專題五 動力學(xué)、動量和能量觀點的綜合應(yīng)用專題定位本專題綜合應(yīng)用動力學(xué)、動量和能量的觀點來解決物體運動的多過程問題.本專題是高考的重點和熱點，命題情景新，聯(lián)系實際密切，綜合性強，側(cè)重在計算題中命題，是高考的壓軸題.應(yīng)考策略本專題在高考中主要以兩種命題形式出現(xiàn)：一是綜合應(yīng)用動能定理、機械能守恒定律和動量守恒定律，結(jié)合動力學(xué)方法解決多運動過程問題；二是運用動能定理和能量守恒定律解決電場、磁場內(nèi)帶電粒子運動或電磁感應(yīng)問題.由于本專題綜合性強，因此要在審題上狠下功夫，弄清運動情景，挖掘隱含條件，有針對性的選擇相應(yīng)的規(guī)律和方法.1.動量定理的公式Ftpp除表明兩邊大小、方向的關(guān)系外，還說明了兩邊的因果關(guān)系，即合外力的沖量是動量變化的原因.動量定理說明的是合外力的沖量與動量變化的關(guān)系，反映了力對時間的累積效果，與物體的初、末動量無必然聯(lián)系.動量變化的方向與合外力的沖量方向相同，而物體在某一時刻的動量方向跟合外力的沖量方向無必然聯(lián)系.動量定理公式中的F是研究對象所受的包括重力在內(nèi)的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是變力，當(dāng)F為變力時，F(xiàn)應(yīng)是合外力對作用時間的平均值.2.動量守恒定律(1)內(nèi)容：一個系統(tǒng)不受外力或者所受外力之和為零，這個系統(tǒng)的總動量保持不變.(2)表達式：m1v1m2v2m1v1m2v2；或pp(系統(tǒng)相互作用前總動量p等于相互作用后總動量p)；或p0(系統(tǒng)總動量的增量為零)；或p1p2(相互作用的兩個物體組成的系統(tǒng)，兩物體動量的增量大小相等、方向相反).(3)守恒條件系統(tǒng)不受外力或系統(tǒng)雖受外力但所受外力的合力為零.系統(tǒng)合外力不為零，但在某一方向上系統(tǒng)合力為零，則系統(tǒng)在該方向上動量守恒.系統(tǒng)雖受外力，但外力遠小于內(nèi)力且作用時間極短，如碰撞、爆炸過程.3.解決力學(xué)問題的三個基本觀點(1)力的觀點：主要是牛頓運動定律和運動學(xué)公式相結(jié)合，常涉及物體的受力、加速度或勻變速運動的問題.(2)動量的觀點：主要應(yīng)用動量定理或動量守恒定律求解，常涉及物體的受力和時間問題，以及相互作用物體的問題.(3)能量的觀點：在涉及單個物體的受力和位移問題時，常用動能定理分析；在涉及系統(tǒng)內(nèi)能量的轉(zhuǎn)化問題時，常用能量守恒定律.1.力學(xué)規(guī)律的選用原則(1)單個物體：宜選用動量定理、動能定理和牛頓運動定律.若其中涉及時間的問題，應(yīng)選用動量定理；若涉及位移的問題，應(yīng)選用動能定理；若涉及加速度的問題，只能選用牛頓第二定律.(2)多個物體組成的系統(tǒng)：優(yōu)先考慮兩個守恒定律，若涉及碰撞、爆炸、反沖等問題時，應(yīng)選用動量守恒定律，然后再根據(jù)能量關(guān)系分析解決.2.系統(tǒng)化思維方法，就是根據(jù)眾多的已知要素、事實，按照一定的聯(lián)系方式，將其各部分連接成整體的方法.(1)對多個物理過程進行整體思維，即把幾個過程合為一個過程來處理，如用動量守恒定律解決比較復(fù)雜的運動.(2)對多個研究對象進行整體思維，即把兩個或兩個以上的獨立物體合為一個整體進行考慮，如應(yīng)用動量守恒定律時，就是把多個物體看成一個整體(或系統(tǒng)).解題方略1.彈性碰撞與非彈性碰撞碰撞過程遵從動量守恒定律.如果碰撞過程中機械能守恒，這樣的碰撞叫做彈性碰撞；如果碰撞過程中機械能不守恒，這樣的碰撞叫做非彈性碰撞.2.應(yīng)用動量守恒定律的解題步驟(1)明確研究對象(系統(tǒng)包括哪幾個物體及研究的過程)；(2)進行受力分析，判斷系統(tǒng)動量是否守恒(或某一方向上動量是否守恒)；(3)規(guī)定正方向，確定初、末狀態(tài)動量；(4)由動量守恒定律列式求解；(5)必要時對結(jié)果進行討論.例1如圖1所示，光滑水平面上有一質(zhì)量為m1 kg的小車，小車右端固定一水平輕質(zhì)彈簧，彈簧左端連接一質(zhì)量為m01 kg的物塊，物塊與上表面光滑的小車一起以v05 m/s的速度向右勻速運動，與靜止在光滑水平面上、質(zhì)量為M4 kg的小球發(fā)生彈性正碰，若碰撞時間極短，彈簧始終在彈性限度內(nèi).求：(1)碰撞結(jié)束時，小車與小球的速度；(2)從碰后瞬間到彈簧被壓至最短的過程，彈簧彈力對小車的沖量大小.圖1解析(1)設(shè)碰撞后瞬間小車的速度大小為v1，小球的速度大小為v，由動量守恒及機械能守恒有：mv0Mvmv1mvmvMv2解得v1v03 m/s，小車速度方向向左.vv02 m/s，小球速度方向向右.(2)當(dāng)彈簧被壓縮到最短時，物塊與小車有共同進度，設(shè)小車的速度大小為v2，根據(jù)動量守恒定律有：m0v0mv1(m0m)v2，解得v21 m/s.設(shè)碰撞后瞬間到彈簧最短的過程，彈簧彈力對小車的沖量大小為I，根據(jù)動量定理有Imv2mv1，解得I4 N·s.答案(1)小車：3 m/s，方向向左小球：2 m/s，方向向右(2)4 N·s預(yù)測1(2016·全國乙卷·35(2)某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中.為計算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板(面積略大于S)；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱?，在水平方向朝四周均勻散開.忽略空氣阻力.已知水的密度為，重力加速度大小為g.求：(1)噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；(2)玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度.答案(1)v0S(2)解析(1)在剛噴出一段很短的t時間內(nèi)，可認(rèn)為噴出的水柱保持速度v0不變.該時間內(nèi)，噴出水柱高度lv0t噴出水柱質(zhì)量mV其中V為水柱體積，滿足VlS由可得：噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為v0S.(2)設(shè)玩具底面相對于噴口的高度為h由玩具受力平衡得F沖Mg其中，F(xiàn)沖為水柱對玩具底面的作用力由牛頓第三定律：F壓F沖其中，F(xiàn)壓為玩具底面對水柱的作用力，v為水柱到達玩具底面時的速度由運動學(xué)公式：v2v2gh在很短t時間內(nèi)，沖擊玩具水柱的質(zhì)量為mmv0St由題意可知，在豎直方向上，對該部分水柱應(yīng)用動量定理(F壓mg)tmv由于t很小，mg也很小，可以忽略，式變?yōu)镕壓tmv由可得h.解題方略1.弄清有幾個物體參與運動，并劃分清楚物體的運動過程.2.進行正確的受力分析，明確各過程的運動特點.3.光滑的平面或曲面，還有不計阻力的拋體運動，機械能一定守恒；碰撞過程、子彈打擊木塊、不受其他外力作用的兩物體相互作用問題，一般考慮用動量守恒定律分析.4.如含摩擦生熱問題，則考慮用能量守恒定律分析.例2 如圖2所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M4.0 kg的平板車，車的上表面是一段長L1.5 m的粗糙水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑R0.25 m的四分之一光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在點O處相切.現(xiàn)將一質(zhì)量m1.0 kg的小物塊(可視為質(zhì)點)從平板車的右端以水平向左的初速度v0滑上平板車，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)0.5，小物塊恰能到達圓弧軌道的最高點A.取g10 m/s2，求：圖2(1)小物塊滑上平板車的初速度v0的大小；(2)小物塊與車最終相對靜止時，它距點O的距離.解析(1)平板車和小物塊組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，設(shè)小物塊到達圓弧軌道最高點A時，二者的共同速度為v1由動量守恒得：mv0(Mm)v1由能量守恒得：mv(Mm)vmgRmgL聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v05 m/s(2)設(shè)小物塊最終與車相對靜止時，二者的共同速度為v2，從小物塊滑上平板車，到二者相對靜止的過程中，由動量守恒得：mv0(Mm)v2設(shè)小物塊與車最終相對靜止時，它距O點的距離為x，由能量守恒得：mv(Mm)vmg(Lx)聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：x0.5 m.答案(1)5 m/s(2)0.5 m預(yù)測2如圖3所示，小球A質(zhì)量為m，系在細線的一端，線的另一端固定在O點，O點到光滑水平面的距離為h.物塊B和C的質(zhì)量分別是5m和3m，B與C用輕彈簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物塊位于O點正下方.現(xiàn)拉動小球使細線水平伸直，小球由靜止釋放，運動到最低點時與物塊B發(fā)生正碰(碰撞時間極短)，反彈后上升到最高點時到水平面的距離為.小球與物塊均視為質(zhì)點，不計空氣阻力，重力加速度為g，求碰撞過程中B物塊受到的沖量大小及碰后輕彈簧獲得的最大彈性勢能.圖3答案mmgh解析設(shè)小球運動到最低點與物塊B碰撞前的速度大小為v1，取小球運動到最低點時的重力勢能為零，根據(jù)機械能守恒定律有：mghmv解得：v1設(shè)碰撞后小球反彈的速度大小為v1，同理有：mgmv12解得：v1 設(shè)碰撞后物塊B的速度大小為v2，取水平向右為正方向，由動量守恒定律有：mv1mv15mv2解得：v2 由動量定理可得，碰撞過程中B物塊受到的沖量大小為：I5mv2m碰撞后當(dāng)B物塊與C物塊速度相等時輕彈簧的彈性勢能最大，據(jù)動量守恒定律有5mv28mv3據(jù)機械能守恒定律得：Epm×5mv×8mv解得：Epmmgh.解題方略力學(xué)規(guī)律選用的一般原則力學(xué)中首先考慮使用兩個守恒定律，從兩個守恒定律的表達式看出多項都是狀態(tài)量(速度、位置)，所以守恒定律能解決狀態(tài)問題，不能解決過程(位移x，時間t)問題，不能解決力(F)的問題.(1)若是多個物體組成的系統(tǒng)，優(yōu)先考慮使用兩個守恒定律.(2)若物體(或系統(tǒng))涉及到速度和時間，應(yīng)考慮使用動量定理.(3)若物體(或系統(tǒng))涉及到位移和時間，且受到恒力作用，應(yīng)考慮使用牛頓運動定律.(4)若物體(或系統(tǒng))涉及到位移和速度，應(yīng)考慮使用動能定理，系統(tǒng)中摩擦力做功時應(yīng)用摩擦力乘以相對路程，運用動能定理解決曲線運動和變加速運動問題特別方便.例3(2015·廣東理綜·36)如圖4所示，一條帶有圓軌道的長軌道水平固定，圓軌道豎直，底端分別與兩側(cè)的直軌道相切，半徑R0.5 m，物塊A以v06 m/s的速度滑入圓軌道，滑過最高點Q，再沿圓軌道滑出后，與直軌上P處靜止的物塊B碰撞，碰后粘在一起運動，P點左側(cè)軌道光滑，右側(cè)軌道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段長度都為L0.1 m，物塊與各粗糙段間的動摩擦因數(shù)都為0.1，A、B的質(zhì)量均為m1 kg(重力加速度g取10 m/s2；A、B視為質(zhì)點，碰撞時間極短).圖4(1)求A滑過Q點時的速度大小v和受到的彈力大小F；(2)若碰后AB最終停止在第k個粗糙段上，求k的數(shù)值；(3)求碰后AB滑至第n個(nk)光滑段上的速度vn與n的關(guān)系式.解析(1)從AQ由動能定理得mg·2Rmv2mv解得v4 m/s m/s在Q點，由牛頓第二定律得FNmgm解得FN22 N.(2)A撞B，由動量守恒得mv02mv解得v3 m/s設(shè)摩擦距離為x，則2mgx0·2mv2解得x4.5 m，所以k45.(3)AB滑至第n個光滑段上，由動能定理得·2mgnL·2mv·2mv2所以vn m/s(n<45).答案(1)4 m/s22 N(2)45(3)vn m/s(n<45)預(yù)測3如圖5所示，內(nèi)壁粗糙、半徑R0.4 m的四分之一圓弧軌道AB在最低點B與光滑水平軌道BC相切.質(zhì)量m20.2 kg的小球b左端連接一輕質(zhì)彈簧，靜止在光滑水平軌道上，另一質(zhì)量m10.2 kg的小球a自圓弧軌道頂端由靜止釋放，運動到圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力為小球a重力的2倍.忽略空氣阻力，重力加速度g10 m/s2.求：圖5(1)小球a由A點運動到B點的過程中，摩擦力做的功Wf；(2)小球a通過彈簧與小球b相互作用的過程中，彈簧的最大彈性勢能Ep；(3)小球a通過彈簧與小球b相互作用的整個過程中，彈簧對小球b的沖量I的大小.答案(1)0.4 J(2)0.2 J(3)0.4 N·s解析(1)小球由靜止釋放到最低點B的過程中，根據(jù)動能定理得：m1gRWfm1v，小球在最低點B，根據(jù)牛頓第二定律得：FNm1g，聯(lián)立可得：Wf0.4 J.(2)小球a與小球b通過彈簧相互作用，達到共同速度v2時彈簧具有最大彈性勢能，此過程中，由動量守恒定律：m1v1(m1m2)v2，由能量守恒定律：m1v(m1m2)vEp聯(lián)立可得：Ep0.2 J.(3)小球a與小球b通過彈簧相互作用的整個過程中，a球最終速度為v3，b球最終速度為v4，由動量守恒定律：m1v1m1v3m2v4，由能量守恒定律：m1vm1vm2v，根據(jù)動量定理有：Im2v4，聯(lián)立可得：I0.4 N·s.專題強化練1.如圖1所示，質(zhì)量為m的b球用長為h的細繩懸掛于水平軌道BC的出口C處，質(zhì)量也為m的小球a從距BC高h的A處由靜止釋放，沿ABC光滑軌道滑下，在C處與b球正碰并與b粘在一起，已知BC軌道距地面有一定的高度，懸掛b球的細繩能承受的最大拉力為2.8mg.試問：圖1(1)a球與b球碰前瞬間的速度多大？(2)a、b兩球碰后，細繩是否會斷裂？(要求通過計算回答).答案(1) (2)會斷裂解析(1)設(shè)a球與b球碰前瞬間的速度大小為vC，由機械能守恒定律得mghmv，解得vC，即a球與b球碰前的速度大小為.(2)設(shè)b球碰后的速度為v，a、b碰撞過程中動量守恒，則mvC(mm)v，故vvC，假設(shè)a、b球碰撞后將一起繞O點擺動，若小球在最低點時細繩拉力為FT，則FT2mg2m解得FT3mg，F(xiàn)T>2.8mg，故細繩會斷裂，小球做平拋運動.2.如圖2所示，可看成質(zhì)點的A物體疊放在上表面光滑的B物體上，一起以v0的速度沿光滑的水平軌道勻速運動，與靜止在同一光滑水平軌道上的木板C發(fā)生完全非彈性碰撞，B、C的上表面相平且B、C不粘連，A滑上C后恰好能達到C板的最右端，已知A、B、C質(zhì)量均相等，木板C長為L，求：圖2(1)A物體的最終速度；(2)A在木板C上滑行的時間.答案(1)(2)解析(1)設(shè)A、B、C的質(zhì)量為m，B、C碰撞過程中動量守恒，設(shè)B、C碰后的共同速度為v1，則mv02mv1，解得v1，B、C共速后A以v0的速度滑上C，A滑上C后，B、C脫離，A、C相互作用的過程中動量守恒，設(shè)最終A、C的共同速度為v2，則mv0mv12mv2，解得v2.(2)在A、C相互作用的過程中，根據(jù)機械能守恒有FfLmvmv·2mv(Ff為A、C間的摩擦力)，代入解得Ff.此過程中對C，根據(jù)動量定理有Fftmv2mv1，代入相關(guān)數(shù)據(jù)解得t.3.如圖3所示，整個空間中存在豎直向上的勻強電場，經(jīng)過桌邊的虛線PQ與桌面成45°角，其上方有足夠大的垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，光滑絕緣水平桌面上有兩個可以視為質(zhì)點的絕緣小球，A球?qū)ψ烂娴膲毫榱?，其質(zhì)量為m，電量為q；B球不帶電且質(zhì)量為km(k>7).A、B間夾著質(zhì)量可忽略的火藥.現(xiàn)點燃火藥(此時間極短且不會影響小球的質(zhì)量、電量和各表面的光滑程度).火藥炸完瞬間A的速度為v0.求：圖3(1)火藥爆炸過程中有多少化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機械能；(2)A球在磁場中的運動時間；(3)若一段時間后A、B在桌上相遇，求爆炸前A球與桌邊P的距離.答案(1)mv(2)(3)·解析(1)設(shè)爆炸之后B的速度大小為vB，選向左為正方向，在爆炸前后由動量守恒可得：0mv0kmvBEmvkmvmv(2)由A球?qū)ψ烂娴膲毫榱憧芍亓碗妶隽Φ却蠓聪?，故A球進入電場中將會做勻速圓周運動，如圖所示則T有幾何知識可得：粒子在磁場中運動了個圓周則t2(3)由0mv0kmvB可得：vB由qv0Bm知，R設(shè)爆炸前A球與桌邊P的距離為xA，爆炸后B運動的位移為xB，時間為tB則tBt2xBvBtB由圖可得：RxAxB聯(lián)立上述各式解得：xA·.4.如圖4所示，在水平面上有一彈簧，其左端與墻壁相連，O點為彈簧原長位置，O點左側(cè)水平面光滑.水平段OP長為L1 m，P點右側(cè)一與水平方向成30°的足夠長的傳送帶與水平面在P點平滑連接，傳送帶輪逆時針轉(zhuǎn)動速率為3 m/s，一質(zhì)量為1 kg可視為質(zhì)點的物塊A壓縮彈簧(與彈簧不拴接)，使彈簧獲得的彈性勢能Ep9 J，物塊與OP段動摩擦因數(shù)10.1，另一與A完全相同的物塊B停在P點，B與傳送帶的動摩擦因數(shù)2，傳送帶足夠長，A與B的碰撞時間不計，碰后A、B交換速度，重力加速度g10 m/s2，現(xiàn)釋放A，求：圖4(1)物塊A、B第一次碰撞前瞬間，A的速率v0；(2)從A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前，B與傳送帶之間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量；(3)A、B能夠碰撞的總次數(shù).答案(1)4 m/s(2)12.25 J(3)6次解析(1)設(shè)物塊質(zhì)量為m，A與B第一次碰前的速率為v0，則Epmv1mgL，解得v04 m/s.(2)設(shè)A、B第一次碰撞后的速度分別為vA、vB，則vA0，vB4 m/s，碰后B沿傳送帶向上做勻減速運動直至速度為零，加速度大小設(shè)為a1，則mgsin 2mgcos ma1，解得a1gsin 2gcos 10 m/s2.運動的時間t10.4 s.位移x1t10.8 m.此過程相對運動路程s1vt1x12 m.此后B反向加速，加速度仍為a1，與傳送帶共速后勻速運動直至與A再次碰撞，加速時間為t20.3 s.位移為x2t20.45 m.此過程相對運動路程s2vt2x20.45 m，全過程摩擦生熱Q2mgcos (s1s2)12.25 J.(3)B與A第二次碰撞，兩者速度再次互換，此后A向左運動再返回與B碰撞，B沿傳送帶向上運動再次返回，每次碰后到再次碰前速率相等，重復(fù)這一過程直至兩者不再碰撞.則對A、B和彈簧組成的系統(tǒng)，從第二次碰撞后到不再碰撞：mv22n1mgL，解得第二次碰撞后重復(fù)的過程數(shù)為n2.25.所以碰撞總次數(shù)為N22n6.56次(取整數(shù)).