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點(diǎn)到直線的距離,過點(diǎn)P作l的垂線，P與垂足之間的長度,點(diǎn)到直線的距離是指,,,,P,l,Q,已知點(diǎn)P（-1，2）和直線L：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線L的距離,先求出過P點(diǎn)和L 垂直的直線：,再求出L和L ′ 的交點(diǎn)Q,L′：x-2y+5=0,Q（3，4）,∴ |PQ|=,已知：P（x。，y。）和直線L：Ax+By+C=0 （P不在直線L上），試求P點(diǎn)到直線L的距離。,思路一：利用兩點(diǎn)的距離公式可以求|PQ|的長度。,分析：要求|PQ|的長度,∵P點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出Q點(diǎn)坐標(biāo)就可以了。,又∵Q點(diǎn)是直線PQ和直線L的交點(diǎn),又∵直線L的方程已知,∴只要求出直線PQ的方程就可以了,即：|PQ| Q點(diǎn)坐標(biāo) 直線PQ與直線L的交點(diǎn) 直線PQ的方程 直線PQ的斜率 直線L的斜率,,,,,,分析：現(xiàn)在最關(guān)鍵的是如何選取第三點(diǎn)M,以構(gòu)成一個直角三角形,思路二：利用直角三角形也可以求|PQ|的長度。,,M點(diǎn)為任意點(diǎn)，所以坐標(biāo)不好求。,所以，|PM|、|MQ|均不好求。,M點(diǎn)在x軸上，,相對而言|PM|,|MQ|易求一些， 但計算量依然較大；,PM//y軸似乎也不好求，,但角∠MPQ與直線L的傾斜角有關(guān)，,因此可以利用三角函數(shù)關(guān)系來求：,|PQ|=|PM|cos∠MPQ,,∠ MPQ= α (α900）,又∵cos∠MPQ =|cos α|,具體分析,再求|PM|,問： ∠ MPQ與傾斜角α有什么關(guān)系呢？,),),∵α + ∠ 1=90 ,∵ ∠ 1 =180 -α,∴α + ∠ 2=90 ,又∵ ∠ MPQ+ ∠ 2=90 ,∴ ∠ MPQ= α,又∵ ∠ 1+ ∠ 2= 90 ,∠ MPQ+ ∠3=90 ,∴∠ MPQ=180 -α,下面求M點(diǎn)的坐標(biāo)。,設(shè)M（x1，y1）,∵PM//y軸，∴ x1= x。,M點(diǎn)在直線L （Ax+By+C=0）上,把M點(diǎn)坐標(biāo)代入得：,因此|PM|=|y0-y1|,∴ |PQ|=|PM|cos∠MPQ,公式 的完善,1.當(dāng)A=0，即L⊥y軸時,2.當(dāng)B=0，即L⊥x軸時,3.當(dāng)P點(diǎn)在L上時，,顯示,顯示,公式成立,公式明顯成立,公式成立,公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn),（1）分子是P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；,（2）分母是直線未知數(shù)x、y系數(shù)平方和的算術(shù)根,類似于勾股定理求斜邊的長,練習(xí)1,（1）P（—2，3）到直線y= —2的距離是________,（4）P（—1，1）到直線3x= 2的距離是_________,（2）P（2，—3）到直線x+2y+4= 0的距離是_______,（3）用公式解P（—1，2）到直線2x+y—10=0的距離是______,5,1,0,,1.求平行直線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離。,解：在直線2x － 7y－6=0上任取一點(diǎn)，如P(3,0),則兩平行線的距離就是點(diǎn)P(3,0)到直線2x － 7y+8=0的距離。（如圖）,因此，d=,,練習(xí)2,思考 ?,兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？,求兩條平行直線Ax+By+ =0與Ax+By+ =0的距離。,解：在直線上Ax+By+ =0任取一點(diǎn)，如P(x0,y0),則兩平行線的距離就是點(diǎn)P(x0,y0) 到直線Ax+By+ =0 的距離。（如圖）,因此，d=,小結(jié),1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；,作業(yè)：P45 12、13、14、15,2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離。,3、探索兩平行直線的距離,4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線”及“求（動）定點(diǎn)到（定）動直線的距離的最值”等等,當(dāng)A=0，即L⊥y軸時,此時L：y=,又PQ//y軸,A=0：,B=0：,當(dāng)B=0，即L⊥x軸時,此時L：x=,又PQ//x軸,