專題限時集訓(十五)圓錐曲線中的綜合問題建議用時：45分鐘 1(2016·中原名校聯(lián)盟二模)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點B(0，)為短軸的一個端點，OF2B60°.圖15­3(1)求橢圓C的方程；(2)如圖15­3，過右焦點F2，且斜率為k(k0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AD分別交直線x3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k.試問k·k是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由解(1)由條件可知a2，b，故所求橢圓方程為1.4分(2)設過點F2(1,0)的直線l的方程為yk(x1)由可得(4k23)x28k2x4k2120.5分因為點F2(1,0)在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓都相交，即0恒成立設點E(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2.6分因為直線AE的方程為y(x2)，直線AD的方程為y(x2)，令x3，可得M，N，所以點P的坐標.8分直線PF2的斜率為k···，所以k·k為定值.12分2(2016·衡水二模)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy120相切(1)求橢圓C的方程；(2)設A(4,0)，過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點，連接AP，AQ分別交直線x于M，N兩點，若直線MR，NR的斜率分別為k1，k2，試問：k1k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由. 【導學號：85952057】解(1)由題意得故橢圓C的方程為1.4分(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為xmy3，由(3m24)y218my210，y1y2，y1y2.6分由A，P，M三點共線可知，yM.8分同理可得yN，k1k2×.10分(x14)(x24)(my17)(my27)m2y1y27m(y1y2)49，k1k2.12分k1k2為定值.3(2016·太原一模)已知橢圓M：1(a0)的一個焦點為F(1,0)，左、右頂點分別為A，B.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(1)求橢圓方程；(2)當直線l的傾斜角為45°時，求線段CD的長；(3)記ABD與ABC的面積分別為S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)因為F(1,0)為橢圓的焦點，所以c1，又b23，所以a24，所以橢圓方程為1.3分(2)因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，所以直線方程為yx1，和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y，得到7x28x80，4分所以288，x1x2，x1x2，5分所以|CD|x1x2|×.6分(3)當直線l斜率不存在時，直線方程為x1，此時D，C，ABD，ABC面積相等，|S1S2|0，7分當直線l斜率存在(顯然k0)時，設直線方程為yk(x1)(k0)設C(x1，y1)，D(x2，y2)，和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y得(34k2)x28k2x4k2120，8分顯然0，方程有根，且x1x2，x1x2，9分此時|S1S2|2|y1|y2|2|y1y2|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|(k±時等號成立)，所以|S1S2|的最大值為.12分4(2016·開封二模)已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點.圖15­4(1)求橢圓的方程；(2)設不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求OPQ面積的取值范圍解(1)由題意可設橢圓方程為1(ab0)，則(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1.所以橢圓的方程為y21.4分(2)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0.故可設直線l：ykxm(m0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，5分則64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2.6分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，7分因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，所以·k2，即m20.8分又m0，所以k2，即k±.9分由于直線OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21.設d為點O到直線l的距離，則d，10分|PQ|，11分所以S|PQ|d1(m21)，故OPQ面積的取值范圍為(0,1).12分