專題跟蹤檢測（四） “導(dǎo)數(shù)與不等式”考法面面觀1(2019屆高三·唐山模擬)已知f(x)x2a2ln x，a>0.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當(dāng)x>2a時，證明：>a.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)x.當(dāng)x(0，a)時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xa時，f(x)取得極小值，也是最小值，且f(a)a2a2ln a.(2)證明：由(1)知，f(x)在(2a，)上單調(diào)遞增，則所證不等式等價于f(x)f(2a)a(x2a)>0.設(shè)g(x)f(x)f(2a)a(x2a)，則當(dāng)x>2a時，g(x)f(x)axa>0，所以g(x)在(2a，)上單調(diào)遞增，當(dāng)x>2a時，g(x)>g(2a)0，即f(x)f(2a)a(x2a)>0，故>a.2已知函數(shù)f(x)xex2xaln x，曲線yf(x)在點P(1，f(1)處的切線與直線x2y10垂直(1)求實數(shù)a的值；(2)求證：f(x)>x22.解：(1)因為f(x)(x1)ex2，所以曲線yf(x)在點P(1，f(1)處的切線斜率kf(1)2e2a.而直線x2y10的斜率為，由題意可得(2e2a)×1，解得a2e.(2)證明：由(1)知，f(x)xex2x2eln x.不等式f(x)>x22可化為xex2x2eln xx22>0.設(shè)g(x)xex2x2eln xx22，則g(x)(x1)ex22x.記h(x)(x1)ex22x(x>0)，則h(x)(x2)ex2，因為x>0，所以x2>2，ex>1，故(x2)ex>2，又>0，所以h(x)(x2)ex2>0，所以函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增又h(1)2e22e20，所以當(dāng)x(0,1)時，h(x)<0，即g(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時，h(x)>0，即g(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增所以g(x)g(1)e22eln 112e1，顯然e1>0，所以g(x)>0，即xex2x2eln x>x22，也就是f(x)>x22.3(2018·武漢模擬)設(shè)函數(shù)f(x)(1xx2)ex(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時，f(x)ax12x2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)(2xx2)ex(x2)(x1)ex.當(dāng)x<2或x>1時，f(x)<0；當(dāng)2<x<1時，f(x)>0.所以f(x)在(，2)，(1，)上單調(diào)遞減，在(2,1)上單調(diào)遞增(2)設(shè)F(x)f(x)(ax12x2)，F(xiàn)(0)0，F(xiàn)(x)(2xx2)ex4xa，F(xiàn)(0)2a，當(dāng)a2時，F(xiàn)(x)(2xx2)ex4xa(x2)·(x1)ex4x2(x2)(x1)exx2(x2)(x1)ex1，設(shè)h(x)(x1)ex1，h(x)xex0，所以h(x)在0，)上單調(diào)遞增，h(x)(x1)ex1h(0)0，即F(x)0在0，)上恒成立，F(xiàn)(x)在0，)上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)F(0)0，所以f(x)ax12x2在0，)上恒成立當(dāng)a<2時，F(xiàn)(0)2a>0，而函數(shù)F(x)的圖象在(0，)上連續(xù)且x，F(xiàn)(x)逐漸趨近負(fù)無窮，必存在正實數(shù)x0使得F(x0)0且在(0，x0)上F(x)>0，所以F(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，此時F(x)>F(0)0，f(x)>ax12x2有解，不滿足題意綜上，a的取值范圍是2，)4(2018·南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)2ln xmx21.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有極值時，若存在x0，使得f(x0)>m1成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2mx，當(dāng)m0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m>0時，令f(x)>0，得0<x<，令f(x)<0，得x>，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當(dāng)f(x)有極值時，m>0，且f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減f(x)maxf2lnm·1ln m，若存在x0，使得f(x0)>m1成立，則f(x)max>m1.即ln m>m1，ln mm1<0成立令g(x)xln x1(x>0)，g(x)1>0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)0，0<m<1.實數(shù)m的取值范圍是(0,1)5(2018·成都模擬)已知函數(shù)f(x)aln xxb(a0)(1)當(dāng)b2時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)ab0，b>0時，對任意的x，恒有f(x)e1成立，求實數(shù)b的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)當(dāng)b2時，f(x)aln xx2，所以f(x)2x.當(dāng)a>0時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a<0時，令f(x)0，解得x (負(fù)值舍去)，當(dāng)0<x< 時，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x>時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)b2，a>0時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)b2，a<0時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)因為對任意的x，恒有f(x)e1成立，所以當(dāng)x時，f(x)maxe1.當(dāng)ab0，b>0時，f(x)bln xxb，f(x)bxb1.令f(x)<0，得0<x<1；令f(x)>0，得x>1.所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在(1，e上單調(diào)遞增，f(x)max為fbeb與f(e)beb中的較大者f(e)febeb2b.令g(m)emem2m(m>0)，則當(dāng)m>0時，g(m)emem2>220，所以g(m)在(0，)上單調(diào)遞增，故g(m)>g(0)0，所以f(e)>f，從而f(x)maxf(e)beb所以bebe1，即ebbe10.設(shè)(t)ette1(t>0)，則(t)et1>0，所以(t)在(0，)上單調(diào)遞增又(1)0，所以ebbe10的解集為(0,1所以b的取值范圍為(0,16(2018·開封模擬)已知函數(shù)f(x)axx2xln a(a>0，a1)(1)當(dāng)ae(e是自然對數(shù)的底數(shù))時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.當(dāng)ae時，f(x)2xex1，其在R上是增函數(shù)，又f(0)0，f(x)>0的解集為(0，)，f(x)<0的解集為(，0)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)(2)存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，又當(dāng)x1，x21,1時，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，只要f(x)maxf(x)mine1即可當(dāng)a>1時，ln a>0，y(ax1)ln a在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，ln a<0，y(ax1)ln a在R上也是增函數(shù)，當(dāng)a>1或0<a<1時，總有f(x)在R上是增函數(shù)，又f(0)0，f(x)，f(x)隨x的變化而變化的情況如表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1當(dāng)x1,1時，f(x)minf(0)1，f(x)max為f(1)和f(1)中的較大者f(1)f(1)(a1ln a)a2ln a.令g(a)a2ln a(a>0)，g(a)120，g(a)a2ln a在(0，)上是增函數(shù)而g(1)0，故當(dāng)a>1時，g(a)>0，即f(1)>f(1)；當(dāng)0<a<1時，g(a)<0，即f(1)<f(1)當(dāng)a>1時，f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1，即aln ae1，函數(shù)yaln a在(1，)上是增函數(shù)，解得ae；當(dāng)0<a<1時，f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1，即ln ae1，函數(shù)yln a在(0,1)上是減函數(shù)，解得0<a.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為e，)