專題檢測（二十二） “圓錐曲線”壓軸大題的搶分策略1.(2018·濟南模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：x24y，直線l與拋物線C1交于A，B兩點(1)若直線OA，OB的斜率之積為，證明：直線l過定點；(2)若線段AB的中點M在曲線C2：y4x2(2x2)上，求|AB|的最大值解：(1)證明：由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24kx4m0，16(k2m)0，x1x24k，x1x24m，則kOA·kOB，由已知kOA·kOB，得m1，滿足0，直線l的方程為ykx1，直線l過定點(0,1)(2)設M(x0，y0)，由已知及(1)得x02k，y0kx0m2k2m，將M(x0，y0)代入y4x2(2x2)，得2k2m4×(2k)2，m43k2.2x02，22k2，k，16(k2m)16(k243k2)32(2k2)0，k，故k的取值范圍是(，)|AB|··4·4·6，當且僅當k212k2，即k±時取等號，|AB|的最大值為6.2(2018·石家莊質(zhì)檢)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(1)若以AF1為直徑的動圓內(nèi)切于圓x2y29，求橢圓的長軸的長；(2)當b1時，問在x軸上是否存在定點T，使得·為定值？并說明理由解：(1)設AF1的中點為M，連接OM，AF2(O為坐標原點)，在AF1F2中，O為F1F2的中點，所以|OM|AF2|(2a|AF1|)a|AF1|.由題意得|OM|3|AF1|，所以a3，故橢圓的長軸的長為6.(2)由b1，a2b2c2，得c2，a3，所以橢圓C的方程為y21.當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為yk(x2)，由得(9k21)x236k2x72k290，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k2(x12)(x22).設T(x0,0)，則(x1x0，y1)，(x2x0，y2)，·x1x2(x1x2)x0xy1y2，當9x36x0719(x9)，即x0時，·為定值，定值為x9.當直線AB的斜率不存在時，不妨設A，B，當T時，··.綜上，在x軸上存在定點T，使得·為定值3(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)已知直線l：xmy1過橢圓C：1(a>b>0)的右焦點F，拋物線x24y的焦點為橢圓C的上頂點，且l交橢圓C于A，B兩點，點A，F(xiàn)，B在直線x4上的射影依次為D，K，E.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點M，且1， 2，當m變化時，證明：12為定值；(3)當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由解：(1)l：xmy1過橢圓C的右焦點F，右焦點F(1,0)，c1，即c21.x24y的焦點(0，)為橢圓C的上頂點，b，即b23，a2b2c24，橢圓C的方程為1.(2)證明：由題意知m0，聯(lián)立得(3m24)y26my90.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2. 1，2，M，1(1x1，y1)，2(1x2，y2)，11，21，1222.綜上所述，當m變化時，12為定值.(3)當m0時，直線lx軸，則四邊形ABED為矩形，易知AE與BD相交于點N，猜想當m變化時，直線AE與BD相交于定點N，證明如下：則，易知E(4，y2)，則.y2(y1)(y1y2)my1y2m0，即A，N，E三點共線同理可得B，N，D三點共線則猜想成立， 故當m變化時，直線AE與BD相交于定點N.4(2018·全國卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m>0)(1)證明：k<；(2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差解：(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得·k0.由題設知1，m，于是k.由題設得0<m<，故k<.(2)由題意得F(1,0)設P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m<0.又點P在C上，所以m，從而P，|，于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列設該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2|.將m代入得k1，所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d |.所以該數(shù)列的公差為或.