專題跟蹤檢測(cè)（十七） 概率、隨機(jī)變量及其分布列一、全練保分考法保大分1(2018·全國(guó)卷)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30723.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A.B.C. D.解析：選C不超過(guò)30的所有素?cái)?shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有C45種情況，而和為30的有723,1119,1317這3種情況，所求概率為.故選C.2(2018·武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b，則方程ax2bx10有實(shí)數(shù)解的概率是()A. B.C. D.解析：選C投擲骰子兩次，所得的點(diǎn)數(shù)a和b滿足的關(guān)系為a和b的組合有36種，若方程ax2bx10有實(shí)數(shù)解，則b24a0，b24a.當(dāng)b1時(shí)，沒(méi)有a符合條件；當(dāng)b2時(shí)，a可取1；當(dāng)b3時(shí)，a可取1,2；當(dāng)b4時(shí)，a可取1,2,3,4；當(dāng)b5時(shí)，a可取1,2,3,4,5,6；當(dāng)b6時(shí)，a可取1,2,3,4,5,6.滿足條件的組合有19種，則方程ax2bx10有實(shí)數(shù)解的概率P.3(2018·合肥質(zhì)檢)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(100,4)現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10 000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在98,104內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有()附：若X服從正態(tài)分布N(，2)，則P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.A3 413件B4 772件C6 826件 D8 186件解析：選D由題意知100，2，則P(98X104)P(X)P(2X2)0.818 6，所以質(zhì)量在98,104內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有10 000×0.818 68 186件4.(2019屆高三·洛陽(yáng)聯(lián)考)如圖，圓O：x2y22內(nèi)的正弦曲線ysin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()A. B.C. D.解析：選B由題意知圓O的面積為3，正弦曲線ysin x，x，與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對(duì)稱性得區(qū)域M的面積S2sin xdx2cos x4，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P，故選B.5(2018·濰坊模擬)某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核，規(guī)則是：每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃；每個(gè)輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過(guò)，否則不通過(guò)已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的期望是()A3 B.C2 D.解析：選B每個(gè)輪次甲不能通過(guò)的概率為×，通過(guò)的概率為1，因?yàn)榧?個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B，所以X的數(shù)學(xué)期望為3×.6.(2018·濰坊模擬)如圖，六邊形ABCDEF是一個(gè)正六邊形，若在正六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率是()A. B.C. D.解析：選C設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)G，BC1，則BGCG，BGC120°，在BCG中，由余弦定理得1BG2BG22BG2cos 120°，得BG，所以SBCG×BG×BG×sin 120°×××，因?yàn)镾六邊形ABCDEFSBOC×6×1×1×sin 60°×6，所以該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率是1.7(2018·福州模擬)某商店隨機(jī)將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫并排貼在同一面墻上，則角梳與油紙傘的宣傳畫相鄰的概率是_解析：記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫分別為a，b，c，則并排貼的情況有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種，其中b，c相鄰的情況有abc，acb，bca，cba，共4種，故由古典概型的概率計(jì)算公式，得所求概率P.答案：8(2018·唐山模擬)向圓(x2)2(y)24內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在x軸下方的概率為_解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長(zhǎng)為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為××2×2×，所以向圓(x2)2(y)24內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在x軸下方的概率P.答案：9從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則兩張都是假鈔的概率是_解析：設(shè)事件A為“抽到的兩張都是假鈔”，事件B為“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率為P(A|B)，因?yàn)镻(AB)P(A)，P(B)，所以P(A|B).答案：10.(2018·唐山模擬)某籃球隊(duì)在某賽季已結(jié)束的8場(chǎng)比賽中，隊(duì)員甲得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖(1)根據(jù)這8場(chǎng)比賽，估計(jì)甲每場(chǎng)比賽中得分的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)假設(shè)甲在每場(chǎng)比賽的得分服從正態(tài)分布N(，2)，且各場(chǎng)比賽間相互沒(méi)有影響，依此估計(jì)甲在82場(chǎng)比賽中得分在26分以上的平均場(chǎng)數(shù)參考數(shù)據(jù)：5.66，5.68，5.70.正態(tài)總體N(，2)在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率約為0.954.解：(1)(78101517192123)15，2(8)2(7)2(5)2022242628232.25.所以5.68.所以估計(jì)甲每場(chǎng)比賽中得分的均值為15，標(biāo)準(zhǔn)差為5.68.(2)由(1)得甲在每場(chǎng)比賽中得分在26分以上的概率P(X26)1P(2X2)(10.954)0.023，設(shè)在82場(chǎng)比賽中，甲得分在26分以上的次數(shù)為Y，則YB(82,0.023)Y的均值E(Y)82×0.0231.886.由此估計(jì)甲在82場(chǎng)比賽中得分在26分以上的平均場(chǎng)數(shù)為1.886.11某化妝品公司從國(guó)外進(jìn)口美容型和療效型兩種化妝品，分別經(jīng)過(guò)本公司的兩條生產(chǎn)線分裝后進(jìn)行銷售，兩種化妝品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量都是100克/瓶，誤差不超過(guò)±5克/瓶即視為合格產(chǎn)品，否則視為不合格產(chǎn)品現(xiàn)隨機(jī)抽取兩種產(chǎn)品各60瓶進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：質(zhì)量/克90,95)95,100)100,105)105,110美容型化妝品/瓶5222310療效型化妝品/瓶5211915(1)根據(jù)上述檢測(cè)結(jié)果，若從這兩種化妝品中各任取一瓶，以頻率作為概率，分別計(jì)算這兩瓶化妝品為合格產(chǎn)品的概率；(2)對(duì)于一瓶美容型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤(rùn)為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損a2(單位：百元)；對(duì)于一瓶療效型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤(rùn)為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損2a2(單位：百元)那么當(dāng)a為何值時(shí)，該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤(rùn)最大？解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為；任取一瓶療效型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為.(2)記X為任意一瓶美容型化妝品和一瓶療效型化妝品所獲得的利潤(rùn)之和，則X的所有可能取值為a，a2a2，aa2，3a2，則P×，P(Xa2a2)×，P×，P(X3a2)×，所以隨機(jī)變量X的分布列為Xaa2a2aa23a2P所以E(X)a×(a2a2)××(3a2)×a2a(a2)2，所以當(dāng)a2時(shí)，E(X)取得最大值，即當(dāng)a為2時(shí)，該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤(rùn)最大12(2019屆高三·貴陽(yáng)模擬)從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，經(jīng)過(guò)這兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過(guò)L1和L2所用時(shí)間的頻率分布直方圖分別如圖(1)和(2)現(xiàn)甲選擇L1或L2在40分鐘內(nèi)從A地到B地，乙選擇L1或L2在50分鐘內(nèi)從A地到B地(1)求圖(1)中a的值；并回答，為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(duì)(1)中的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)由圖(1)可得(0.010.02×3a)×101，解得a0.03，用Ai表示甲選擇Li(i1,2)在40分鐘內(nèi)從A地到B地，用Bi表示乙選擇Li(i1,2)在50分鐘內(nèi)從A地到B地，則P(A1)(0.010.020.03)×100.6，P(A2)(0.010.04)×100.5，因?yàn)镻(A1)P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1.又P(B1)(0.010.020.030.02)×100.8，P(B2)(0.010.040.04)×100.9，因?yàn)镻(B2)P(B1)，所以乙應(yīng)選擇L2.(2)用M，N分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙兩人在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)0.6，P(N)0.9，X的可能取值為0,1,2.由題意知，M，N相互獨(dú)立，P(X0)0.4×0.10.04，P(X1)0.4×0.90.6×0.10.42，P(X2)0.6×0.90.54，X的分布列為X012P0.040.420.54E(X)0×0.041×0.422×0.541.5.13(2018·全國(guó)卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解：(1)因?yàn)?0件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)Cp2·(1p)18，所以f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)令f(p)0，得p0.1.當(dāng)p(0,0.1)時(shí)，f(p)>0；當(dāng)p(0.1,1)時(shí)，f(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p00.1.(2)由(1)知，p0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180,0.1)，X20×225Y，即X4025Y.所以EXE(4025Y)4025EY490.若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)二、加練大題考法少失分1.(2018·鄭州質(zhì)檢)為了減少霧霾，還城市一片藍(lán)天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實(shí)行車輛限號(hào)出行政策，鼓勵(lì)民眾不開車低碳出行市政府為了了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計(jì)了該市甲、乙兩個(gè)單位各200名員工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫出莖葉圖如圖所示，(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求x的值；(2)現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個(gè)單位中各取2天)，記抽取的4天中甲、乙兩個(gè)單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為1，2，令12，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)由題意知，×105107113115119126(120x)132134141122，解得x8.(2)由題得1的所有可能取值為0,1,2，2的所有可能取值為0,1,2，因?yàn)?2，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3,4.因?yàn)榧讍挝坏吞汲鲂械娜藬?shù)不低于130的天數(shù)為3，乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為4，所以P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列為01234P所以E()0×1×2×3×4×.2(2018·福州模擬)某學(xué)校八年級(jí)共有學(xué)生400人，現(xiàn)對(duì)該校八年級(jí)學(xué)生隨機(jī)抽取50名進(jìn)行實(shí)踐操作能力測(cè)試，實(shí)踐操作能力測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)水平，一、二等級(jí)水平的學(xué)生實(shí)踐操作能力較弱，三、四等級(jí)水平的學(xué)生實(shí)踐操作能力較強(qiáng)，測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：等級(jí)水平一水平二水平三水平四男生/名48126女生/名6842(1)根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實(shí)踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān)？實(shí)踐操作能力較弱實(shí)踐操作能力較強(qiáng)總計(jì)男生/名女生/名總計(jì)(2)現(xiàn)從測(cè)試結(jié)果為水平一的學(xué)生中隨機(jī)抽取4名進(jìn)行學(xué)習(xí)能力測(cè)試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望下面的臨界值表供參考：P(K2k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828參考公式：K2，其中nabcd.解：(1)補(bǔ)充2×2列聯(lián)表如下：實(shí)踐操作能力較弱實(shí)踐操作能力較強(qiáng)總計(jì)男生/名121830女生/名14620總計(jì)262450K24.3273.841.有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實(shí)踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān)(2)的可能取值為0,1,2,3,4.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).的分布列為01234PE()0×1×2×3×4×.3(2018·開封模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望；(3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，判斷哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買性？并說(shuō)明理由注：產(chǎn)品的“性價(jià)比”產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價(jià)；“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買性解：(1)E(X1)6，5×0.46a7b8×0.16，即6a7b3.2.又0.4ab0.11，即ab0.5.聯(lián)立解得a0.3，b0.2.(2)由已知，用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)3×0.34×0.25×0.26×0.17×0.18×0.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買性，理由如下：甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件，其性價(jià)比為1，乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，其性價(jià)比為1.2，又1.21，乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買性4(2019屆高三·洛陽(yáng)聯(lián)考)隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車運(yùn)營(yíng)公司M的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司6個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線圖(1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)M公司2019年2月份(即x8時(shí))的市場(chǎng)占有率；(2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采購(gòu)一批單車現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為1 000元/輛和1 200元/輛的A，B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會(huì)導(dǎo)致車輛使用年限各不相同考慮到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車使用年限頻數(shù)表如下：使用年限車型1年2年3年4年總計(jì)A20353510100B10304020100經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車每年可以帶來(lái)收入500元不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用年限都是整數(shù)，且以頻率作為每輛單車使用年限的概率如果你是M公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款車型？參考公式：回歸直線方程為x，其中，.解：(1)由數(shù)據(jù)計(jì)算可得3.5，16.iyi1×112×133×164×155×206×21371，12223242526291，2，162×3.59.月度市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的線性回歸方程為2x9.當(dāng)x8時(shí)，2×8925.故M公司2019年2月份的市場(chǎng)占有率預(yù)計(jì)為25%.(2)由頻率估計(jì)概率，每輛A款車可使用1年，2年，3年和4年的概率分別為0.2,0.35,0.35和0.1，每輛A款車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為E(X)(5001 000)×0.2(1 0001 000)×0.35(1 5001 000)×0.35(2 0001 000)×0.1175(元)由頻率估計(jì)概率，每輛B款車可使用1年，2年，3年和4年的概率分別為0.1,0.3,0.4和0.2，每輛B款車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為E(Y)(5001 200)×0.1(1 0001 200)×0.3(1 5001 200)×0.4(2 0001 200)×0.2150(元)E(X)E(Y)，應(yīng)該采購(gòu)A款單車