(理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理)7.2 空 間 點(diǎn) 、 直 線 、 平 面 之 間 的 位 置 關(guān) 系 1 平 面 的 基 本 性 質(zhì) (1)公 理 1： 如 果 一 條 直 線 上 的兩點(diǎn)在 一 個(gè) 平 面 內(nèi) ， 那 么 這 條 直 線 上 所 有 的 點(diǎn) 都 在 這 個(gè) 平 面 內(nèi) (即 直 線 在 直 線 內(nèi) ) (2)公理2 ：過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 (3)公 理 3 ： 如 果 兩 個(gè) 不 重 合 的 平 面 有 一 個(gè) 公 共 點(diǎn) ， 那 么 它 們 有 且 只 有 一 條 過(guò)該 點(diǎn) 的 公 共直線 2 空 間 兩 條 直 線 的 位 置 關(guān) 系(1)公 理 4： 平 行 于 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 互 相 平 行 (2)定 理 ： 如 果 一 個(gè) 角 的 兩 邊 和 另 一 個(gè) 角 的 兩 邊 分 別 平 行 且 方 向 相 同 ， 那 么 這兩 角 相 等 (3)異 面 直 線 的 定 義 ： 不 同 在 任 何 一 個(gè) 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 (4)異 面 直 線 l 1和 l2的 夾 角 ： 當(dāng) 直 線 l1 與 l2是 異 面 直 線 時(shí) ， 在 直 線 l1上 任 取 點(diǎn) A作AB l2， 把 直 線 l1和 直 線 AB的 夾 角 叫 做 異 面 直 線 l1 與 l2 的 夾 角 ， 已 知 直 線 l1 與l2的 方 向 向 量 分 別 為 s1, s2 ， 當(dāng) 0 時(shí) ， 直 線 l1 與 l2的 夾 角 等 于 ； 當(dāng) 時(shí) ， 直 線 l1 與 l2 的 夾 角 等 于 1若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成() A5部分 B6部分 C7部分 D8部分 答 案 ： C2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中 點(diǎn)那么，正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是() A三角形 B四邊形 C五邊形 D六邊形 答 案 ： D 3(2009全 國(guó))已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1的 中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為() A. B. C. D. 解 析 ：如圖，連接A1B，則 A1BE即為所求，設(shè)AB1， 在A1BE中，A1E1，BE ，A1B . cos A 1BE . 答 案 ： C 4下列各圖是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，過(guò)四 個(gè)點(diǎn)共面的圖形是_(寫出符合要求序號(hào)) 解 析 ： 在選項(xiàng)中，可證Q點(diǎn)所在棱與PRS平行，因此，P、Q、R、S四 點(diǎn)不共面可證中PQRS為梯形；中可證PQRS為平行四邊形；中 如圖取A1A與BC的中點(diǎn)分別為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且 PMQNRS為正六邊形 答 案 ： 本題型是利用平面的性質(zhì)證明若干元素(點(diǎn)或直線)共面，常有兩種方法：方法一是根據(jù)公理3或推論確定一個(gè)平面，然后再證其他元素也在這個(gè)平面內(nèi)；方法二是先根據(jù)公理3或其推論確定出兩個(gè)平面，然后再證明這兩個(gè)平面重合解決此類問(wèn)題的方法是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題 【 例 1】 如 圖 ， 已 知 直 線 a、 b、 c、 l滿 足 a b c且 al A， bl B， cl C， 證 明 四 條 直 線 a， b， c， l在 同 一 平 面 內(nèi) 證 明 ： alA，直線a與l確定一個(gè)平面，此平面設(shè)為；又a b，則a 與b也確定一個(gè)平面設(shè)為，而平面與平面都過(guò)直線a與直線a外一點(diǎn) B，因此與為同一平面，因此b ，同理可證c ，因此直線a、b、 c、l在同一平面內(nèi). 利用兩平面交線的唯一性，證明諸點(diǎn)在兩平面的交線上是證明空間諸點(diǎn)共線的常用方法證明點(diǎn)共線的方法從另一個(gè)角度講也就是證明三線共點(diǎn)的方法證明線共點(diǎn)，基本方法是先確定兩條直線的交點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上，也可將直線歸結(jié)為兩平面的交線，交點(diǎn)歸結(jié)為兩平面的公共點(diǎn)，由公理2證明點(diǎn)在直線上 【 例 2】 已 知 空 間 四 邊 形 ABCD中 ， E、 H分 別 是 邊 AB、 AD的 中 點(diǎn) ， F、 G分 別 是 邊 BC、 CD上 的 點(diǎn) ， (1)若 F、 G分 別 為 BC、 CD的 中 點(diǎn) ， 試 證 EFGH為 平 行 四 邊 形 ； (2)若 2， 試 證 EF、 AC、 HG相 交 于 一 點(diǎn) 證 明 ： (1)如 圖 連 結(jié) AC， BD， 則 EF AC， HG AC， 因 此 EF HG；同 理 EH FG， 則 EFGH為 平 行 四 邊 形 (2) E、 H分 別 是 AB、 AD的 中 點(diǎn) ， EH綊 BD；又 2， FG綊 BD， EFGH為 梯 形 ， 則 EF，GH相交于一點(diǎn)O，即O EF，O GH， O平面ABC，O平面ADC，又面ABC面ADCAC，則O AC，即EF、AC、HG相交于一點(diǎn) 變 式 2.(1)三 個(gè) 平 面 兩 兩 相 交 ， 則 三 個(gè) 平 面 的 交 線 可 能 有 _，可 能 將 整 個(gè) 空 間 劃 分 為 _ (2)已 知 三 個(gè) 平 面 兩 兩 相 交 且 有 三 條 交 線 ， 試 證 三 條 交 線 互 相 平 行 或 者 相 交 于 一點(diǎn) 答 案 ： (1)一條或三條若三個(gè)平面有一條交線，則三個(gè)平面將空間分 為六部分，若三個(gè)平面有三條交線可將空間分為七或八部分(2)證明略 與異面直線相關(guān)的問(wèn)題有異面直線的判定，異面直線所成的角，異面直線的公垂線及異面直線間的距離，這其中最重要的是異面直線所成的角求異面直線所成的角，一般是通過(guò)平行線首先找到它們所成的角，然后放到三角形中，通過(guò)解三角形求之 對(duì)于異面直線所成的角也可利用空間向量來(lái)求 【 例 3】 如 圖 ， 在 棱 長(zhǎng) 為 2的 正 方 體 ABCD A1B1C1D1中 ， O是 底 面 ABCD的 中 心 ， E、 F分 別 是 CC1、 AD的 中 點(diǎn) ， 那 么 異 面 直 線 OE和 FD1所 成 的 角 的 余 弦 值 等 于 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 解 法 一：連結(jié)AC、AC1，則O為AC中點(diǎn)， AC1 OE，取A1D1中點(diǎn)M，連結(jié)AM，MC1，由AF綊MD1知四邊形AFD1M為平行四邊形， AM D1F，則 MAC1或其補(bǔ)角為異面直線所成角，可求AC12 ，AMMC1 ，在MAC1中，cos MAC1 評(píng) 注 ： 還 可 采 用 以 下 兩 種 作 輔 助 線 的 方 法 ，求 異 面 直 線 OE和 FD1所 成 角 的 余 弦 值 ， 如 圖 所 示 ：(1)取 C1D1中 點(diǎn) M， 連 結(jié) OM、 ME， 解 MOE；(2)取 BC中 點(diǎn) G， GC中 點(diǎn) M， 連 結(jié) C1G、 EM、 MO， 解 OEM. 解法二：以D為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，F(xiàn)(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)， FD1(1,0,2)，OE(1,1,1)， FD1OE3， cos ， 即兩條異面直線D1F與OE所成角的余弦值為 . 答 案 ： B 變 式 3.如 圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為() A. B. C. D. 解 析：如圖，連結(jié)BC1，A1C1，則 A1BC1為異面直線A1B與AD1所成的角，設(shè)AB1，在RtA1AB中，A1B ，則BC1A1B ， 在RtA1B1C1中，A1C1 在A1BC1中，cos A1BC1 答 案 ： D 1由公理3及公理3的推論結(jié)合公理1，可證明點(diǎn)線共面問(wèn)題，如例1及變式將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題2利用公理2可證明點(diǎn)共線，線共點(diǎn)等問(wèn)題 3求異面直線所成的角，是要將異面直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相交直線所成的銳角或直角，可通過(guò)余弦定理解三角形，而作輔助線主要是作已知直線的平行線， 具體可利用平行四邊形對(duì)邊平行，三角形或梯形的中位線與底邊平行等，而對(duì)兩條異面直線的判定可根據(jù)“連結(jié)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線”這個(gè)結(jié)論是對(duì)異面直線直接判定的重要依據(jù)，也是求異面直線成角作輔助線的重要依據(jù)之一，也可利用向量的夾角求異面直線所成的 角4求異面直線所成的角無(wú)論是用幾何法還是向量法都要特別注意異 面直線成角的范圍是(0，90. 【 方 法 規(guī) 律 】 (本題滿分12分)如 圖，ABCDA1B1C1D1是 正 四 棱 柱(1)求 證：BD 平 面 ACC1A1；(2)已 知 二 面 角 C1BDC的 大 小 為 60，求 異 面 直 線 BC1與 AC所 成 角 的 大 小 . 解 答 ： 解 法 一 ： (1)證 明： ABCDA1B1C1D1是正四棱柱， CC1平面ABCD， BD CC1， ABCD是正方形， BD AC，又 AC、CC1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1.【 答 題 模 板 】 (2)如圖，設(shè)BD與AC相交于O，連結(jié)C1O. CC1平面ABCD，BD AC， BD C1O， C1OC是二面角C1BDC的平面角， C1OC60.連結(jié)A 1B， A1C1 AC， A1C1B是BC1與AC所成的角設(shè)BCa，則CO a，CC1COtan 60 a，A1BBC1 a，A1C1 a.在A1BC1中，由余弦定理得，cos A1C1B ， A1C1Barccos ，異面直線BC1與AC所成角的大小為arccos . 解法二：(1)證明：如 圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)ADa，DD1b，則有D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，C1(0，a，b) BD(a，a,0)， AC(a，a,0)，CC1(0,0，b)， BDAC0，BDCC10， BD AC，BD CC1， 又 AC、CC 1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1. (2)設(shè)BD與AC相交于O，連結(jié)C1O，則點(diǎn)O坐標(biāo)為( ， ，0)， OC1( ， ，b) BDOC10， BD C1O，又BD CO， C1OC是二面角C1BDC的平面角， C1OC60， tan C1OC ， b a， AC(a，a,0)，BC1(a,0，b)， cosAC，BC 1 異面直線BC1與AC所成角的大小為arccos . 1. 高考考查平面的基本性質(zhì)(如正方體的截面問(wèn)題)、異面直線公垂線的證明(在指明公垂線的前提下)，以及異面直線成角大小的計(jì)算問(wèn)題2本題主要解決異面直線成角大小的計(jì)算，可通過(guò)作圖(作輔助線)、證明、計(jì)算， 也可以利用向量計(jì)算兩向量的夾角，無(wú)論哪種方法都應(yīng)注意到異面直線成角的 范圍是(0，903利用向量法求異面直線a，b所成角，可在直線a，b上分別求出方向向量a， b，則cos |cosa，b|，然后再確定異面直線a、b所成角的大小【 分 析 點(diǎn) 評(píng) 】 點(diǎn) 擊 此 處 進(jìn) 入 作 業(yè) 手 冊(cè)