第34練概率的兩類模型題型分析·高考展望概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考知識(shí)點(diǎn)在高考中，概率部分的命題主要有三個(gè)方面的特點(diǎn)：一是以古典概型的概率公式為考查對(duì)象，二是以幾何概型的概率公式為考查對(duì)象，三是古典概型與其他知識(shí)相交匯，題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)體驗(yàn)高考1(2015·課標(biāo)全國(guó))如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.B.C.D.答案C解析從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C.2(2015·山東)在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A.B.C.D.答案A解析由1log1，得x2，0x.由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率P.3(2015·福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.答案B解析由圖形知C(1,2)，D(2,2)，S四邊形ABCD6，S陰×3×1.P.4(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.答案B解析如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P，故選B.5(2016·天津)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.B.C.D.答案A解析事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個(gè)互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿?高考必會(huì)題型題型一古典概型問題例1(1)(2016·課標(biāo)全國(guó)丙)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.B.C.D.答案C解析第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，所以總的基本事件的個(gè)數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為，故選C.(2)某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組，求下列事件的概率：選取的2位學(xué)生都是男生；選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生解設(shè)4位男生的編號(hào)分別為1,2,3,4,2位女生的編號(hào)分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生，所取的2位全是男生的方法數(shù)，即從4位男生中任取2個(gè)的方法數(shù)，共有6種，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)所以選取的2位學(xué)生全是男生的概率為P1.從6位學(xué)生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種所以選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生的概率為P2.點(diǎn)評(píng)求解古典概型問題的三個(gè)步驟(1)判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是不是等可能的，設(shè)出所求事件A.(2)分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率變式訓(xùn)練1(2016·北京)從甲，乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為()A.B.C.D.答案B解析從甲，乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況，則甲被選中的概率為.題型二幾何概型問題例2(1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A.B.C.D.(2)在區(qū)間0，內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)的概率為()A.B.C.D.答案(1)D(2)B解析(1)如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是，所以選D.(2)所求概率為幾何概型，測(cè)度為面積，則4a24b240a2b2得所求概率為1.點(diǎn)評(píng)(1)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決(2)幾何概型的概率求解，一般要將問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積或體積等幾何問題在轉(zhuǎn)化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí)，也就是用二元一次不等式(或其他簡(jiǎn)單不等式)組表示區(qū)域幾何概型的試驗(yàn)中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān)變式訓(xùn)練2(1)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，20，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A. B. C. D.(2)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_答案(1)D(2)1解析(1)由20，可得2，由向量加法的幾何意義可知點(diǎn)P在ABC的中線AD上，且，如圖所示，由共線向量定理知22，所以，所以P為AD的中點(diǎn)，所以PBC的面積是ABC面積的，根據(jù)幾何概型可知黃豆落在PBC內(nèi)的概率是P，故選D.(2)V正238，V半球××13，故點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為1.高考題型精練1從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A.B.C.D.答案B解析從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)共有6(種)不同取法，其中取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的有2種不同取法，故所求概率為，選B.2擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于()A.B.C.D.答案B解析擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)有以下情況：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，其中點(diǎn)數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為.3(2016·課標(biāo)全國(guó)甲)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.答案B解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選B.4在區(qū)間0,10內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和在區(qū)間0,10內(nèi)的概率為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)這兩個(gè)數(shù)為x，y，則0x10,0y10，構(gòu)成一個(gè)正方形，面積為102，這兩個(gè)數(shù)的平方和x2y20,10，在正方形中形成的陰影面積為，因此所求概率為，選A.5如圖，已知點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y1上，點(diǎn)C(3,4)，若AB，則ABC的面積大于5的概率是()A.B.C.D.答案C解析設(shè)B(x,1)，由AB，知，解得x3,3根據(jù)題意知點(diǎn)D(，1)，若ABC的面積小于或等于5，則×DB×45，即DB，此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x，又x3,3，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x，3，所以ABC的面積小于或等于5的概率為P，所以ABC的面積大于5的概率是1P.6一只螞蟻在三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形的內(nèi)部爬行，某時(shí)間該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為()A6B6C1D2答案C解析因?yàn)槿切蔚拿娣e為×3×46，離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過1的面積為××12，所以某時(shí)間該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率P1，故選C.7(2016·四川)從2、3、8、9任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是_答案解析從2、3、8、9任取兩個(gè)數(shù)分別為記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og3 9和log2 8兩種情況，所以P.8若袋中5個(gè)外形相同的小球，其中紅球2個(gè)，白球3個(gè)，現(xiàn)從中任取2個(gè)球，則取出的球中有紅球的概率為_答案解析5個(gè)外形相同的小球，記其中的2個(gè)紅球?yàn)?,2,3個(gè)白球?yàn)閍，b，c.從中任取2個(gè)球，共有10種可能的結(jié)果，其中沒有紅球有3種可能的結(jié)果所以有紅球的概率為1.9在區(qū)間1,5和2,4上分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是_答案解析方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為P.10連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時(shí)，m_.答案7解析112,123,134,145,156，167，213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多11甲、乙、丙三人組成一組，參加一個(gè)闖關(guān)游戲團(tuán)體賽，三人各自獨(dú)立闖關(guān)，其中甲闖關(guān)成功的概率為，甲、乙都闖關(guān)成功的概率為，乙、丙闖關(guān)成功的概率為，每人闖關(guān)成功得2分，三人得分之和記為小組團(tuán)體總分(1)求乙、丙各自闖關(guān)成功的概率；(2)求團(tuán)體總分為4分的概率；(3)若團(tuán)體總分不小于4分，則小組可參加復(fù)賽，求該小組可參加復(fù)賽的概率解記甲、乙、丙三人各自獨(dú)立闖關(guān)成功的事件依次為A、B、C，則由已知條件得P(A)，P(A·B)，P(B·C).(1)P(A·B)P(A)·P(B)，P(B).同理，P(C).(2)每人闖關(guān)成功記2分，要使團(tuán)體總分為4分，則需要兩人闖關(guān)成功，兩人都闖關(guān)成功的概率P1······，即團(tuán)體總分為4分的概率P1.(3)團(tuán)體總分不小于4分，則團(tuán)體總分可能為4分，可能為6分，團(tuán)體總分為6分，需要三人都闖關(guān)成功，三人闖關(guān)都成功的概率P2··.由(2)知團(tuán)體總分為4分的概率P1，團(tuán)體總分不小于4分的概率PP1P2.12如圖是一個(gè)方形迷宮，甲、乙兩人分別位于迷宮的A、B兩處，兩人同時(shí)以每一分鐘一格的速度向東、西、南、北四個(gè)方向行走，已知甲向東、西行走的概率都為，向南、北行走的概率為和p，乙向東、西、南、北四個(gè)方向行走的概率均為q.(1)求p和q的值；(2)問最少幾分鐘，甲乙二人相遇？并求出最短時(shí)間內(nèi)可以相遇的概率解(1)p1，p，又4q1，q.(2)最少需要2分鐘，甲乙二人可以相遇(如圖，在C、D、E三處相遇)設(shè)在C、D、E三處相遇的概率分別為pC、pD、pE，則pC(×)×(×)，pD2(×)×2(×)，pE(×)×(×)，pCpDpE()，即所求的概率為.