專題限時(shí)集訓(xùn)(九)隨機(jī)變量及其分布建議A、B組各用時(shí)：45分鐘A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1已知變量X服從正態(tài)分布N(2,4)，下列概率與P(X0)相等的是()AP(X2)BP(X4)CP(0X4) D1P(X4)B由變量X服從正態(tài)分布N(2,4)可知，x2為其密度曲線的對(duì)稱軸，因此P(X0)P(X4)故選B.2(2016·廈門模擬)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100 B200C300 D400B將“沒有發(fā)芽的種子數(shù)”記為，則1,2,3，1 000，由題意可知B(1 000,0.1)，所以E()1 000×0.1100，又因?yàn)閄2，所以E(X)2E()200，故選B.3現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該射手完成以上三次射擊，該射手恰好命中一次的概率為()A. B C. D.C××××××，故選C.4(2016·合肥二模)某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952035】A. BC. D.A“A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的安排方法中，另外3人中任何一個(gè)人第一個(gè)出場(chǎng)的概率都相等，故“C第一個(gè)出場(chǎng)”的概率是.5箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)現(xiàn)在4人參與摸獎(jiǎng)，恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是()A. BC. D.B若摸出的兩球中含有4，必獲獎(jiǎng)，有5種情形；若摸出的兩球是2,6，也能獲獎(jiǎng)故獲獎(jiǎng)的情形共6種，獲獎(jiǎng)的概率為.現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)，恰有3人獲獎(jiǎng)的概率是C3·.二、填空題6隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.由題意設(shè)P(1)p，的分布列如下：012Ppp由E()1，可得p，所以D()12×02×12×.7某學(xué)校一年級(jí)共有學(xué)生100名，其中男生60人，女生40人來自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生，則該女生來自北京的概率是_設(shè)事件A為“任選一人是女生”，B為“任選一人來自北京”，依題意知，來自北京的女生有8人，這是一個(gè)條件概率，問題即計(jì)算P(B|A)由于P(A)，P(AB)，則P(B|A).8(2016·黃岡一模)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷圖9­6葉上跳來跳去(每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖9­6所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次后仍停在A葉上的概率是_設(shè)順時(shí)針跳的概率為p，則逆時(shí)針跳的概率為2p，則p2p1，即p，由題意可知，青蛙三次跳躍 的方向應(yīng)相同，即要么全為順時(shí)針方向，要么全為逆時(shí)針方向，故所求概率P33.三、解答題9. (2016·合肥三模)從某校的一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)中，隨機(jī)抽取了50名同學(xué)的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如下：組別30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)3101215622(1)求這50名同學(xué)成績(jī)的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，本次學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)Z服從正態(tài)分布N(，196)，其中近似為樣本平均數(shù).利用該正態(tài)分布，求P(Z>74)；某班級(jí)共有20名同學(xué)參加此次學(xué)科知識(shí)比賽，記X表示這20名同學(xué)中成績(jī)超過74分的人數(shù)，利用的結(jié)果，求E(X)附：若ZN(，2)，則P(<Z<)0.682 6，P(2<Z<2)0.954 4.解(1)樣本平均數(shù)35×45×55×65×75×85×95×60.4分(2)由(1)可知ZN(60,196)，故P(Z>74)0.158 7.8分由知，某位同學(xué)參加學(xué)科知識(shí)比賽的成績(jī)Z超過74分的概率為0.158 7，依題意可知XB(20,0.158 7)，所以E(X)20×0.158 73.174.12分10甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答都得0分已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是.設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊(duì)總得分(1)求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E()；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率解(1)的可能取值為0,1,2,3.P(0)××；1分P(1)××××××；2分P(2)××××××；3分P(3)××.4分所以的分布列為0123P6分所以E()0×1×2×3×.8分(2)設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P(A)×C3×C2××C1×2.10分P(AB)×C1×2.11分P(B|A).12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·河北第二次聯(lián)考)已知袋子中裝有大小相同的6個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球現(xiàn)從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，則至少有2個(gè)白球的概率為()A. BC. D.C所求問題有兩種情況：1紅2白或3白，則所求概率P.圖9­72如圖9­7，ABC和DEF是同一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形，且BCEF.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用M表示事件“豆子落在ABC內(nèi)”，N表示事件“豆子落在DEF內(nèi)”，則P(|M)()A. BC. D.C如圖，作三條輔助線，根據(jù)已知條件知這些小三角形都全等，ABC包含9個(gè)小三角形，滿足事件M的有3個(gè)小三角形，所以P(|M)，故選C.3設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c()A1 B2C3 D4BXN(2,9)，正態(tài)密度曲線關(guān)于x2對(duì)稱，又概率表示它與x軸所圍成的面積2，c2.4甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程相同的門數(shù)為X，則E(X)為()A1 B1.5C2 D2.5BX可取0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故E(X)0×1×2×3×1.5.二、填空題5現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任選3道題作答已知所選的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，則張同學(xué)恰好答對(duì)2道題的概率為_設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類題的數(shù)目為x，答對(duì)乙類題的數(shù)目為y，答對(duì)題的總數(shù)為X，則Xxy.所以P(X2)P(x2，y0)P(x1，y1)C×2×C×××.6某商場(chǎng)在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止設(shè)甲每次擊中的概率為p(p0)，射擊次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望E()>，則p的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952036】由已知得P(1)p，P(2)(1p)p，P(3)(1p)2，則E()p2(1p)p3(1p)2p23p3>，解得p>或p<，又p(0,1)，所以p.三、解答題7(2016·鄭州模擬)已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過L1與L2所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖9­8(1)和圖(2)(1)(2)圖9­8現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于從A地到B地(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(duì)(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到B地”，B i表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i1,2.1分由頻率分布直方圖及頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P(A1)(0.010.020.03)×100.6，P(A2)(0.010.04)×100.5.P(A1)>P(A2)，故甲應(yīng)選擇L1.3分P(B1)(0.010.020.030.02)×100.8，P(B2)(0.010.040.04)×100.9.P(B2)>P(B1)，故乙應(yīng)選擇L2.5分(2)用M，N分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)0.6，P(N)0.9，又由題意知，M，N相互獨(dú)立，7分P(X0)P()P()P()0.4×0.10.04；P(X1)P(NM)P()P(N)P(M)P()0.4×0.90.6×0.10.42；P(X2)P(MN)P(M)P(N)0.6×0.90.54.9分X的分布列為X012P0.040.420.54E(X)0×0.041×0.422×0.541.5.12分8氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)表如下：日最高氣溫t/t2222<t2828<t32t>32天數(shù)612YZ由于工作疏忽，統(tǒng)計(jì)表被墨水污染，Y和Z數(shù)據(jù)不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32的頻率為0.9.某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗(yàn)，六月份的日最高氣溫t(單位：)對(duì)西瓜的銷售影響如下表：日最高氣溫t/t2222<t2828<t32t>32日銷售額X/千元2568(1)求Y，Z的值；(2)若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額X的期望和方差；(3)在日最高氣溫不高于32時(shí)，求日銷售額不低于5千元的概率解(1)由已知得P(t32)0.9，所以P(t>32)1P(t32)0.1，所以Z30×0.13，Y30(6123)9.3分(2)由題意，知X的所有可能取值為2,5,6,8.易知P(X2)P(t22)0.2，P(X5)P(22<t28)0.4，P(X6)P(28<t32)0.3，P(X8)P(t>32)0.1.所以六月份西瓜日銷售額X的分布列為X2568P0.20.40.30.16分所以E(X)2×0.25×0.46×0.38×0.15，7分D(X)(25)2×0.2(55)2×0.4(65)2×0.3(85)2×0.13.8分(3)因?yàn)镻(t32)0.9，P(22<t32)0.40.30.7，所以由條件概率得P(X5|t32)P(22<t32|t32).12分