專題二數(shù)列建知識網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系 高考點撥數(shù)列專題是高考的必考專題之一，主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運算及數(shù)列求和的能力，該部分即可單獨命題，又可與其他專題綜合命題，考查方式靈活多樣，結(jié)合近幾年高考命題研究，為此本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和”兩條主線展開分析和預(yù)測突破點4等差數(shù)列、等比數(shù)列提煉1等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算(1)通項公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1·qn1.(2)求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn(q1)(3)性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中am·anap·aq.提煉2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法：(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用中項性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項，即證明aan1an1(n2).提煉3數(shù)列中項的最值的求法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進而確定相應(yīng)的最值(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列an的最大項，則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項回訪1等差數(shù)列基本量的運算1(2016·全國乙卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100()A100 B99C98 D97C法一：an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198.故選C.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a100a5(201)×598.故選C.2(2013·全國卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m()A3 B4C5 D6Can是等差數(shù)列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)·12，m5.3(2013·全國卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_49設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，由等差數(shù)列前n項和可得解得nSnn2a1d3n2(n3n2)n3，(nSn)n2，令(nSn)0，解得n0(舍去)或n.當(dāng)n時，nSn是單調(diào)遞增的；當(dāng)0n時，nSn是單調(diào)遞減的，故當(dāng)n7時，nSn取最小值，(nSn)min×7349.回訪2等比數(shù)列基本量的運算4(2015·全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21 B42C63 D84Ba13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142.故選B.5(2016·全國乙卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_64設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n·23n2n.記t(n27n)，結(jié)合nN*可知n3或4時，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.熱點題型1等差、等比數(shù)列的基本運算題型分析：以等差(比)數(shù)列為載體，考查基本量的求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個熱點，題型以客觀題為主，難度較小.(1)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a1a330，S4120，設(shè)bn1log3an，那么數(shù)列bn的前15項和為()A152 B135 C80 D16(2)設(shè)an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1()A2 B2 C. D(1)B(2)D(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比q3，首項a13，所以an3n，bn1log33n1n，則數(shù)列bn是等差數(shù)列，前15項的和為135，故選B.(2)由題意知S1a1，S22a11，S44a16，因為S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以SS1·S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1，故選D.在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法，這其中蘊含著方程思想的運用提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，務(wù)必注意公比q的取值范圍變式訓(xùn)練1(1)已知在數(shù)列an中，a11，an1an3，Sn為an的前n項和，若Sn51，則n_.(2)(名師押題)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a3，a2a4，則_.(1)6(2)2n1(1)由a11，an1an3，得an1an3，所以數(shù)列an是首項為1，公差為3的等差數(shù)列由Snn×351，即(3n17)(n6)0，解得n6或n(舍)(2)q，a1a3a1a1×，解得a12，an2×n1，Sn4，2n1.熱點題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)題型分析：該熱點常與數(shù)列中基本量的運算綜合考查，熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)，可以大大提高解題效率.(1)(2016·南昌一模)若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前4項的和為9，積為，則前4項倒數(shù)的和為() 【導(dǎo)學(xué)號：85952020】A. BC1 D2(2)(2015·東北三校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，中最大的項為()A. BC. D.(1)D(2)C(1)由題意得S49，所以.由a1·a1q·a1q2·a1q3(aq3)2得aq3.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項倒數(shù)的和為·2，故選D.(2)由S1515a8>0，S1616×<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以an單調(diào)遞減，因為前8項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大，故選C.1若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)2若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，an·bn，manbn(m為常數(shù))，a，仍為等比數(shù)列3公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，且公比為q.4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5若A2n1，B2n1分別為等差數(shù)列an，bn的前2n1項的和，則.變式訓(xùn)練2(1)(2016·沈陽模擬)已知各項不為0的等差數(shù)列an滿足2a2a2a120，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b3b11等于()A16 B8C4 D2(2)在等比數(shù)列an中，已知a1a38，a5a74，則a9a11a13a15()A1 B2C3 D2或4(1)A(2)C(1)an是等差數(shù)列，a2a122a7，2a2a2a124a7a0.又a70，a74.又bn是等比數(shù)列，b3b11ba16.(2)an為等比數(shù)列，a5a7是a1a3與a9a11的等比中項，(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112.同理a9a11是a5a7與a13a15的等比中項，(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a151.a9a11a13a15213.熱點題型3等差、等比數(shù)列的證明(2016·全國丙卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.1分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.2分由a10，0得an0，所以.3分因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，4分于是ann1.6分(2)由(1)得Sn1n.8分由S5得15，即5.10分解得1.12分判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，或利用等差中項、等比中項進行判斷提醒：利用aan1·an1(n2)來證明數(shù)列an為等比數(shù)列時，要注意數(shù)列中的各項均不為0.變式訓(xùn)練3(2014·全國卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，2分由于an10，所以an2an.4分(2)由題設(shè)知a11，a1a2S11，可得a21.5分由(1)知，a31.6分令2a2a1a3，解得4.7分故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3.9分a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.11分所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.12分