課時跟蹤檢測(五十三) 高考基礎(chǔ)題型得分練1已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0()A4 B2 C1 D8答案：C解析：由y2x，得2p1，即p，因此焦點F，準線方程為l：x.設(shè)點A到準線的距離為d，由拋物線的定義可知d|AF|，從而x0x0，解得x01，故選C.22017·山西運城期末已知拋物線x2ay與直線y2x2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為3，則此拋物線方程為()Ax2y Bx26yCx23y Dx23y答案：D解析：設(shè)點M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x22ax2a0，所以3，即a3，因此所求的拋物線方程是x23y.32017·吉林長春一模過拋物線y22px(p>0)的焦點F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點，則()A. B. C. D.答案：A解析：記拋物線y22px的準線為l，如圖，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分別是A1，B1，C，則有cosABB1，即cos 60°，由此得.4已知拋物線y22px(p0)的焦點F與雙曲線1的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且|AK|AF|，則點A的橫坐標為()A2 B3C2 D4答案：B解析：記拋物線的焦點為，準線為x.雙曲線的右焦點為(3,0)，所以3，即p6，即y212x.過A作準線的垂線，垂足為M，則|AK|AF|AM|，即|KM|AM|，設(shè)A(x，y)，則yx3，代入y212x，解得x3.52017·北京密云模擬已知兩點A(1,0)，B(b,0)如果拋物線y24x上存在點C，使得ABC為等邊三角形，那么實數(shù)b_.答案：5或解析：依題意，線段AB的垂直平分線x(b>1)與拋物線y24x的交點C滿足|CA|AB|b1|(其中n22(b1)，于是有2n2(b1)2，即22(b1)(b1)2，化簡得3b214b50，即(3b1)(b5)0，解得b5或b.6如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱橋離水面2 m，水面寬4 m，水位下降1 m后，水面寬_m.答案：2解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，A，B是拋物線與水面的交點由題意，得點A的坐標為(2，2)設(shè)拋物線的方程為x2ay，把A的坐標代入，得a2，即拋物線的方程為x22y.當(dāng)水位下降1(單位：m)時，水面的縱坐標為3，把y3代入拋物線的方程，得x±.水位下降1 m后，水面寬為2 m.7已知點M(3,2)是坐標平面內(nèi)一定點，若拋物線y22x的焦點為F，點Q是該拋物線上的一動點，則|MQ|QF|的最小值是_答案：解析：拋物線的準線方程為x，當(dāng)MQx軸時，|MQ|QF|取得最小值，此時點Q的縱坐標y2，代入拋物線方程y22x得Q的橫坐標x2，則|MQ|QF|23|.8已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足x1(x0)化簡得y24x(x0)(2)設(shè)過點M(m,0)(m0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)設(shè)l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，·0.(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等價于·y1y210，即y1y2(y1y2)22y1y210.由式，不等式等價于m26m14t2.對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m10，即32m32.由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·0，且m的取值范圍是(32，32)沖刺名校能力提升練1已知拋物線x24y上一點A的縱坐標為4，則點A到拋物線焦點的距離為()A. B4 C. D5答案：D解析：由題意知，拋物線的準線方程為y1，所以由拋物線的定義知，點A到拋物線焦點的距離為5.2已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若4，則|QF|()A. B. C3 D2答案：C解析：過點Q作QQl交l于點Q，因為4，所以|PQ|PF|34，又焦點F到準線l的距離為4，所以|QF|QQ|3.3設(shè)F為拋物線y26x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點若0，則|()A4 B6 C9 D12答案：C解析：由題意得，拋物線的焦點為F，準線方程為x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，0，點F是ABC的重心，x1x2x3.由拋物線的定義，可得|FA|x1x1，|FB|x2x2，|FC|x3x3，|x1x2x39.4過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點若|AF|3，則AOB的面積為_答案：解析：由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如圖所示，|AF|x113，x12，y12.設(shè)AB的方程為x1ty，由消去x得y24ty40.y1y24，y2，SAOB×1×|y1y2|.5.雙曲線1(a>0)的離心率為，拋物線C：x22py(p>0)的焦點在雙曲線的頂點上(1)求拋物線C的方程；(2)過M(1,0)的直線l與拋物線C交于E，F(xiàn)兩點，又過E，F(xiàn)作拋物線C的切線l1，l2，當(dāng)l1l2時，求直線l的方程解：(1)雙曲線的離心率e，又a>0，a1，雙曲線的頂點為(0,1)，又p>0，拋物線的焦點為(0,1)，拋物線C的方程為x24y.(2)由題意知，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，yx2，yx，切線l1，l2的斜率分別為，當(dāng)l1l2時，·1，x1x24，由得x24kx4k0，(4k)24(4k)>0，k<1或k>0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x24k4，k1，滿足，即直線l的方程為xy10.6已知拋物線y24x，直線l：yxb與拋物線交于A，B兩點(1)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；(2)若直線l與y軸負半軸相交，求AOB(O為坐標原點)面積的最大值解：(1)聯(lián)立消去x并化簡整理，得y28y8b0.依題意有6432b0，解得b2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b，設(shè)圓心Q(x0，y0)，則應(yīng)有x0，y04.因為以AB為直徑的圓與x軸相切，則圓的半徑為r|y0|4，又|AB|.所以|AB|2r8，解得b.所以x1x22b2y12b2y24b16，所以圓心為.故所求圓的方程為2(y4)216.(2)因為直線l與y軸負半軸相交，所以b0，又l與拋物線交于兩點，由(1)知b2，所以2b0，直線l：yxb，整理得x2y2b0，點O到直線l的距離d，所以SAOB|AB|d4b·4·.令g(b)b32b2，2b0，g(b)3b24b3b，當(dāng)b變化時，g(b)，g(b)的變化情況如下表：bg(b)0g(b)極大值由上表可得g(b)的最大值為g.故SAOB4×.所以當(dāng)b時，AOB的面積取得最大值.