專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(五)B [第5講　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用] (時(shí)間：45分鐘) 　　　　 　　 　　　 　　 　　　　　 　 1．函數(shù)y＝xex的最小值是(　　) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 2．設(shè)曲線(xiàn)y＝在點(diǎn)(3,2)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)ax＋y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 3．已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，則函數(shù)f(a)的最大值為(　　) A．1 B. C. D. 4．垂直于直線(xiàn)2x－6y＋1＝0且與曲線(xiàn)f(x)＝x3＋3x2－1相切的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)f(x)及y軸所圍成的圖形的面積是________． 5．對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿(mǎn)足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　) A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1) 6．函數(shù)y＝xsinx＋cosx在下面哪個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)(　　) A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π) 7．已知函數(shù)f(x)＝x2eax，其中a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f(x)在(2，＋∞)上為減函數(shù)，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(－∞，2) 8．定義在區(qū)間[0，a]上的函數(shù)f(x)的圖象如圖5－1所示，記以A(0，f(0))，B(a，f(a))，C(x，f(x))為頂點(diǎn)的三角形面積為S(x)，則函數(shù)S(x)的導(dǎo)函數(shù)S′(x)的圖象大致是(　　) 圖5－1 圖5－2 9．若函數(shù)f(x)＝則f(x)dx＝________. 10．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1,5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表. x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖5－3所示： 圖5－3 下列關(guān)于f(x)的命題： ①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)； ②函數(shù)f(x)在[0,2]是減函數(shù)； ③如果當(dāng)x∈[－1，t]時(shí)，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4； ④當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－a有4個(gè)零點(diǎn)； ⑤函數(shù)y＝f(x)－a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0,1,2,3,4個(gè)． 其中正確命題的序號(hào)是________． 11．已知函數(shù)f(x)＝(x－k)2e. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若對(duì)于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范圍． 12．已知函數(shù)f(x)＝lnx. (1)函數(shù)g(x)＝3x－2x2，若函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)函數(shù)h(x)＝，函數(shù)G(x)＝h(x)·f(x)，若對(duì)任意x∈(0,1)，G(x)<－2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 13．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的極值； (2)討論函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； (3)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}均為正項(xiàng)數(shù)列，且滿(mǎn)足a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn，求證：a1b1·a2b2·…·anbn≤1. 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(五)B 【基礎(chǔ)演練】 1．C　[解析] y′＝ex＋xex，令y′＝0，則x＝－1.因?yàn)閤<－1時(shí)，y′<0，x>－1時(shí)，y′>0，所以x＝－1時(shí)，ymin＝－，選C. 2．B　[解析] y＝1＋，所以y′＝－，將x＝3代入得y′＝－，所以(－a)×－＝－1，解得a＝－2. 3．C　[解析] f(a)＝(2ax2－a2x)dx＝＝－a2＋a，這個(gè)關(guān)于a的二次函數(shù)當(dāng)a＝－＝時(shí)取得最大值，即所求的最大值是f＝－×＋×＝. 4.　[解析] 由題意得直線(xiàn)l的斜率為－3. 又f′(x)＝3x2＋6x，由3x2＋6x＝－3解得x＝－1，此時(shí)切點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1,1)，切線(xiàn)方程是y－1＝－3(x＋1)，即y＝－3x－2，如圖，則所求的面積是－1[f(x)－(－3x－2)]dx＝＝x4＋x3＋x2＋x＝. 【提升訓(xùn)練】 5．C　[解析] 依題意，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)，故f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，故f(0)＋f(2)≥2f(1)． 6．C　[解析] 因?yàn)閥′＝xcosx，當(dāng)x∈時(shí)，cosx>0，y′＝xcosx>0，此時(shí)函數(shù)y＝xsinx＋cosx為增函數(shù)，故選C. 7．A　[解析] f′(x)＝x(ax＋2)eax，由題意得f′(x)＝x(ax＋2)eax<0在[2，＋∞)上恒成立．即x(ax＋2)<0在[2，＋∞)上恒成立，即a<－在[2，＋∞)上恒成立，即a<－1. 8．D　[解析] 由于AB的長(zhǎng)度為定值，只要考慮點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離的變化趨勢(shì)即可．當(dāng)x在區(qū)間[0，a]變化時(shí)，點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離先是遞增，然后遞減，再遞增，再遞減，S′(x)的圖象先是在x軸上方，再到x軸下方，再回到x軸上方，再到x軸下方，并且函數(shù)在直線(xiàn)AB與函數(shù)圖象的交點(diǎn)處間斷，在這個(gè)間斷點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)發(fā)生突然變化，所以選項(xiàng)D中的圖象符合要求． 9．5－π　[解析] f(x)dx＝∫0cosxdx＋2dx＝sinx0＋2x2＝sin－sin0＋22－＝5－π. 10．②⑤　[解析] 周期性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的整體性質(zhì)，周期函數(shù)的圖象不能是一個(gè)閉區(qū)間上的一段，必需能夠保證周期的無(wú)限延展，故函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)，命題①不正確；從其導(dǎo)數(shù)的圖象可知，在區(qū)間(0,2)內(nèi)導(dǎo)數(shù)值小于零，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，由于函數(shù)圖象是連續(xù)的，故在區(qū)間[0,2]是減函數(shù)，命題②正確；函數(shù)f(x)在[－1,0)上遞增、在(0,2)上遞減、在(2,4)上遞增、在(4,5]上遞減，函數(shù)的最大值只能在f(0)處，或者f(4)處取得，因此只要0≤t≤5即可，因此t的最大值為5，命題③不正確；由于f(－1)＝1，f(0)＝2，f(4)＝2，f(5)＝1，根據(jù)③中的單調(diào)性，要使1<a<2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－a有四個(gè)零點(diǎn)，必須保證f(2)≤1，數(shù)據(jù)中沒(méi)有這個(gè)函數(shù)值，故命題④不正確；顯然當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－a沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)a＝2時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1<a<2時(shí)，根據(jù)f(2)在(－∞，2)之間取值的不同，函數(shù)可能有四個(gè)零點(diǎn)(f(2)≤1)、兩個(gè)零點(diǎn)(1<f(2)<2)，當(dāng)f(2)＝1，a＝1時(shí)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)f(2)<1且a＝f(2)時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，命題⑤正確． 11．解：(1)f′(x)＝(x2－k2)e>0， 當(dāng)k>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(－∞，－k)，(k，＋∞)，f(x)的減區(qū)間為(－k，k)， 當(dāng)k<0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(k，－k)，f(x)的減區(qū)間為(－∞，k)，(－k，＋∞)． (2)當(dāng)k>0時(shí)，f(k＋1)＝e>，所以不會(huì)有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤. 當(dāng)k<0時(shí)，由(1)有f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝， 所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等價(jià)于f(－k)＝≤ ?－≤k<0. 綜上，k的范圍為－，0. 12．解：(1)函數(shù)F(x)＝3x－2x2＋lnx，其定義域?yàn)?0，＋∞)． F′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)． 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞減， ∴函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)；函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)． (2)G(x)＝h(x)·f(x)＝lnx，由已知a≠0，因?yàn)閤∈(0,1)， 所以lnx<0. ①當(dāng)a<0時(shí)，G(x)>0.不合題意． ②當(dāng)a>0時(shí)，x∈(0,1)，由G(x)<－2，可得lnx＋＝<0. 設(shè)ψ(x)＝lnx＋，則x∈(0,1)，ψ(x)<0.ψ′(x)＝. 設(shè)m(x)＝x2＋(2－4a)x＋1，方程m(x)＝0的判別式Δ＝16a(a－1)． 若a∈(0,1]，Δ≤0，m(x)≥0，ψ′(x)≥0，ψ(x)在(0,1)上是增函數(shù)， 又ψ(1)＝0，所以x∈(0,1)，ψ(x)<0. 若a∈(1，＋∞)，Δ>0，m(0)＝1>0，m(1)＝4(1－a)<0，所以存在x0∈(0,1)，使得m(x0)＝0，對(duì)任意x∈(x0,1)，m(x)<0， ψ′(x)<0，ψ(x)在(x0,1)上是減函數(shù)， 又ψ(1)＝0，所以x∈(x0,1)，ψ(x)>0.不合題意． 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1]． 13．解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝－1(x>0)， 當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極大值－1，無(wú)極小值． (2)方法1：由f(x)＝0，得a＝(*)， 令g(x)＝，則g′(x)＝， 當(dāng)0<x<e時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0， ∴g(x)在(0，e)上遞增，在(e，＋∞)上遞減， ∴g(x)max＝g(e)＝， 又當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞；當(dāng)x>e時(shí)，g(x)＝>0， ∴當(dāng)a≤0或a＝時(shí)，方程(*)有唯一解，當(dāng)0<a<時(shí)， 方程(*)有兩個(gè)不同解，當(dāng)a>時(shí)，方程(*)無(wú)解， 所以，當(dāng)a≤0或a＝時(shí)，y＝f(x)有1個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)0<a<時(shí)，y＝f(x)有2個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a>時(shí)，y＝f(x)無(wú)零點(diǎn)． 方法2：由f(x)＝0，得lnx＝ax， ∴y＝f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為y＝lnx和y＝ax的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 由y＝lnx和y＝ax的圖象可知： 當(dāng)a≤0時(shí)，y＝f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a>0時(shí)，若直線(xiàn)y＝ax與y＝lnx相切，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，因?yàn)閥′＝(lnx)′＝， ∴k切＝＝，得x0＝e，∴k切＝， 故當(dāng)a＝時(shí)，y＝f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)0<a<時(shí)，y＝f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>時(shí)，y＝f(x)無(wú)零點(diǎn)， 綜上所述，當(dāng)a≤0或a＝時(shí)，y＝f(x)有1個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)0<a<時(shí)，y＝f(x)有2個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a>時(shí)，y＝f(x)無(wú)零點(diǎn)． (3)由(1)知，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，lnx≤x－1. ∵an>0，bn>0，∴l(xiāng)nan≤an－1，從而有bnlnan≤bnan－bn， 即lnabnn≤bnan－bn(n∈N*)，∴nabii≤iai－i， ∵a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn，即iai－i≤0， ∴nabii≤0，即ln(ab11·ab22·…·abnn)≤0， ∴ab11·ab22·…·abnn≤1.