專(zhuān)題跟蹤檢測(cè)（十一） 立體幾何中的向量方法1(2018·全國(guó)卷)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐M­ABC體積最大時(shí)，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值解：(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，所以BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因?yàn)镈M平面AMD，所以平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz.當(dāng)三棱錐M­ABC的體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn)由題設(shè)得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2，1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)，設(shè)n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1,0,2)，又是平面MCD的一個(gè)法向量，所以cosn，sinn，.所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值是.2.(2018·唐山模擬)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD，E是PB的中點(diǎn)(1)求證：平面EAC平面PBC；(2)若二面角P­AC­E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)镻C平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC.因?yàn)锳B2AD2CD，所以ACBCADCD，所以AC2BC2AB2，故ACBC.又BCPCC，所以AC平面PBC.因?yàn)锳C平面EAC，所以平面EAC平面PBC.(2)如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)CB2，CP2a(a0)則C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)，P(0,0，2a)，則E(1,0，a)，(0,2,0)，(0,0,2a)， (1,0，a)，易知m(1,0,0)為平面PAC的一個(gè)法向量設(shè)n(x，y，z)為平面EAC的法向量，則即取xa，則z1，n(a,0，1)依題意，|cosm，n|，解得a.于是n(，0，1)，(0,2，2)設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則sin |cos，n|.即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.3(2018·西安質(zhì)檢)如圖，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，AB2，AA13.(1)證明：平面A1CO平面BB1D1D；(2)若BAD60°，求二面角B­OB1­C的余弦值解：(1)證明：A1O平面ABCD，BD平面ABCD.A1OBD.四邊形ABCD是菱形，COBD.A1OCOO，BD平面A1CO.BD平面BB1D1D，平面A1CO平面BB1D1D.(2)A1O平面ABCD，COBD，OB，OC，OA1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B2，AA13，BAD60°，OBOD1，OAOC，OA1.則O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)，(1，)，(0，0)設(shè)平面OBB1的法向量為n(x1，y1，z1)，則即令y1，得n(0，1)是平面OBB1的一個(gè)法向量設(shè)平面OCB1的法向量m(x2，y2，z2)，則即令z21，得m(，0，1)為平面OCB1的一個(gè)法向量，cosn，m，由圖可知二面角B­OB1­C是銳二面角，二面角B­OB1­C的余弦值為.4(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面ACE；(2)設(shè)PA1，ABC60°，三棱錐E­ACD的體積為，求二面角D­AE­C的余弦值解：(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE.在PBD中，PEDE，BODO，所以PBOE.又PB平面ACE，OE平面ACE，所以PB平面ACE.(2)由題易知VP­ABCD2VP­ACD4VE­ACD，設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則VP­ABCDSABCD·PA××1，解得a.取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，則AMAD.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，E，C，設(shè)n1(x，y，z)為平面AEC的法向量，則即取x1，則n1(1，3)為平面AEC的一個(gè)法向量又易知平面AED的一個(gè)法向量為n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，由圖易知二面角D­AE­C為銳二面角，所以二面角D­AE­C的余弦值為.5.(2018·鄭州質(zhì)檢)如圖，在三棱錐P­ABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且AD2DB，CE2EB，PDAC.(1)求證：PD平面ABC；(2)若直線PA與平面ABC所成的角為45°，求平面PAC與平面PDE所成銳二面角的大小解：(1)證明：AC2，BC2，AB6，AC2BC2AB2，ACB90°，cosABC.易知BD2，CD222(2)22×2×2cosABC8，CD2，易知AD4，CD2AD2AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB兩兩互相垂直，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，直線PA與平面ABC所成的角為45°，即PAD45°，PDAD4，則A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，(2，2,0)，(2，4,0)，(0，4，4)AD2DB，CE2EB，DEAC.由(1)知ACBC，DEBC，又PD平面ABC，PDBC，PDDED，CB平面PDE，(2，2,0)為平面PDE的一個(gè)法向量設(shè)平面PAC的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得x，y1，n(，1,1)為平面PAC的一個(gè)法向量cosn，平面PAC與平面PDE所成的銳二面角的余弦值為，故平面PAC與平面PDE所成的銳二面角為30°.6(2019屆高三·洛陽(yáng)聯(lián)考)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體(1)求證：AB平面ADC；(2)若AD1，二面角C­AB­D的平面角的正切值為，求二面角B­AD­E的余弦值解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDDC，所以DC平面ABD.因?yàn)锳B平面ABD，所以DCAB.又因?yàn)锳DAB，DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知AB平面ADC，所以二面角C­AB­D的平面角為CAD.又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD.依題意tanCAD.因?yàn)锳D1，所以CD.設(shè)ABx(x0)，則BD.依題意ABDDCB，所以，即.解得x，故AB，BD，BC3.法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則D(0,0，0)，B(，0,0)，C(0，0)，E，A，所以，.由(1)知平面BAD的一個(gè)法向量n(0,1,0)設(shè)平面ADE的法向量為m(x，y，z)，則即令x，得y1，z1，所以m(，1，1)為平面ADE的一個(gè)法向量所以cosn，m.由圖可知二面角B­AD­E的平面角為銳角，所以二面角B­AD­E的余弦值為.法二：因?yàn)镈C平面ABD，所以過(guò)點(diǎn)E作EFDC交BD于F，則EF平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以EFAD.過(guò)點(diǎn)F作FGAD于G，連接GE，所以AD平面EFG，因此ADGE，所以二面角B­AD­E的平面角為EGF.由平面幾何的知識(shí)求得EFCD，F(xiàn)GAB，所以EG，所以cosEGF.所以二面角B­AD­E的余弦值為.7.如圖，在四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，ABC45°，ADAP2，ABDP2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PB上(1)求證：ADPC；(2)試確定點(diǎn)F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等解：(1)證明：連接AC，因?yàn)锳B2，BC2，ABC45°，由余弦定理得，AC2AB2BC22·AB·BC·cos 45°4，得AC2，所以AC2BC2AB2，所以ACB90°，即BCAC.又ADBC，所以ADAC，因?yàn)锳DAP2，DP2，所以AD2AP2DP2，所以PAD90°，即PAAD，又APACA，所以AD平面PAC.又PC平面PAC，所以ADPC.(2)因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，側(cè)面PAD底面ABCDAD，PAAD，所以PA底面ABCD，所以直線AC，AD，AP兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,1,0)，P(0,0,2)，所以(0,2，2)，(2,0，2)，(2,2，2)設(shè)(0,1)，則(2，2，2)，F(xiàn)(2，2，22)，所以(21,21，22)，易得平面ABCD的一個(gè)法向量為m(0,0,1)設(shè)平面PDC的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，得n(1，1，1)因?yàn)橹本€EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，即|1|(0,1)，解得，所以.即當(dāng)時(shí)，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等8. 如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC平面ABC，PAPCAC2，BC4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.(1)證明：直線l平面PAC；(2)在直線l上是否存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF，直線EF所成的角互余？若存在，求出AQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，BCEF，又EF平面EFA，BC平面EFA，BC平面EFA，又BC平面ABC，平面EFA平面ABCl，BCl，又BCAC，平面PAC平面ABCAC，平面PAC平面ABC，BC平面PAC，l平面PAC.(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過(guò)C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0，0)，A(2，0,0)，B(0,4,0)，P(1,0，)，E，F(xiàn).，(0,2,0)，設(shè)Q(2，y,0)，平面AEF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則即取z，得m(1,0，)又(1，y，)，|cos，|，|cos，m|，依題意，得|cos，|cos，m，y±1.直線l上存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF，直線EF所成的角互余，AQ的長(zhǎng)為1.