，b2，a4，橢圓的方程為1.(2)由(1)得，橢圓的方程為1，則F1的坐標為(2,0)，·0，ACBD.當直線AC與BD中有一條直線斜率不存在時，易得|6814.當直線AC的斜率k存在且k0時，則其方程為yk(x2)，設A(x1，y1)，C(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，|x1x2|，此時直線BD的方程為y(x2)，同理，由可得|，|，令tk21(k0)，則t>1，|，t>1，0<，|.由可知，|的取值范圍是.22017·甘肅蘭州模擬已知橢圓C1：1(a>b>0)的離心率為e，過C1的左焦點F1的直線l：xy20被圓C2：(x3)2(y3)2r2(r>0)截得的弦長為2.(1)求橢圓C1的方程；(2)設C1的右焦點為F2，在圓C2上是否存在點P，滿足|PF1|PF2|？若存在，指出有幾個這樣的點(不必求出點的坐標)；若不存在，請說明理由解：(1)直線l的方程為xy20，令y0，得x2，即F1(2,0)，c2，又e，a26，b2a2c22，橢圓C1的方程為1.(2)圓心C2(3,3)到直線l：xy20的距離d，又直線l：xy20被圓C2：(x3)2(y3)2r2(r>0)截得的弦長為2，r2，故圓C2的方程為(x3)2(y3)24.設圓C2上存在點P(x，y)滿足|PF1|PF2|，即|PF1|3|PF2|，且F1，F(xiàn)2的坐標分別為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則3，整理得2y2，它表示圓心是C，半徑是的圓|CC2|，故有2<|CC2|<2，故圓C與圓C2相交，有兩個公共點圓C2上存在兩個不同的點P，滿足|PF1|PF2|.32016·新課標全國卷已知拋物線C：y22x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程解：由題知，F(xiàn).設l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.(1)證明：由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1bk2.所以ARFQ.(2)解：設l與x軸的交點為D(x1,0)，則SABF|ba|·|FD|ba|，SPQF.由題設可得|ba|，所以x10(舍去)或x11.設滿足條件的AB的中點為E(x，y)當AB與x軸不垂直時，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)當AB與x軸垂直時，E與D重合所以，所求軌跡方程為y2x1.沖刺名校能力提升練12017·河北石家莊摸底考試平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的右焦點為F，離心率e，過點F且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)記橢圓C的上、下頂點分別為A，B，設過點M(m，2)(m0)的直線MA，MB與橢圓C分別交于點P，Q.求證：直線PQ必過一定點，并求該定點的坐標解：(1)由e，可得a24b2，因過點F垂直于x軸的直線被橢圓所截得弦長為1，所以1，所以b1，a4，橢圓C的方程為y21.(2)由(1)知，A(0,1)，B(0，1)，點M的坐標為(m，2)，直線MAP方程為yx1，直線MBQ方程為yx1.分別與橢圓y21聯(lián)立方程組，消去x，可得y2m2y40和(m24)y22m2ym240，由韋達定理，可解得P，Q.則直線PQ的斜率k，則直線方程為y，化簡可得直線PQ的方程為yx，恒過定點.所以直線PQ必過y軸上的一定點.2.如圖，已知橢圓1的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(1)若點G的橫坐標為，求直線AB的斜率；(2)記GFD的面積為S1，OED(O為原點)的面積為S2.試問：是否存在直線AB，使得S1S2？并說明理由解：(1)依題意可知，直線AB的斜率存在，設其方程為yk(x1)，將其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關系，得x1x2.故點G的橫坐標為，解得k±.(2)假設存在直線AB，使得S1S2，顯然直線AB不能與x軸、y軸垂直由(1)可得G.設點D的坐標為(xD,0)因為DGAB，所以×k1，解得xD，即D.因為GFDOED，所以S1S2|GD|OD|.即，整理得8k290.因為此方程無解，所以不存在直線AB，使得S1S2.32017·山西太原模擬如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P到拋物線C：y22px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上(1)求曲線C的方程及t的值；(2)記d，求d的最大值解：(1)y22px(p>0)的準線為x，1，p，拋物線C的方程為y2x.又點M(t,1)在拋物線C上，t1.(2)由(1)知，點M(1,1)，從而nm，即點Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設直線AB的斜率為k(k0)且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k·2m1，直線AB的方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m2>0，y1y22m，y1y22m2m.從而|AB|·|y1y2|·2.d2m(1m)1，當且僅當m1m，即m時等號成立，又m滿足4m4m2>0.d的最大值為1.