6.26.2等差數(shù)列及其前等差數(shù)列及其前n n考綱要求:1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系,并能用等差數(shù)列的有關知識解決相應的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系.21.等差數(shù)列(1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的差是同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就為等差數(shù)列,這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.(2)數(shù)學語言:an+1-an=d(nN+,d為常數(shù)),或an-an-1=d(n2,d為常數(shù)).(3)等差中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項,即 .2.等差數(shù)列的通項公式(1)通項公式:若等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.(2)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(m,nN+).345.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系(2)數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).6.等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最大值;若a10,則Sn存在最小值.5123451.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN+,都有2an+1=an+an+2.()(4)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.()(5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).()6123452.在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=()A.-1B.0C.1D.6 答案解析解析關閉an是等差數(shù)列,2a4=a2+a6,a6=2a4-a2=22-4=0.答案解析關閉B7123453.(2015課標全國,文5)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=()A.5B.7C.9D.11 答案解析解析關閉 答案解析關閉8123454.(2015陜西,文13)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2 015,則該數(shù)列的首項為.答案解析解析關閉 答案解析關閉9123455.在小于100的正整數(shù)中,被7除余2的數(shù)的和為.答案解析解析關閉 答案解析關閉1012345自測點評1.用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,要注意定義中的三個關鍵詞:“從第2項起”“每一項與它的前一項的差”“同一個常數(shù)”.2.等差數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別:當公差d0時,等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù);當公差d=0時,an為常數(shù).3.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0.4.等差數(shù)列的前n項和公式有兩種表達形式,要根據(jù)題目給出的條件判斷使用哪一種表達形式.11考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混考點1等差數(shù)列中基本量的求解等差數(shù)列中基本量的求解例1(1)(2015課標全國,文7)已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項和.若S8=4S4,則a10=()答案解析解析關閉 答案解析關閉12考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混(2)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于()A.3B.4C.5D.6答案:C 13考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混14考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混思考:求等差數(shù)列基本量的一般方法是什么?解題心得:1.等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個,體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.3.減少運算量的設元的技巧,若三個數(shù)成等差數(shù)列,可設三個數(shù)為a-d,a,a+d;若四個數(shù)成等差數(shù)列,可設四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.15考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混對點訓練1(1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于()A.8B.10C.12 D.14 答案解析解析關閉設等差數(shù)列an的公差為d,則S3=3a1+3d,12=32+3d,解得d=2,a6=a1+5d=2+52=12,故選C.答案解析關閉C 16考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混(2)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16=.答案解析解析關閉 答案解析關閉17考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混考點2等差數(shù)列的判定與等差數(shù)列的判定與證明明例2數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列;(2)求an的通項公式.答案 答案關閉18考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混思考:判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有哪些?解題心得:1.等差數(shù)列的四種判斷方法:(1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))an是等差數(shù)列.(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差數(shù)列.(3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列.(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列.2.若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.19考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混對點訓練2若數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.(1)求證:成等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式.答案 答案關閉20考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混考點3等差數(shù)列性等差數(shù)列性質(zhì)的的應用用(多多維探究探究)類型一等差數(shù)列項的性質(zhì)的應用例3在等差數(shù)列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=.思考:本例題只有一個已知條件,如何快捷地求出結(jié)果?答案解析解析關閉根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,a2+a8=10.答案解析關閉1021考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混類型二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應用例4在等差數(shù)列an中,前m項的和為30,前2m項的和為100,則前3m項的和為.答案解析解析關閉 答案解析關閉22考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混思考:本例題應用什么性質(zhì)求解比較簡便?解題心得:1.利用等差數(shù)列項的性質(zhì)解決基本量的運算體現(xiàn)了整體求值思想,應用時常將an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)與am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN+)相結(jié)合,可減少運算量.2.在等差數(shù)列an中,依據(jù)題意應用其前n項和的性質(zhì)解題能比較簡便地求出結(jié)果,常用的性質(zhì)有:在等差數(shù)列an中,數(shù)列Sm,也是等差數(shù)列,且有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);.23考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混對點訓練3(1)(2015廣州模擬)等差數(shù)列an前17項和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17 D.51 答案解析解析關閉 答案解析關閉24考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混(2)已知等差數(shù)列an的前四項和為124,后四項和為156,各項和為210,則此等差數(shù)列的項數(shù)是.答案解析解析關閉 答案解析關閉25考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混(3)已知在等差數(shù)列an中,其前n項和為Sn,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=.答案解析解析關閉an為等差數(shù)列,S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列.2(S6-S3)=S3+(S9-S6).a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.答案解析關閉4526考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混考點4等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項和的最和的最值問題例5在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.27考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混28考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混思考:求等差數(shù)列前n項和的最值有哪些方法?解題心得:求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法:(1)函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(2)鄰項變號法:利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉(zhuǎn)折項,當a10,d0時,滿足 的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm;當a10時,滿足 的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項,便可求得前n項和的最值.29考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混對點訓練4(1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,則當Sn取最大值時,n的值是()A.5B.6C.7D.8 答案解析解析關閉依題意得2a6=4,2a7=-2,a6=20,a7=-10;又數(shù)列an是等差數(shù)列,因此在該數(shù)列中,前6項均為正數(shù),自第7項起以后各項均為負數(shù),于是當Sn取最大值時,n=6,選B.答案解析關閉B30考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混(2)設數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列,Sn為前n項和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時,n的值為()A.5B.6C.5或6D.11 答案解析解析關閉由題意得S6=6a1+15d=5a1+10d,a6=0,故當n=5或6時,Sn最大,選C.答案解析關閉C 31考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混(3)已知等差數(shù)列an的首項a1=20,公差d=-2,則前n項和Sn的最大值為.答案解析解析關閉 答案解析關閉32考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混1.等差數(shù)列的判斷方法:(1)定義法;(2)等差中項法;(3)利用通項公式判斷;(4)利用前n項和公式判斷.2.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第2項起成等差數(shù)列.3.方程思想和化歸思想:在解有關等差數(shù)列的問題時,可以考慮化歸為a1和d等基本量,通過建立方程(組)獲得解.33考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混1.當公差d0時,等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù);當公差d=0時,an為常數(shù).2.注意利用“an-an-1=d”時加上條件“n2”;否則,當n=1時,a0無定義.34思想方法整體思想在等差數(shù)列中的應用整體思想,就是在研究和解決有關數(shù)學問題時,通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題,常常能化繁為簡、變難為易,同時又能培養(yǎng)學生思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有:整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補形、整體改造等.在等差數(shù)列中,若要求的Sn所需要的條件未知或不易求出時,可以考慮整體代入.35典例1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3+a4+a5=12,則S7的值為.答案:28解析:設數(shù)列an的首項為a1,公差為d.a3+a5=2a4,由a3+a4+a5=12得3a4=12,即a4=4.a1+3d=4,故S7=7a1+d=7(a1+3d)=74=28.36提問與解答環(huán)節(jié)Questions And Answers37謝謝聆聽 學習就是為了達到一定目的而努力去干,是為一個目標去戰(zhàn)勝各種困難的過程,這個過程會充滿壓力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal38