突破點(diǎn)13直線與圓提煉1圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2y2r2.(2)圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以為圓心，為半徑的圓.提煉2求解直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長(zhǎng)定理，垂徑定理(2)兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線的距離公式d，弦長(zhǎng)公式|AB|2(弦心距d).提煉3求距離最值問題的本質(zhì)(1)圓外一點(diǎn)P到圓C上的點(diǎn)距離的最大值為|PC|r，最小值為|PC|r，其中r為圓的半徑(2)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是dr，最小距離是dr，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑(3)過圓內(nèi)一點(diǎn)，直徑是最長(zhǎng)的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦回訪1圓的方程1(2015·全國(guó)卷)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_2y2由題意知a4，b2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2)，(0，2)，(4,0)三點(diǎn)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2.2(2014·山東高考)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(x2)2(y1)24設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a2b>0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.回訪2直線與圓的相關(guān)問題3(2016·全國(guó)甲卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()ABC. D2A由圓x2y22x8y130，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線axy10的距離d1，解得a.4(2016·全國(guó)乙卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_4圓C：x2y22ay20化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r，|AB|2，點(diǎn)C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為×224.熱點(diǎn)題型1圓的方程題型分析：求圓的方程是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法.(1)(2016·黃山一模)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為12，則圓C的方程為_(2)(2016·鄭州二模)已知M的圓心在第一象限，過原點(diǎn)O被x軸截得的弦長(zhǎng)為6，且與直線3xy0相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意，得解得所以圓C的方程為x22.(2)法一：設(shè)M的方程為(xa)2(yb)2r2(a0，b0，r0)，由題意知解得故M的方程為(x3)2(y1)210.法二：因?yàn)閳AM過原點(diǎn)，故可設(shè)方程為x2y2DxEy0，又被x軸截得的弦長(zhǎng)為6且圓心在第一象限，則232，故D6，與3xy0相切，則，即ED2，因此所求方程為x2y26x2y0.故M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)210.求圓的方程的兩種方法1幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)變式訓(xùn)練1(1)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長(zhǎng)為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24 Dx2(y1)24(2)(2016·長(zhǎng)春一模)拋物線y24x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)B(2)(x1)2y24(1)由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a2，半徑為r，得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.故選B.(2)由題意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24.熱點(diǎn)題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法.(1)(2016·全國(guó)丙卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)若|AB|2，則|CD|_.4由直線l：mxy3m0知其過定點(diǎn)(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|2×4.(2)(2016·開封一模)如圖13­1，已知圓G：(x2)2y2r2是橢圓y21的內(nèi)接ABC的內(nèi)切圓，其中A為橢圓的左頂點(diǎn)(1)求圓G的半徑r；(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：直線EF與圓G相切圖13­1解(1)設(shè)B(2r，y0)，過圓心G作GDAB于D，BC交長(zhǎng)軸于H.由得，即y0，2分而B(2r，y0)在橢圓上，y1，3分由式得15r28r120，解得r或r(舍去).5分(2)證明：設(shè)過點(diǎn)M(0,1)與圓(x2)2y2相切的直線方程為ykx1，則，即32k236k50，解得k1，k2.將代入y21得(16k21)x232kx0，則異于零的解為x.8分設(shè)F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，則x1，x2，9分則直線FE的斜率為kEF，于是直線FE的方程為y1.即yx，則圓心(2,0)到直線FE的距離d，故結(jié)論成立.12分1直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式，過圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)的距離，利用勾股定理計(jì)算2弦長(zhǎng)的求解方法(1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形，把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解變式訓(xùn)練2(1)(2016·哈爾濱一模)設(shè)直線l：ykx1被圓C：x2y22x30截得的弦最短，則直線l的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952047】yx1直線l恒過定點(diǎn)M(0,1)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24，易知點(diǎn)M(0,1)在圓C的內(nèi)部，依題意當(dāng)lCM時(shí)直線l被圓C截得的弦最短，于是k·1，解得k1，所以直線l的方程為yx1.(2)(2016·泉州一模)已知點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N距離的倍求曲線E的方程；已知m0，設(shè)直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點(diǎn)C，D兩點(diǎn)均在x軸下方當(dāng)CD的斜率為1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)解設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意，2分整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求.4分由題知l1l2，且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1,0)，設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點(diǎn)為P，則直線EP：yx2，設(shè)直線CD：yxt，由解得點(diǎn)P.7分由圓的幾何性質(zhì)，|NP|CD|，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，2232，解得t0或t3，又C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，直線CD：yx.由解得或9分設(shè)C，D，由消去y得：(u21)x22(u22)xu210，(*)方程(*)的兩根之積為1，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA2，又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線l1：xmy10上，解得m1，11分直線l1：y(1)(x1)，所以A(2，1)，同理可得，B(2，1)，所以線段AB的長(zhǎng)為2.12分