2021年全國新高考I卷統(tǒng)一考試（數(shù)學(xué)）一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故選：B .2. 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故故選：C.3. 已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.4. 下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，則，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，且，CD選項(xiàng)均不滿足條件故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)5. 已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案【詳解】由題，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）故選：C【點(diǎn)睛】橢圓上的點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)的距離問題，常常從橢圓的定義入手，注意基本不等式得靈活運(yùn)用，或者記住定理：兩正數(shù)，和一定相等時及最大，積一定，相等時和最小，也可快速求解.6. 若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：故選：C【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論7. 若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn)，則，當(dāng)時，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.8. 有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）A. 甲與丙相互獨(dú)立B. 甲與丁相互獨(dú)立C. 乙與丙相互獨(dú)立D. 丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】 ，故選：B【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對應(yīng)概率，再判斷是否成立二選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中(為非零常數(shù)，則（ ）A. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B. 兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同C. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D. 兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，所以，故，正確；B：，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，正確；D：由題意得：，故一般來說故錯誤；故選：AC11. 已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）A. 點(diǎn)到直線的距離小于B. 點(diǎn)到直線的距離大于C. 當(dāng)最小時，D. 當(dāng)最大時，【答案】ACD【解析】【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.12. 正三棱柱中，點(diǎn)滿足，其中，則（ ）A. 當(dāng)時，的周長為定值B. 當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C. 當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得D. 當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對于B，將點(diǎn)的運(yùn)動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）對于A，當(dāng)時，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，故此時點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確對于C，當(dāng)時，取，中點(diǎn)分別為，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，所以或故均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，取，中點(diǎn)為，所以點(diǎn)軌跡為線段設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，此時與重合，故D正確故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則_.【答案】1【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時，整理得到，故，故答案為：114. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_.【答案】【解析】【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線： ()的焦點(diǎn),P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,不妨設(shè),因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因?yàn)?，所?，所以的準(zhǔn)線方程為故答案為：.【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.15. 函數(shù)的最小值為_.【答案】1【解析】【分析】由解析式知定義域?yàn)椋懻?、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?dāng)時，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；故答案為：1.16. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_；如果對折次，那么_.【答案】 (1). 5 (2). 【解析】【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.四解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17. 已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項(xiàng).（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得的前項(xiàng)和為可化為，利用（1）的結(jié)果可求.【詳解】（1）由題設(shè)可得又， 故，即，即所以為等差數(shù)列，故.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來求解問題.18. 某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類【解析】【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，；所以的分布列為（2）由（1）知，若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，；所以因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題19. 記是內(nèi)角，的對邊分別為，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）由題設(shè)，應(yīng)用余弦定理求、，又，可得，結(jié)合已知及余弦定理即可求.【詳解】（1）由題設(shè)，由正弦定理知：，即，又，得證.（2）由題意知：，同理，整理得，又，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，；綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，根據(jù)余弦定理及得到的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求.20. 如圖，在三棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見解析(2) 【解析】分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO平面BCD，即可證得結(jié)果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AOBD因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD平面BCD，平面ABD，因此AO平面BCD，因?yàn)槠矫鍮CD，所以AOCD(2)作EFBD于F, 作FMBC于M,連FM因?yàn)锳O平面BCD，所以AOBD, AOCD所以EFBD, EFCD, ,因此EF平面BCD，即EFBC因?yàn)镕MBC，,所以BC平面EFM，即BCMF則為二面角E-BC-D的平面角, 因?yàn)?為正三角形,所以為直角三角形因?yàn)?從而EF=FM=平面BCD,所以【點(diǎn)睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，求出的表達(dá)式，設(shè)直線的斜率為，同理可得出的表達(dá)式，由化簡可得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，所以，軌跡的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線無公共點(diǎn)，不妨直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理可得，設(shè)點(diǎn)、，則且.由韋達(dá)定理可得，所以，設(shè)直線的斜率為，同理可得，因?yàn)椋?，整理可得，即，顯然，故.因此，直線與直線的斜率之和為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值22. 已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，原不等式等價于，前者可構(gòu)建新函數(shù)，利用極值點(diǎn)偏移可證，后者可設(shè)，從而把轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)可證明該結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時，當(dāng)時，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因?yàn)闀r，時，故.先證：，若，必成立.若， 要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因?yàn)?，故，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個不等式：.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，.