2019-2020年高中數學奧賽系列輔導資料函數奧賽競賽練習教案一、選擇題1（xx年北京市中學生數學競賽）已知函數y=f(x)有反函數，現將y=f(2x-1)的圖象向左平移2個單位，所得圖形表示的函數的反函數是（ ）ABCD二、填空題2（xx年全國高中數學聯賽）函數的值域為_。3（xx年全國高中數學聯賽）不等式的解集為_。4（xx年北京市中學生數學競賽）函數f(x)對于任意非負實數x、y都滿足，且f(x)0，f(1)0，則=_。三、解答題5（xx年北京市中學生數學競賽）f(x)是定義在R上的函數，對任意的xR，都有f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2，設g(x)=f(x)-x，（1）求證g(x)是周期函數；（2）如果f(998)=1002，求f(xx)的值。6（xx年全國高中數學聯賽）若函數在區(qū)間a，b上的最小值為2a，最大值為2b，求區(qū)間a，b。7（第一屆“希望杯”全國邀請賽試題）求函數在區(qū)間-1，1上的值域。8（第九屆“希望杯”全國邀請賽試題）若實數x滿足不等式。試求函數的最大值。9（xx年莫斯科師范大學數學奧林匹克競賽）作函數的圖象。10（xx年莫斯科師范大學數學奧林匹克競賽）函數是偶函數還是奇函數？11（第五屆北京高中數學知識應用競賽）中國青年報2001年3月19日報道：中國移動通信將于3月21日開始在所屬18個省、市移動通信公司陸續(xù)推出“全球通”移動電話資費“套餐”，這個：“套餐”的最大特點是針對不同用戶采取了不同的收費方法。具體方案如下：方案代號基本月租（元）免費時間（分鐘）超過免費時間的話費（元/分鐘）1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030原計費方案的基本月租為50元，每通話一分鐘付0.4元，請問：（1）“套餐”中第4種收費方式的月話費y與月通話量t（月通話量是指一個月內每次通話用時之和，每次通話用時以分為單位取整計算，如某次通話時間為3分20秒，按4分鐘計通話用時）的函數關系式；（2）取第4種收費方式，通話量多少時比原計費方式的月通話費省錢；（3）據中國移動xx年公布的中期業(yè)績，每戶通話平均為每月320分鐘，若一個用戶的通話量恰好是這個平均值，那么選擇哪種收費方式更合算，并說明理由。參考答案1A 由于“抽象”沒有具體的函數表達式，使題目顯得有些難，化難為易的方法因而也就是化抽象為具體，不妨設f(x)=x+1（這樣符合原題“f(x)有反函數”的規(guī)定）。于是以下種種全具體化了。反函數是，向左平移2個單位所得圖形表示的函數。這個函數的反函數，再與4個選擇來對照。A項是符合，B項是不合，C項是不合，D項是不合。故選A。2兩邊平方得，從而且。由或y2。任取y2，由，易知x2，于是。任取，同樣由，易知x1。于是。因此，所求函數的值域為。3等價于或。即或。此時，或或。解為x>4或0<x<1或。即解集為。4這題f(x)不容易具體化，但是它的值則是可以具體化的。例如設x=0，y=0。則由，得，f(0)=0。再設x=0，y=1。得，以f（0）=0代入，已知f(1) 0，。設x=1，y=1，得，即。設x=2，y=1，得，。設x=0，得，。設x=0，得，即，。至此可求，。5解：本例的難度顯然又有增加，主要是難以具體化。只能在抽象的層面來解決問題（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2代換，可得，由可得g(x+4) f(x+2)-x-2f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6) f(x+2)-x-2f(x)-x。由可得g(x+6) f(x+3)-x-3f(x)-x，由、知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。g(x)是周期函數獲證（6是它的一個周期）（2）xx-998=1002是6的整數倍，所以g(xx)=g(998)，即f(xx)-xx=f(998)-998f(xx)=f(998)+1002=1002+1002=xx。本題的不同之處在于沒有“具體化”，而是利用f(x+3)與f(x+2)的反復操作以求g(x+6)與f(x)的關系，進而得到g(x+6)=g(x)，以達到證明的目的。6解f(x)的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令，且，即可得關于a、b的方程組，解出a、b的值。當a值由負值增大到正值時，區(qū)間a，b在x軸上自左向右移動，因此在求f(x)的最值時，須按區(qū)間a，b的位置分類求解。f(x)圖象頂點坐標為，。（1）當a<b<0時，由f(x)在a，b上單調遞增得，f(a)=2a，且f(b)=2b即于是a、b是二次方程的兩個負根，但此方程兩根異號，故區(qū)間a，b不存在（2）當a<0<b時，f(x)在a，0上單調遞增，在0，b上單調遞減，因而f(x)在x=0處取得最大值，在區(qū)間端點x=a或x=b處取得最小值，即則，解得，于是得區(qū)間。（3）當b>a0時由f(x)在a，b上單調遞減得，f(a)=2b，且f(b)=2a，即解得或（舍去）即得區(qū)間1，3。綜上所述，所求區(qū)間為1，3或7解：。值域為。8解：。9解：研究2種情況。，即x1。于是。，即x<1。于是。圖象如圖所示。10解：很明顯對于任一xR，由此f(x)的定義域為R。研究和。因此，對任何xR，f(-x)=-f(x)，這表明f(x)是奇函數。11解：（1）（2）當0t600時，解不等式50+0.4t268，得545t600（tN），當t>600時，解不等式50+0.4t268+0.45(t-600)，得600<t1040(tN)，綜上，545t1040時（tN），第4種收費方式比原收費方式的月通話費省錢。（3）因為按照原來的收費方式，320分鐘收費178元（即50+0.4320），所以，不會選擇月租費多于178元的收費方式，從而只考慮“套餐”中的前三種方式。第一種方式的話費為：30+0.6（320-48）=193.2（元）；第二種方式的話費為：98+0.6（320-170）=188（元）；第三種方式的話費為：168元。故選擇第三種方式。事實上，相對于原收費方式，當通話時間大于244分鐘時，第一種方式不合算，當通話時間只有在120分鐘至270分鐘時，第二種方式較合算。