高三數(shù)學二輪復習 專題限時集訓15 專題5 突破點15 圓錐曲線中的綜合問題 理-人教高三數(shù)學試題
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高三數(shù)學二輪復習 專題限時集訓15 專題5 突破點15 圓錐曲線中的綜合問題 理-人教高三數(shù)學試題
專題限時集訓(十五)圓錐曲線中的綜合問題建議用時:45分鐘 1(2016·中原名校聯(lián)盟二模)已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點B(0,)為短軸的一個端點,OF2B60°.圖153(1)求橢圓C的方程;(2)如圖153,過右焦點F2,且斜率為k(k0)的直線l與橢圓C相交于D,E兩點,A為橢圓的右頂點,直線AE,AD分別交直線x3于點M,N,線段MN的中點為P,記直線PF2的斜率為k.試問k·k是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由解(1)由條件可知a2,b,故所求橢圓方程為1.4分(2)設過點F2(1,0)的直線l的方程為yk(x1)由可得(4k23)x28k2x4k2120.5分因為點F2(1,0)在橢圓內(nèi),所以直線l和橢圓都相交,即0恒成立設點E(x1,y1),D(x2,y2),則x1x2,x1x2.6分因為直線AE的方程為y(x2),直線AD的方程為y(x2),令x3,可得M,N,所以點P的坐標.8分直線PF2的斜率為k···,所以k·k為定值.12分2(2016·衡水二模)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy120相切(1)求橢圓C的方程;(2)設A(4,0),過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P,Q兩點,連接AP,AQ分別交直線x于M,N兩點,若直線MR,NR的斜率分別為k1,k2,試問:k1k2是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由. 【導學號:85952057】解(1)由題意得故橢圓C的方程為1.4分(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為xmy3,由(3m24)y218my210,y1y2,y1y2.6分由A,P,M三點共線可知,yM.8分同理可得yN,k1k2×.10分(x14)(x24)(my17)(my27)m2y1y27m(y1y2)49,k1k2.12分k1k2為定值.3(2016·太原一模)已知橢圓M:1(a0)的一個焦點為F(1,0),左、右頂點分別為A,B.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點(1)求橢圓方程;(2)當直線l的傾斜角為45°時,求線段CD的長;(3)記ABD與ABC的面積分別為S1和S2,求|S1S2|的最大值解(1)因為F(1,0)為橢圓的焦點,所以c1,又b23,所以a24,所以橢圓方程為1.3分(2)因為直線的傾斜角為45°,所以直線的斜率為1,所以直線方程為yx1,和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y,得到7x28x80,4分所以288,x1x2,x1x2,5分所以|CD|x1x2|×.6分(3)當直線l斜率不存在時,直線方程為x1,此時D,C,ABD,ABC面積相等,|S1S2|0,7分當直線l斜率存在(顯然k0)時,設直線方程為yk(x1)(k0)設C(x1,y1),D(x2,y2),和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y得(34k2)x28k2x4k2120,8分顯然0,方程有根,且x1x2,x1x2,9分此時|S1S2|2|y1|y2|2|y1y2|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|(k±時等號成立),所以|S1S2|的最大值為.12分4(2016·開封二模)已知中心在原點O,焦點在x軸上,離心率為的橢圓過點.圖154(1)求橢圓的方程;(2)設不過原點O的直線l與該橢圓交于P,Q兩點,滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求OPQ面積的取值范圍解(1)由題意可設橢圓方程為1(ab0),則(其中c2a2b2,c0),且1,故a2,b1.所以橢圓的方程為y21.4分(2)由題意可知,直線l的斜率存在且不為0.故可設直線l:ykxm(m0),設P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0,5分則64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0,且x1x2,x1x2.6分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2,7分因為直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,所以·k2,即m20.8分又m0,所以k2,即k±.9分由于直線OP,OQ的斜率存在,且0,得0m22,且m21.設d為點O到直線l的距離,則d,10分|PQ|,11分所以S|PQ|d1(m21),故OPQ面積的取值范圍為(0,1).12分