第44練關(guān)于計(jì)算過(guò)程的再優(yōu)化題型分析·高考展望中學(xué)數(shù)學(xué)的運(yùn)算包括數(shù)的計(jì)算，式的恒等變形，方程和不等式同解變形，初等函數(shù)的運(yùn)算和求值，各種幾何量的測(cè)量與計(jì)算，求數(shù)列和函數(shù)、定積分、概率、統(tǒng)計(jì)的初步計(jì)算等高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的數(shù)學(xué)能力中運(yùn)算求解能力更為基本，運(yùn)算求解能力指的是要求學(xué)生會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等數(shù)學(xué)運(yùn)算，都是依據(jù)相應(yīng)的概念、法則、性質(zhì)、公式等基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行的，尤其是概念，它是思維的形式，只有概念明確、理解透徹，才能作出正確的判斷及合乎邏輯的推理計(jì)算法則是計(jì)算方法的程序化和規(guī)則化，對(duì)法則的理解是計(jì)算技能形成的前提高考命題對(duì)運(yùn)算求解能力的考查主要是針對(duì)算法、推理及以代數(shù)運(yùn)算為主的考查因此在高中數(shù)學(xué)中，對(duì)于運(yùn)算求解能力的培養(yǎng)至關(guān)重要提高數(shù)學(xué)解題能力，首先是提高數(shù)學(xué)的運(yùn)算求解能力，可以從以下幾個(gè)方面入手：1培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣2培養(yǎng)認(rèn)真計(jì)算的習(xí)慣3培養(yǎng)一些常用結(jié)論的記憶的能力，記住一些常用的結(jié)論，比如數(shù)列求和的公式122232n2n(n1)(2n1)，三角函數(shù)中的輔助角公式asin xbcos xsin(x)等等4加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)是提高基本運(yùn)算技能的有效途徑，任何能力都是有計(jì)劃、有目的地訓(xùn)練出來(lái)的，提高基本運(yùn)算技能也必須加強(qiáng)練習(xí)、嚴(yán)格訓(xùn)練5提高運(yùn)算基本技能，必須要提高學(xué)生在運(yùn)算中的推理能力，這就首先要清楚運(yùn)算的定理及相關(guān)理論6增強(qiáng)自信是解題的關(guān)鍵，自信才能自強(qiáng)，在數(shù)學(xué)解題中，自信心是相當(dāng)重要的高考必會(huì)題型題型一化繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化計(jì)算過(guò)程例1過(guò)點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A.BC±D答案B解析由y得，x2y21(y0)，設(shè)直線方程為xmy，m<0(m0不合題意)，代入x2y21(y0)，整理得，(1m2)y22my10，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，則AOB的面積為×|y1y2|y1y2|，因?yàn)閨y1y2|，當(dāng)且僅當(dāng)，即m212，m時(shí)取等號(hào)此時(shí)直線方程為xy，即yx，所以直線的斜率為.點(diǎn)評(píng)本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及三角形的面積公式，先設(shè)出直線方程xmy，表示出AOB的面積，然后探討面積最大時(shí)m的取值，得到直線的斜率題型二運(yùn)用概念、性質(zhì)等優(yōu)化計(jì)算過(guò)程例2已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，則C的離心率e_.答案解析如圖，設(shè)|BF|m，由題意知，m21002×10mcosABF36，解得m8，所以ABF為直角三角形，所以|OF|5，即c5，由橢圓的對(duì)稱性知|AF|BF|8(F為右焦點(diǎn))，所以a7，所以離心率e.點(diǎn)評(píng)熟練掌握有關(guān)的概念和性質(zhì)是快速準(zhǔn)確解決此類題目的關(guān)鍵題型三代數(shù)運(yùn)算中加強(qiáng)“形”的應(yīng)用，優(yōu)化計(jì)算過(guò)程例3設(shè)b>0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an1.(1)解由a1b>0，知an>0，·.令A(yù)n，A1，當(dāng)n2時(shí)，AnAn1A1.當(dāng)b2時(shí)，An；當(dāng)b2時(shí)，An.綜上，an(2)證明當(dāng)b2時(shí)，(2n1bn1)(2n1bn1)(bn12bn22n1)2n1bn12n2bn222nb2n2b2n12n1bn12nbn()>2nbn(222)，2n·2nbnn·2n1bn，an<1.當(dāng)b2時(shí)，an21.綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)n，an1.點(diǎn)評(píng)結(jié)合題目中an的表達(dá)式可知，需要構(gòu)造an新的形式·，得到新的數(shù)列，根據(jù)新數(shù)列的形式求和；不等式的證明借用放縮完成高考題型精練1已知函數(shù)f(x)的定義域是一切實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是()A0<m4 B0m1Cm4 D0m4答案D解析根據(jù)題意mx2mx10(xR)恒成立，當(dāng)m0時(shí)，滿足不等式；當(dāng)m0時(shí)，需滿足解得0<m4，綜上0m4.2已知函數(shù)f(x)x2，則f(3)的值為()A8 B9 C11 D10答案C解析f(x)(x)22，f(3)9211.3已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2答案D解析由題意知，一元二次不等式f(x)>0的解集為(1，)，即1<10x<x<lg 2.4已知函數(shù)f(x)則使方程xf(x)m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,2) B(，2C(，1)(2，) D(，12，)答案D解析當(dāng)x0時(shí)，xf(x)m，即x1m，解得m1；當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)m，即xm，解得m2.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，12，)故選D.5在ABC中，若，則()AACBABCBCD以上都不正確答案C解析，sin Bcos Ccos Bsin C0.sin(BC)0.又<BC<，BC0，即BC.6已知直線l與拋物線y24x交于A、B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為_(kāi)答案xy0解析點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y24x上，yy4x24x1，即.P(2,2)為AB的中點(diǎn)，所以y2y14，直線AB的斜率k1，直線AB的方程為xy0.7拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與邊界)若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x2y的取值范圍是_答案2，解析易知切線方程為：y2x1，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域三個(gè)點(diǎn)為A(0,0)，B(，0)，C(0，1)易知過(guò)C點(diǎn)時(shí)有最小值2，過(guò)B點(diǎn)時(shí)有最大值.8在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知A，bsin(C)csin(B)a.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積(1)證明由bsin(C)csin(B)a，應(yīng)用正弦定理，得sin Bsin(C)sin Csin(B)sin A，sin B(sin Ccos C)sin C(sin Bcos B)，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0<B，C<，從而BC.(2)解由(1)知，BC，又BCA，因此B，C.由a，A，得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面積Sbcsin Asin sin cos sin .9如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為矩形，PDDC4，AD2，E為PC的中點(diǎn)(1)求三棱錐APDE的體積；(2)AC邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)镻D平面ABCD，所以PDAD.又因?yàn)锳BCD是矩形，所以ADCD.因?yàn)镻DCDD，所以AD平面PCD，所以AD是三棱錐APDE的高因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，且PDDC4，所以SPDESPDC×4.又AD2，所以VAPDEAD·SPDE×2×4.(2)取AC中點(diǎn)M，連接EM，DM，所以AMAC.因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，所以EMPA.又因?yàn)镋M平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.即在AC邊上存在一點(diǎn)M，使得PA平面EDM，AM的長(zhǎng)為.10已知雙曲線1(a>0，b>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e2，點(diǎn)M(，)在雙曲線上(1)求雙曲線方程；(2)若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且·0，求的值解(1)e2，c2a，b2c2a23a2，雙曲線方程為1，即3x2y23a2，點(diǎn)M(，)在雙曲線上，1533a2，a24，所求雙曲線方程為1.(2)設(shè)直線OP的方程為ykx(k0)，聯(lián)立1得|OP|2x2y2.·0，直線OQ的方程為yx，同理可得|OQ|2，.11已知數(shù)列an中，an1(nN*，aR且a0)(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范圍解(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1(nN*)結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a52，最小項(xiàng)為a40.(2)an11，已知對(duì)任意的nN*，都有ana6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知56，即10a8.12若正數(shù)x，y滿足x2y44xy，且不等式(x2y)a22a2xy340恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解正實(shí)數(shù)x，y滿足x2y44xy，即x2y4xy4.不等式(x2y)a22a2xy340恒成立，即(4xy4)a22a2xy340恒成立，變形得2xy(2a21)4a22a34恒成立，即xy恒成立又x>0，y>0，x2y2，4xyx2y442，即2()220，或(舍去)，可得xy2.要使xy恒成立，只需2恒成立，化簡(jiǎn)得2a2a150，解得a3或a.故a的取值范圍是(，3，)