第22練常考的遞推公式問題的破解方略題型分析·高考展望利用遞推關系式求數(shù)列的通項公式及前n項和公式是高考中常考題型，掌握常見的一些變形技巧是解決此類問題的關鍵一般這類題目難度較大，但只要將已知條件轉(zhuǎn)化為幾類“模型”，然后采用相應的計算方法即可解決體驗高考1(2015·湖南)設Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.答案3n1解析由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S23S1S3，可得a33a2，公比q3，故等比數(shù)列通項ana1qn13n1.2(2015·課標全國)設Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.答案解析由題意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因為Sn0，所以1，即1，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，得1(n1)n，所以Sn.3(2015·江蘇)設數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項的和為_答案解析a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，將以上n1個式子相加得ana123n，即an.令bn，故bn2，故S10b1b2b102.4(2016·課標全國丙)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.(1)證明由題意，得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)解由(1)得Sn1n.由S5，得15，即5.解得1.高考必會題型題型一利用累加法解決遞推問題例1(1)在數(shù)列an中，a11，anan1，則an等于()A2B1C.D2答案A解析anan1，a2a1，a3a2，a4a3，anan1(n>1)，以上各式左右兩邊分別相加得ana111，ana112，又a11適合上式，an2，故選A.(2)在數(shù)列an中，已知a12，an1ancn(nN*，常數(shù)c0)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列求c的值；求數(shù)列an的通項公式解由題意知，a12，a22c，a323c，a1，a2，a3成等比數(shù)列，(2c)22(23c)，解得c0或c2，又c0，故c2.當n2時，由an1ancn，得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，以上各式相加，得ana112(n1)cc.又a12，c2，故ann2n2(n2)，當n1時，上式也成立，數(shù)列an的通項公式為ann2n2(nN*)點評由已知遞推關系式，若能轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，或f(n)且f(n)的和可求，則可采用累加法變式訓練1在數(shù)列an中，a11，an1anln(1)，則an等于()A1nln nB1nln nC1(n1)ln nD1ln n答案D解析a11，an1anln(1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln(1)ln(1)ln(11)1ln(×××2)11ln n.題型二利用累乘法解決遞推問題例2(1)已知a11，則an_.(2)已知數(shù)列an中，a11，n(nN*)，則a2 016_.答案(1)(2)2 016解析(1)，×××××××××××.即，又a11，an，而a11也適合上式，an的通項公式為an.(2)由n(nN*)，得，各式相乘得n，ann(n1適合)，a2 0162 016.點評若由已知遞推關系能轉(zhuǎn)化成f(n)的形式，且f(n)的前n項積能求，則可采用累乘法注意驗證首項是否符合通項公式變式訓練2數(shù)列an的前n項和Snan (n2)，且a11，a22，則an的通項公式an_.答案解析Sn1an1 (n3)，SnSn1anan1，ananan1，.當n3時，···2····，n1，an(n1)·a22(n1)(n3)a22滿足an2(n1)，an題型三構造法求通項公式例3(1)已知數(shù)列an，a12，an(n2)，則an_.(2)已知a11，an1，則an_.答案(1)(2)解析(1)由an兩邊取倒數(shù)得1，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，(n1)n.an.(2)由an1，得1(常數(shù))，又1，為以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，n，從而an，即所求通項公式為an.點評構造法就是利用數(shù)列的遞推關系靈活變形，構造出等差、等比的新數(shù)列，然后利用公式求出通項此類問題關鍵在于條件變形：在“ancan1b”的條件下，可構造“anxc(an1x)”在“an”的條件下，可構造“”變式訓練3已知數(shù)列an中，a12，當n2時，an，求數(shù)列an的通項公式解因為當n2時，an1，兩邊取倒數(shù)，得.即，故數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列所以(n1).所以an.又當n1時，上式也成立，故數(shù)列an的通項公式是an(nN*)高考題型精練1數(shù)列an滿足a11，a2，且(n2)，則an等于()A.B()n1C()nD.答案D解析由題意知是等差數(shù)列，又1，公差為d，(n1)×，an，故選D.2已知數(shù)列an中，a11，且3(nN*)，則a10等于()A28 B33 C. D.答案D解析由已知3(nN*)，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，即1(n1)×33n2，解得an，a10，故選D.3已知數(shù)列an中，a1，an1an(nN*)，則數(shù)列an的通項為()AanBanCanDan答案B解析由an1an可得，an1an，所以a2a1，a3a2，a4a3，anan1，累加可得ana1，又a1，所以an，故選B.4已知f(x)log21，anf()f()f()，n為正整數(shù)，則a2 016等于()A2 015 B2 009 C1 005 D1 006答案A解析因為f(x)log21，所以f(x)f(1x)log21log212.所以f()f()2，f()f()2，f()f()2，由倒序相加，得2an2(n1)，ann1，所以a2 0162 01612 015，故選A.5已知數(shù)列an滿足a11，an1ann2n(nN*)，則an為()A.2n11B.2n1C.2n11D.2n11答案B解析an1ann2n，an1ann2n.ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(12)(222)(n1)2n11123(n1)(2222n1)12n1.6已知數(shù)列an滿足a11，anan12n(n2)，則a7等于()A53 B54C55 D109答案C解析anan12n(n2)，a2a14，a3a26，a4a38，a7a614，以上各式兩邊分別相加得a7a14614，a7155.7數(shù)列an中，a11，an2·3n1an1(n2)，則an_.答案3n2解析因為an2·3n1an1(n2)，所以anan12·3n1(n2)，由疊加原理知ana12(332333n1)(n2)，所以ana1213n33n2(n2)，因為a11也符合上式，故an3n2.8若數(shù)列an滿足an3an12(n2，nN*)，a11，則數(shù)列an的通項公式an_.答案2×3n11解析設an3(an1)，化簡得an3an12，an3an12，1，an13(an11)a11，a112，數(shù)列an1是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，an12×3n1，an2×3n11.9若數(shù)列an滿足a11，且an14an2n，則通項an_.答案22n12n1解析an14an2n，設bn，則bn12bn，bn12(bn)，即2，又b11，bn是等比數(shù)列，其中首項為1，公比為2，bn2n1，即bn2n1，即2n1，an2n(2n1)22n12n1.10數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.答案解析an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a3×22a22.而a2，a1.11數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設bnan1an，證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項公式(1)證明由an22an1an2，得bn1bnan22an1an2an1an22an1an2，又b1a2a11，bn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)得bn2n1，于是an1an2n1，an(a2a1)(a3a2)(anan1)a113(2n3)1(n1)21，而a11也符合，an的通項公式an(n1)21.12已知數(shù)列an的首項a11，前n項和為Sn，且Sn12Snn1(nN*)(1)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列nann的前n項和Tn.解(1)由已知，Sn12Snn1(nN*), 當n2時，Sn2Sn1n，兩式相減得，an12an1，于是an112(an1)(n2)當n1時，S22S111，即a1a22a111，所以a23，此時a212(a11)，且a1120，所以數(shù)列an1是首項為a112，公比為2的等比數(shù)列所以an12·2n1，即an2n1(nN*)(2)令cnnann，則cnn·2n，于是Tn1·212·22n·2n，2Tn1·22(n1)·2nn·2n1，兩式相減得，Tn2222nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以Tn(n1)·2n12.