專題限時(shí)集訓(xùn)(十七)函數(shù)與方程A組高考達(dá)標(biāo) 一、選擇題1(2016·武漢一模)函數(shù)f(x)ln xx39的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)C由于函數(shù)f(x)ln xx39在(0，)上是增函數(shù)，f(2)ln 210，f(3)ln 3180，故函數(shù)f(x)ln xx39在區(qū)間(2,3)上有唯一的零點(diǎn)2(2016·張掖一模)已知函數(shù)f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()Acba BabcCcab DbacB由f(x)0得exx，由g(x)0得ln xx.由h(x)0得x1，即c1.在坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)yex，yx，yln x的圖象，由圖象可知a0,0b1，所以abc.3(2016·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)f(1x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1B2 C3D4Cg(x)f(1x)1當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選C.4(2016·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A(，1) B(，0)C(1,0) D1,0)D當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x1有一個(gè)零點(diǎn)x，所以只需要當(dāng)x0時(shí)，exa0有一個(gè)根即可，即exa.當(dāng)x0時(shí)，ex(0,1，所以a(0,1，即a1,0)，故選D.5(2016·安慶二模)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)k僅有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()A.B(，0)C(，0)D(，0)D函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)f(x)k僅有一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)k只有一個(gè)解，在平面直角坐標(biāo)系中畫出yf(x)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可知，方程只有一個(gè)解時(shí)，k(，0)，故選D.二、填空題6(2016·宜昌模擬)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x0,3)時(shí)，f(x).若函數(shù)yf(x)a在區(qū)間3,4上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_當(dāng)x0,3)時(shí)，f(x)，由f(x)是周期為3的函數(shù)，作出f(x)在3,4上的圖象，如圖由題意知方程af(x)在3,4上有10個(gè)不同的根由圖可知a.7(2016·西安模擬)函數(shù)f(x)|x1|2cos x(4x6)的所有零點(diǎn)之和為_10問題可轉(zhuǎn)化為y|x1|與y2cos x在4x6的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象均關(guān)于x1對(duì)稱，所以x1兩側(cè)的交點(diǎn)對(duì)稱，那么兩對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2，分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，易知x1兩側(cè)分別有5個(gè)交點(diǎn)，所以所求和為5×210.8(2016·南寧二模)已知函數(shù)f(x)若f(0)2，f(1)1，則函數(shù)g(x)f(x)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952064】3依題意得解得令g(x)0，得f(x)x0，該方程等價(jià)于或解得x2，解得x1或x2，因此，函數(shù)g(x)f(x)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.三、解答題9已知f(x)|2x1|ax5(a是常數(shù)，aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；(2)如果函數(shù)yf(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|2x1|x52分由解得x2；由解得x4.所以f(x)0的解集為x|x2或x4.6分(2)由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的圖象，10分觀察可以知道，當(dāng)2a2時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)故a的取值范圍是(2,2).12分10(名師押題)已知函數(shù)fn(x)xln x(nN*，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求曲線yf1(x)在點(diǎn)(1，f1(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)因?yàn)閒1(x)xln xx2，所以f1(x)ln x12x，所以f1(1)121.又f1(1)1，所以曲線yf1(x)在點(diǎn)(1，f1(1)處的切線方程為y1(x1)，即yx.4分(2)令fn(x)0，得xln x0(nN*，x0)，所以nln xx0.令g(x)nln xx，則函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)與函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)相同因?yàn)間(x)1，令g(x)0，得xn，所以當(dāng)xn時(shí)，g(x)0；當(dāng)0xn時(shí)，g(x)0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，n上單調(diào)遞增，在區(qū)間n，)上單調(diào)遞減所以函數(shù)g(x)在xn處有最大值，且g(n)nln nn.8分當(dāng)n1時(shí)，g(1)ln 1110，所以函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)n2時(shí)，g(2)2ln 222ln e20，所以函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)n3時(shí)，g(n)nln nnn(ln n1)n(ln 31)n(ln e1)0，因?yàn)間(e2n)nln e2ne2n2n24n2n2(13)n2n22n213n3n(n1)n210，且g(1)0，所以由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，可得函數(shù)g(x)nln xx在區(qū)間(1，n)和(n，)內(nèi)都恰有一個(gè)零點(diǎn)所以函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.綜上所述，當(dāng)n1或n2時(shí)，函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)n3且nN*時(shí)，函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·南昌二模)若函數(shù)f(x)滿足f(x)1，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x.若在區(qū)間(1,1內(nèi)，g(x)f(x)mx2m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A0m B0mC.m1 D.m1B當(dāng)1x0時(shí)，0x11，所以f(x1)x1，從而f(x)11，于是f(x)f(x)mx2m0f(x)m(x2)，由圖象可知0mkAB.2(2016·新余九校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x4)16，當(dāng)x(0,4時(shí)，f(x)x22x，則函數(shù)f(x)在4,2 016上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A504 B505C1 008 D1 009Bf(x)f(x4)16，f(x4)f(x8)16，f(x)f(x8)，函數(shù)f(x)是R上周期為8的函數(shù)又f(2)f(4)0,2 0208×2524，f(2)f(10)f(18)f(8×2512)，f(4)f(4)f(8×2514)，故函數(shù)f(x)在4,2 016上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是25112512505，故選B.3(2016·臨汾模擬)函數(shù)f(x)若方程f(x)xa有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952065】A(，0) B0,1)C(，1) D0，)C函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，作出直線l：yax，向左平移直線l，觀察可得函數(shù)yf(x)的圖象與直線l：yxa有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)xa有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，a1，故選C.4(2016·衡陽模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1，圖象如圖17­1(1)所示，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,2，圖象如圖17­1(2)所示，方程f(g(x)0有m個(gè)實(shí)數(shù)根，方程g(f(x)0有n個(gè)實(shí)數(shù)根，則mn()(1)(2)圖17­1A14B12 C10D8A由題圖(1)可知，若f(g(x)0，由g(x)1或g(x)0或g(x)1，由題圖(2)知，g(x)1時(shí)，x1或x1；g(x)0時(shí)，x的值有3個(gè)；g(x)1時(shí)，x2或x2，故m7.若g(f(x)0，則f(x)1.5或f(x)1.5或f(x)0，由題圖(1)知，f(x)1.5與f(x)1.5時(shí)，x的值各有2個(gè)；f(x)0時(shí)，x1或x1或x0，故n7.故mn14.故選A.二、填空題5(2016·中原名校聯(lián)考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)則關(guān)于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0a1)的所有零點(diǎn)之和為_13a函數(shù)f(x)和ya的圖象如圖所示，由圖可知，f(x)的圖象與直線ya有5個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)F(x)f(x)a有5個(gè)零點(diǎn)從小到大依次設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5，則x1x28，x4x58.當(dāng)2x0時(shí)，0x2，所以f(x)log(x1)log3(1x)，即f(x)log3(1x)，2x0，由f(x)log3(1x)a，解得x13a，即x313a，所以函數(shù)F(x)f(x)a(0a1)的所有零點(diǎn)之和為x1x2x3x4x513a.6(2016·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)x，g(x)logx，記函數(shù)h(x)則函數(shù)F(x)h(x)x5的所有零點(diǎn)的和為_5由題意知函數(shù)h(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，函數(shù)F(x)所有零點(diǎn)的和就是函數(shù)yh(x)與函數(shù)y5x圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，設(shè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱，所以5，所以x1x25.三、解答題7已知函數(shù)f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函數(shù)(1)求k的值；(2)設(shè)g(x)log4，若方程f(x)g(x)有且僅有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)f(x)，所以log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，所以log42kx，即x2kx對(duì)一切xR恒成立，所以k.4分(2)由已知f(x)g(x)，有且僅有一解，即方程log4(4x1)xlog4(a·2xa)有且只有一個(gè)實(shí)根，即方程2xa·2xa有且只有一個(gè)實(shí)根令t2x0，則方程(a1)t2at10有且只有一個(gè)正根.8分當(dāng)a1時(shí)，則t不合題意；當(dāng)a1時(shí)，0，解得a或3.若a，則t2，不合題意；若a3，則t；若方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，即0，解得a1.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3(1，).12分8已知函數(shù)f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有實(shí)根，求m的取值范圍；(2)試確定m的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952066】解(1)g(x)x22e，等號(hào)成立的條件是xe，故g(x)的值域是2e，)因而只需m2e，g(x)m有實(shí)根.4分(2)g(x)f(x)0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)作出g(x)x(x0)和f(x)的圖象如圖8分f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其最大值為m1e2，故當(dāng)m1e22e，即me22e1時(shí)，g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根，m的取值范圍是me22e1.12分