突破點(diǎn)3平面向量提煉1平面向量共線、垂直的兩個(gè)充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.提煉2數(shù)量積常見的三種應(yīng)用已知兩個(gè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)證明向量垂直：aba·b0x1x2y1y20.(2)求向量的長(zhǎng)度：|a|.(3)求向量的夾角：cosa，b.提煉3平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論(1)A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，有，且1.(2)C是線段AB中點(diǎn)的充要條件是()(3)G是ABC的重心的充要條件為0，若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC的重心坐標(biāo)為，.(4)···P為ABC的垂心(5)非零向量a，b垂直的充要條件：aba·b0|ab|ab|x1x2y1y20.(6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos ，向量a在b的方向上的投影為|a|cos .回訪1平面向量的線性運(yùn)算1(2015·全國(guó)卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A.B.C.D.A3，3()，即43 ，.2(2015·全國(guó)卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得回訪2平面向量的數(shù)量積3(2016·全國(guó)乙卷)設(shè)向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.2|ab|2|a|2|b|22a·b|a|2|b|2，a·b0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.4(2014·全國(guó)卷)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_90°()，點(diǎn)O是ABC中邊BC的中點(diǎn)，BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有，90°.5(2012·全國(guó)卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.3a，b的夾角為45°，|a|1，a·b|a|·|b|cos 45°|b|，|2ab|244×|b|b|210，|b|3.回訪3數(shù)量積的綜合應(yīng)用6(2013·全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b，若b·c0，則t_.2|a|b|1，a，b60°.cta(1t)b，b·cta·b(1t)b2t×1×1×(1t)×11t1.b·c0，10，t2.熱點(diǎn)題型1平面向量的運(yùn)算題型分析：該熱點(diǎn)是高考的必考點(diǎn)之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運(yùn)算；二是以向量的共線與垂直為切入點(diǎn)，考查向量的夾角、模等.(1)(2016·深圳二模)如圖3­1，正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若，則()圖3­1A.B.C. D2(2)(2016·天津高考)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則·的值為()A BC. D.(1)B(2)B(1)法一：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以(2,2)，(2,1)，(2,2)由，得(2,2)(2,1)(2,2)，即(2,2)(22，2)，所以解得所以，故選B.法二：因?yàn)?)()()()，所以得所以，故選B.(2)如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以，所以.又，則··()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B.1平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過(guò)作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)2正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時(shí)，務(wù)必要注意兩向量的方向變式訓(xùn)練1(1)已知向量a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，則c·(ab)()A(2,12)B(2,12)C14 D10(2)已知e1，e2是不共線向量，ame12e2，bne1e2，且mn0.若ab，則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952017】(1)C(2)2(1)易知ab(4,1)，由(ab)c，可得(4)×x1×40，即4x40，解得x1，c(1,4)而ab(2,3)，c·(ab)1×24×314.故選C.(2)ab，ab，即me12e2(ne1e2)，則解得2.熱點(diǎn)題型2三角與向量的綜合問(wèn)題題型分析：平面向量作為解決問(wèn)題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過(guò)向量運(yùn)算作為題目條件.(名師押題)已知向量a，b(cos x，1)(1)當(dāng)ab時(shí)，求cos2xsin 2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)·b，已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，b2，sin B，求yf(x)4cos 的取值范圍解(1)ab，cos xsin x0，2分tan x，4分cos2xsin 2x.6分(2)f(x)2(ab)·bsin ，8分由正弦定理得，可得sin A.9分ba，A，10分yf(x)4cossin.11分x，2x，1y，即y的取值范圍是.12分平面向量與三角函數(shù)問(wèn)題的綜合主要利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)形式，多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問(wèn)題相結(jié)合，計(jì)算的準(zhǔn)確性和三角變換的靈活性是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)變式訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)若mn，則m·n0.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin xcos x0，4分tan x1.6分(2)m與n的夾角為，m·n|m|·|n|cos ，即sin xcos x，8分sin .10分又x，x，x，即x.12分