專題檢測(cè)（十三） 立體幾何中的向量方法A組大題考點(diǎn)落實(shí)練1.如圖，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，A1AAB2，ABC60°，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(diǎn)(1)求異面直線EF，AD所成角的余弦值；(2)點(diǎn)M在線段A1D上，若CM平面AEF，求實(shí)數(shù)的值解：(1)因?yàn)锳1A平面ABCD，AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1AAE，A1AAD.在菱形ABCD中，ABC60°，連接AC，則ABC是等邊三角形因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以BCAE.因?yàn)锽CAD，所以AEAD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AA1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0，0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(，0,0)，F(xiàn)，(0,2,0)，所以cos，所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為.(2)設(shè)M(x，y，z)，由于點(diǎn)M在線段A1D上，且，所以，則(x，y，z2)(0,2，2)解得M(0,2，22)，所以(，21,22)設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n(x0，y0，z0)因?yàn)?，0,0)，所以即取y02，得z01，則平面AEF的一個(gè)法向量為n(0,2，1)由于CM平面AEF，則n·0，即2(21)(22)0，解得.2.(2019屆高三·河北三市聯(lián)考)如圖，三棱柱ADE­BCG中，四邊形ABCD是矩形，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，EAAB，ADAEEF1，平面ABGE平面ABCD.(1)求證：AF平面FBC；(2)求二面角B­FC­D的正弦值解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，BCAB，又平面ABGE平面ABCD，BC平面ABGE，AF平面ABGE，BCAF.在AFB中，AFBF，AB2，AF2BF2AB2，即AFBF，又BFBCB，AF平面FBC.(2)分別以AD，AB，AE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，E(0,0,1)，B(0,2,0)，F(xiàn)(0,1,1)，(1,0,1)，(0,2,0)，設(shè)n1(x，y，z)為平面CDEF的法向量，則即令x1，得z1，即n1(1,0,1)為平面CDEF的一個(gè)法向量，取n2(0,1,1)為平面BCF的一個(gè)法向量，cosn1，n2，二面角B­FC­D的正弦值為.3如圖，在四棱錐E­ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中CDAB，BCAB，側(cè)面ABE平面ABCD，且ABAEBE2BC2CD2，動(dòng)點(diǎn)F在棱AE上，且EFFA.(1)試探究的值，使CE平面BDF，并給予證明；(2)當(dāng)1時(shí)，求直線CE與平面BDF所成角的正弦值解：(1)當(dāng)時(shí)，CE平面BDF.證明如下：連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GF，CDAB，AB2CD，EFFA，GFCE，又CE平面BDF，GF平面BDF，CE平面BDF.(2)取AB的中點(diǎn)O，連接EO，則EOAB，平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCDAB，EO平面ABCD，連接DO，BOCD，且BOCD1，四邊形BODC為平行四邊形，BCDO，又BCAB，ABOD，則OD，OA，OE兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OA，OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，1,0)，D(1,0,0)，C(1，1，0)，E(0,0，)當(dāng)1時(shí)，有，F(xiàn)，(1,1,0)，(1,1，)設(shè)平面BDF的法向量為n(x，y，z)，則即令z，得y1，x1，則n(1，1，)為平面BDF的一個(gè)法向量，設(shè)直線CE與平面BDF所成的角為，則sin |cos，n|，故直線CE與平面BDF所成角的正弦值為.4(2018·成都一診)如圖，在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，AC6，現(xiàn)沿對(duì)角線AC把ADC翻折到APC的位置得到四面體P­ABC，如圖所示已知PB4.(1)求證：平面PAC平面ABC；(2)若Q是線段AP上的點(diǎn)，且，求二面角Q­BC­A的余弦值解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO.四邊形ABCD是菱形，PAPC，POAC.DC5，AC6，OC3，POOB4，PB4，PO2OB2PB2，POOB.OBACO，PO平面ABC.PO平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)ABBC，BOAC.故OB，OC，OP兩兩垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­xyz.則B(4,0,0)，C(0,3,0)，P(0,0,4)，A(0，3,0)設(shè)點(diǎn)Q(x，y，z)由，得Q.(4,3,0)，.設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面BCQ的法向量，由得取x13，則n1(3,4,15)取平面ABC的一個(gè)法向量n2(0,0,1)cosn1，n2，二面角Q­BC­A為銳角，二面角Q­BC­A的余弦值為.B組大題專攻補(bǔ)短練1.在三棱錐P­ABC中，PAPBPC2，BC1，AC，ACBC.(1)求點(diǎn)B到平面PAC的距離(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值解：(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過(guò)C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，DC，因?yàn)锳CB為直角三角形且AC，BC1，所以AB2，所以PAB為正三角形，所以PDAB且PD.在PDC中，PC2，PD，DC1，所以PC2PD2DC2，所以PDDC，又ABDCD，所以PD平面ABC.則A(，0,0)，B(0,1,0)，D，P，C(0,0,0)，(，0,0)，(0,1,0)，設(shè)平面PAC的法向量n(x，y，z)，則即取y2，得n(0,2，1)為平面PAC的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)B到平面PAC的距離d.(2)因?yàn)椋?0，1,0)，設(shè)異面直線PA與BC所成角為，則cos .所以異面直線PA與BC所成角的余弦值為.2.已知四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是梯形，BCAD，ABAD，且ABBC1，AD2，頂點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影H在AD上，PAPD.(1)求證：平面PAB平面PAD；(2)若直線AC與PD所成角為60°，求二面角A­PC­D的余弦值解：(1)證明：PH平面ABCD，AB平面ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD平面PAD，PH平面PAD，AB平面PAD.又AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，PH平面ABCD，z軸PH.則A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，設(shè)AHa，PHh(0<a<2，h>0)則P(0，a，h)(0，a，h)，(0，a2，h)，(1,1,0)PAPD，·a(a2)h20.AC與PD所成角為60°，|cos，|，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0<a<2，a1.h>0，h1，P(0,1,1)(0,1,1)，(1,1,0)，(1,0，1)，(1，1,0)，設(shè)平面APC的法向量為n(x1，y1，z1)，則即令x11，得y11，z11，平面APC的一個(gè)法向量為n(1，1,1)，設(shè)平面DPC的法向量為m(x2，y2，z2)則即令x21，得y21，z21，平面DPC的一個(gè)法向量為m(1,1,1)cosm，n.二面角A­PC­D的平面角為鈍角，二面角A­PC­D的余弦值為.3(2018·西安質(zhì)檢)如圖，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，AB2，AA13.(1)證明：平面A1CO平面BB1D1D；(2)若BAD60°，求二面角B­OB1­C的余弦值解：(1)證明：A1O平面ABCD，BD平面ABCD.A1OBD.四邊形ABCD是菱形，COBD.A1OCOO，BD平面A1CO.BD平面BB1D1D，平面A1CO平面BB1D1D.(2)A1O平面ABCD，COBD，OB，OC，OA1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B2，AA13，BAD60°，OBOD1，OAOC，OA1.則O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)，(1，)，(0，0)設(shè)平面OBB1的法向量為n(x1，y1，z1)，則即令y1，得n(0，1)是平面OBB1的一個(gè)法向量設(shè)平面OCB1的法向量m(x2，y2，z2)，則即令z21，得m(，0，1)為平面OCB1的一個(gè)法向量，cosn，m，由圖可知二面角B­OB1­C是銳二面角，二面角B­OB1­C的余弦值為.4(2018·濰坊統(tǒng)考)在平行四邊形PABC中，PA4，PC2，P45°，D是PA的中點(diǎn)(如圖1)將PCD沿CD折起到圖2中P1CD的位置，得到四棱錐P1­ABCD.(1)將PCD沿CD折起的過(guò)程中，CD平面P1DA是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論(2)若P1D與平面ABCD所成的角為60°，且P1DA為銳角三角形，求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值解：(1)將PCD沿CD折起過(guò)程中，CD平面P1DA成立證明如下：D是PA的中點(diǎn)，PA4，DPDA2，在PDC中，由余弦定理得，CD2PC2PD22PC·PD·cos 45°842×2×2×4，CD2PD，CD2DP28PC2，PDC為等腰直角三角形且CDPA，CDDA，CDP1D，P1DADD，CD平面P1DA.(2)由(1)知CD平面P1DA，CD平面ABCD，平面P1DA平面ABCD，P1DA為銳角三角形，P1在平面ABCD內(nèi)的射影必在棱AD上，記為O，連接P1O，P1O平面ABCD，則P1DA是P1D與平面ABCD所成的角，P1DA60°，DP1DA2，P1DA為等邊三角形，O為AD的中點(diǎn)，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O且與CD平行的直線為x軸，DA所在直線為y軸，OP1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)x軸與BC交于點(diǎn)M，DAP1A2，OP1，易知ODOACM1，BM3，則P1(0,0，)，D(0，1,0)，C(2，1,0)，B(2,3,0)，(2,0,0)，(0，4,0)，(2，1，)，CD平面P1DA，可取平面P1DA的一個(gè)法向量n1(1,0,0)，設(shè)平面P1BC的法向量n2(x2，y2，z2)，則即令z21，則n2，設(shè)平面P1AD和平面P1BC所成的角為，由圖易知為銳角，cos |cosn1，n2|.平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值為.