第3節(jié) 空間點、直線、平面的位置關(guān)系,知識鏈條完善,考點專項突破,易混易錯辨析,知識鏈條完善 把散落的知識連起來,【教材導(dǎo)讀】 1.分別在兩個平面內(nèi)的直線就是異面直線嗎? 提示:不是.異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線,指的是找不出一個平面同時經(jīng)過這兩條直線,分別在兩個平面內(nèi)的直線可以平行、異面或相交. 2.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系有哪些? 提示:直線與平面的位置關(guān)系有:相交、平行、在平面內(nèi). 平面與平面的位置關(guān)系有:平行、相交.,知識梳理,1.平面的基本性質(zhì)及相關(guān)公(定)理,mn,相等,或互補,2.空間中點、線、面之間的位置關(guān)系,3.異面直線所成的角 (1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O作直線aa,b b,把a與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角);,銳角(或直角),【重要結(jié)論】 經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.,夯基自測,1.(2013高考安徽卷)在下列命題中,不是公理的是( ) (A)平行于同一個平面的兩個平面相互平行 (B)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面 (C)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) (D)如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線,解析:依據(jù)面面平行的判定定理知,A項不是公理,故選A.,A,2.下列命題中,正確命題的個數(shù)是( ) 平行于同一直線的兩直線平行;垂直于同一直線的兩直線平行;一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;若直線a與b相交,b與c相交,則a與c相交;若直線a,b與c成等角,則ab. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,解析:由平行公理知正確;不正確,也可能相交或異面;不正確,也可能異面;不正確,a與c不一定相交;不正確,a與b也可能相交或異面.,B,3.若直線l不平行于平面,且l,則( ) (A)內(nèi)的所有直線與l異面 (B)內(nèi)不存在與l平行的直線 (C)內(nèi)存在唯一的直線與l平行 (D)內(nèi)的直線與l都相交,解析:l與平面相交,則內(nèi)不存在與l平行的直線.,B,B,5.若直線ab,且直線a平面,則直線b與平面的位置關(guān)系是 .,答案:b與相交或b或b,考點專項突破 在講練中理解知識,考點一,平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用,【例1】 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點.求證: (1)E,C,D1,F四點共面;,(2)CE,D1F,DA三線共點.,證明：(2)因為EFCD1,EFCD1, 所以CE與D1F必相交, 設(shè)交點為P, 則由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1=DA, 所以P直線DA, 所以CE,D1F,DA三線共點.,反思歸納 (1)證明點共面或線共面的常用方法 直接法:證明直線平行或相交,從而證明線共面. 同一法:先確定一個平面,再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi). 輔助平面法:先證明有關(guān)的點、線確定平面,再證明其余元素確定平面,最后證明平面,重合. (2)證明空間點共線問題的方法 公理法:一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點,再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上. 同一法:選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上. (3)證明三線共點的方法 先選取兩線交于一點,再證明該點在第三條線上即可.,(2)C,D,F,E四點是否共面?為什么?,考點二,空間兩直線的位置關(guān)系,【例2】 如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在這個正四面體中, GH與EF平行; BD與MN為異面直線; GH與MN成60角; DE與MN垂直. 以上四個命題中,正確命題的序號是 .,答案:,反思歸納,(1)空間中兩直線位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定,對于異面直線,可采用直接法或反證法;對于平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;對于垂直關(guān)系,常常利用線面垂直的性質(zhì)來解決. (2)解決位置關(guān)系問題時,要注意幾何模型的選取,如利用正(長)方體模型來解決問題.,【即時訓(xùn)練】 若直線l1與l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是( ) (A)l與l1,l2都不相交 (B)l與l1,l2都相交 (C)l至多與l1,l2中的一條相交 (D)l至少與l1,l2中的一條相交,解析:可用反證法.假設(shè)l與l1,l2都不相交,因為l與l1都在平面內(nèi),于是ll1,同理ll2,于是l1l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.故選D.,異面直線所成的角的問題,考點三,考查角度1:由幾何體的結(jié)構(gòu)特征計算其中異面直線所成的角. 高考掃描:2014高考新課標全國卷,【例3】 (2015高考浙江卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD= BC=2,點M,N分別為AD,BC的中點,則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是 .,反思歸納,(1)求異面直線所成角的常用方法及類型 常用方法是平移法,平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點、空間某特殊點)作平行線平移; 補形平移. (2)求異面直線所成角的三個步驟 作:通過作平行線,得到相交直線. 證:證明相交直線夾角為異面直線所成的角. 求:通過解三角形,求出該角.,反思歸納,計算由三視圖或平面圖形折疊得到幾何體中異面直線所成角的思路 (1)準確作出直觀圖. (2)在直觀圖中作出異面直線所成的角,進而求解.,備選例題,【例1】 (2015濟寧一模)直線l1,l2平行的一個充分條件是( ) (A)l1,l2都平行于同一個平面 (B)l1,l2與同一個平面所成的角相等 (C)l1平行于l2所在的平面 (D)l1,l2都垂直于同一個平面,解析:對A,當(dāng)l1,l2都平行于同一個平面時,l1與l2可能平行、相交或異面;對B,當(dāng)l1,l2與同一個平面所成的角相等時,l1與l2可能平行、相交或異面;對C,l1與l2可能平行,也可能異面,只有D滿足要求.故選D.,【例2】 三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,AA1平面ABC, 則異面直線BA1與AC1所成的角等于( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)90,【例3】 如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,BAC=60,PA=AB= AC=2,E是PC的中點. (1)求證AE與PB是異面直線;,(1)證明:假設(shè)AE與PB共面,設(shè)平面為, 因為A,B,E, 所以平面即為平面ABE, 所以P平面ABE, 這與P平面ABE矛盾, 所以AE與PB是異面直線.,(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值.,易混易錯辨析 用心練就一雙慧眼,借助正方體判定線面位置關(guān)系,【典例】下列命題正確的是( ) (A)若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行 (B)若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行 (C)若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行 (D)若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行,解析:若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線不一定平行,還有可能相交,也可能異面,故A錯. 若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面可能平行,也可能相交,故B錯. 若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面可能平行,也可能垂直.故D錯.正確的只有C.故選C.,易錯提醒:(1)盲目和平面內(nèi)平行線的判定定理類比,從而誤選A. (2)不會利用正方體作出判斷,考慮問題不全面,從而誤選B或D.,