專題限時(shí)集訓(xùn)(十三)直線與圓建議A、B組各用時(shí)：45分鐘 A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|()A2B4C6 D2C圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，圓心為C(2,1)，半徑為r2，因此2a×110，所以a1，從而A(4，1)，|AB|6.2(2016·衡水一模)已知圓x2y2mx0與拋物線yx2的準(zhǔn)線相切，則m()A±2 B±C. D.B拋物線的準(zhǔn)線為y1，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得2y2，圓心到準(zhǔn)線的距離為1m±.3(2016·長(zhǎng)春一模)若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上運(yùn)動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最小值為()A. B2C3 D4C由題意知AB的中點(diǎn)M的集合為到直線l1：xy70和l2：xy50的距離相等的直線，則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離設(shè)點(diǎn)M所在的直線方程為：xym0，根據(jù)平行線間的距離公式得，解得m6，即l：xy60，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為3.4(2016·承德二模)一條光線從點(diǎn)(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952048】A或 B或C或 D或D由光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)(2，3)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線方程為y3k(x2)，即kxy2k30.又因?yàn)楣饩€與圓(x3)2(y2)21相切，所以1，整理得12k225k120，解得k或k，故選D.5(2016·湘潭二模)兩圓x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三條公切線，若aR，bR且ab0，則的最小值為()A1B3 C.D.Ax2y22axa240，即(xa)2y24，x2y24by14b20，即x2(y2b)21，依題意可得，兩圓外切，則兩圓心距離等于兩圓的半徑之和，則123，即a24b29，所以1，當(dāng)且僅當(dāng)即a±b時(shí)取等號(hào)，故選A.二、填空題6(2016·赤峰高三統(tǒng)考)已知O：x2y21，若直線ykx2上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的O的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_(，11，)因?yàn)閳A心為O(0,0)，半徑R1.設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A，B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，故有POR，由題意知圓心O到直線ykx2的距離小于或等于PO，即，即1k22，解得k1或k1.7(2016·合肥一模)設(shè)點(diǎn)P在直線y2x1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作圓(x2)2y21的切線，切點(diǎn)為A，則切線長(zhǎng)|PA|的最小值是_2圓心C(2,0)到直線2xy10的距離d，所以|PA|2.8(2016·長(zhǎng)沙二模)若直線l1：yxa和直線l2：yxb將圓(x1)2(y2)28分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2b2_.18由題意得直線l1：yxa和直線l2：yxb截得圓的弦所對(duì)圓周角相等，皆為直角，因此圓心到兩直線距離皆為r2，即2a2b2(21)2(21)218.三、解答題9(2016·南昌一模)已知圓C：x2y24x6y120，點(diǎn)A(3,5)(1)求過點(diǎn)A的圓的切線方程；(2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA，OC，求AOC的面積S.解(1)由圓C：x2y24x6y120，配方得(x2)2(y3)21，圓心C(2,3).2分當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A的圓的切線方程為y5k(x3)，即kxy53k0.由d1，得k.4分又斜率不存在時(shí)直線x3也與圓相切，5分故所求切線方程為x3或3x4y110.6分(2)直線OA的方程為yx，即5x3y0，8分點(diǎn)C到直線OA的距離為d.10分又|OA|，S|OA|d.12分10(2016·洛陽一模)已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程解(1)如圖所示，|AB|4，將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y6)216，2分所以圓C的圓心坐標(biāo)為(2,6)，半徑r4，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CDAB，所以|AD|2，|AC|4，C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6)在RtACD中，可得|CD|2.若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y5kx，即kxy50.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：2，得k.故直線l的方程為3x4y200.4分直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x0.6分所以所求直線l的方程為x0或3x4y200.7分(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CDPD，即·0，所以(x2，y6)·(x，y5)0，10分化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2y22x11y300.12分B組名校沖刺一、選擇題1已知圓的方程為(x1)2(y1)29，點(diǎn)P(2,2)是該圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是()A3 B4C5 D6D依題意，圓的最長(zhǎng)弦為直徑，最短弦為過點(diǎn)P垂直于直徑的弦，所以|AC|2×36.因?yàn)閳A心到BD的距離為，所以|BD|22.則四邊形ABCD的面積為S×|AC|×|BD|×6×26.故選D.2若直線l：axby10始終平分圓M：x2y24x2y10的周長(zhǎng)，則(a2)2(b2)2的最小值為()A.B5 C2D10B由題意，知圓心M的坐標(biāo)為(2，1)，所以2ab10.因?yàn)?a2)2(b2)2表示點(diǎn)(a，b)與(2,2)的距離的平方，而的最小值為，所以(a2)2(b2)2的最小值為5.故選B.3命題p：4r7，命題q：圓(x3)2(y5)2r2(r0)上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y2的距離等于1，則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B因?yàn)閳A心(3，5)到直線4x3y2的距離等于5，所以圓(x3)2(y5)2r2上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y2的距離等于1時(shí)，4r6，所以p是q的必要不充分條件4(2016·蘭州二模)已知直線xyk0(k0)與圓x2y24交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|，則k的取值范圍是()A(，) B，2)C，) D，2)B由已知得圓心到直線的距離小于半徑，即2，由k0，得0k2.如圖，又由|，得|OM|BM|MBO，因|OB|2，所以|OM|1，故1k.綜得k2.二、填空題5已知直線xya0與圓x2y22交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，滿足|23|23|，則實(shí)數(shù)a的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952049】±由|23|23|得·0，即OAOB，則直線xya0過圓x2y22與x軸，y軸正半軸或負(fù)半軸的交點(diǎn)，故a±.6已知圓C的圓心與拋物線y24x的焦點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱，直線4x3y20與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|6，則圓C的方程為_x2(y1)210設(shè)所求圓的半徑為r，拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)，圓心到直線4x3y20的距離d1，故圓C的方程是x2(y1)210.三、解答題7已知半徑為2，圓心在直線yx2上的圓C.(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，且與y軸相切時(shí)，求圓C的方程；(2)已知E(1,1)，F(xiàn)(1，3)，若圓C上存在點(diǎn)Q，使|QF|2|QE|232，求圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍解(1)圓心在直線yx2上，半徑為2，可設(shè)圓的方程為(xa)2y(a2)24，2分其圓心坐標(biāo)為(a，a2)圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，且與y軸相切，有解得a2，4分圓C的方程是(x2)2y24.5分(2)設(shè)Q(x，y)，由|QF|2|QE|232，得(x1)2(y3)2(x1)2(y1)232，解得y3，點(diǎn)Q在直線y3上.7分又點(diǎn)Q在圓C：(xa)2y(a2)24上，圓C與直線y3必須有公共點(diǎn)圓C圓心的縱坐標(biāo)為a2，半徑為2，圓C與直線y3有公共點(diǎn)的充要條件是1a25，即3a1.10分圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍是3,1.12分8已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為H.(1)若直線l過點(diǎn)C，且被H截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以點(diǎn)C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求C的半徑r的取值范圍解(1)線段AB的垂直平分線方程為x0，線段BC的垂直平分線方程為xy30，所以外接圓圓心為H(0,3)，半徑為，H的方程為x2(y3)210.設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被H截得的弦長(zhǎng)為2，所以d3.3分當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然符合題意，即x3為所求；4分當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y2k(x3)，則3，解得k，直線方程為4x3y60.綜上，直線l的方程為x3或4x3y60.5分(2)直線BH的方程為3xy30，設(shè)P(m，n)(0m1)，N(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，所以M，又M，N都在半徑為r的C上，所以即7分因?yàn)樵撽P(guān)于x，y的方程組有解，即以(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6m,4n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2，8分又3mn30，所以r210m212m109r2對(duì)m0,1成立而f(m)10m212m10在0,1上的值域?yàn)?，故r2且109r2.10分又線段BH與圓C無公共點(diǎn)，所以(m3)2(33m2)2r2對(duì)m0,1成立，即r2.故C的半徑r的取值范圍為.12分