專題檢測（十四） 直線與圓A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選C因?yàn)閮芍本€平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又當(dāng)a1，b4時(shí)，滿足ab4，但是兩直線重合，故選C.2已知直線l1過點(diǎn)(2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析：選C直線l1的斜率k1tan 30°，因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2，所以直線l1的方程為y(x2)，直線l2的方程為y(x2)，聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)3已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離解析：選B圓M：x2y22ay0(a>0)可化為x2(ya)2a2，由題意，M(0，a)到直線xy0的距離d，所以a22，解得a2.所以圓M：x2(y2)24，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交4(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析：選A設(shè)圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2,0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得|AB|2，所以ABP面積的最大值為|AB|·dmax6，ABP面積的最小值為|AB|·dmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2,65已知圓O：x2y24上到直線l：xya的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(3，3)B(，3)(3，)C(2，2)D3，3 解析：選A由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因?yàn)閳AO上到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離d<r121，即d<3，解得a (3，3)6在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線xky10與圓C：x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k的值為()A2 B1C0 D1解析：選C法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，則4k212(k21)>0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因?yàn)?，故M，又點(diǎn)M在圓C上，故4，解得k0.法二：由直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0,0)到直線xky10的距離為半徑的一半，為1，即d1，解得k0.二、填空題7已知直線l：xmy30與圓C：x2y24相切，則m_.解析：因?yàn)閳AC：x2y24的圓心為(0,0)，半徑為2，直線l：xmy30與圓C： x2y24相切，所以2，解得m± .答案：±8過點(diǎn)C(3,4)作圓x2y25的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)C到直線AB的距離為_解析：以O(shè)C為直徑的圓的方程為2(y2)22，AB為圓C與圓O：x2y25的公共弦，所以AB的方程為x2y25，化簡得3x4y50，所以C到直線AB的距離d4.答案：49(2018·貴陽適應(yīng)性考試)已知直線l：ax3y120與圓M：x2y24y0相交于A，B兩點(diǎn)，且AMB，則實(shí)數(shù)a_.解析：直線l的方程可變形為yax4，所以直線l過定點(diǎn)(0,4)，且該點(diǎn)在圓M上圓的方程可變形為x2(y2)24，所以圓心為M(0，2)，半徑為2.如圖，因?yàn)锳MB，所以AMB是等邊三角形，且邊長為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以，解得a±.答案：±三、解答題10已知圓(x1)2y225，直線axy50與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若弦AB的垂直平分線l過點(diǎn)P(2,4)，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)把直線axy50代入圓的方程，消去y整理，得(a21)x22(5a1)x10，由于直線axy50交圓于A，B兩點(diǎn)，故4(5a1)24(a21)>0，即12a25a>0，解得a>或a<0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，0).(2)由于直線l為弦AB的垂直平分線，且直線AB的斜率為a，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為y(x2)4，即xay24a0，由于l垂直平分弦AB，故圓心M(1,0)必在l上，所以1024a0，解得a，由于，所以a.11已知以點(diǎn)A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|2時(shí)，求直線l的方程解：(1)設(shè)圓A的半徑為R.因?yàn)閳AA與直線l1：x2y70相切，所以R2.所以圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.由于|MN|2，于是2()220，解得k，此時(shí)，直線l的方程為3x4y60.所以所求直線l的方程為x2或3x4y60.12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線xy10截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為.(1)求圓O的方程；(2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D，E，當(dāng)線段DE的長度最小時(shí)，求直線l的方程解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)O到直線xy10的距離為，所以圓O的半徑為 ，故圓O的方程為x2y22.(2)設(shè)直線l的方程為1(a>0，b>0)，即bxayab0，由直線l與圓O相切，得，即，則|DE|2a2b22(a2b2)48，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為xy20.B組大題專攻補(bǔ)短練1已知點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的 倍(1)求曲線E的方程；(2)已知m0，設(shè)直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點(diǎn)當(dāng)CD的斜率為1時(shí)，求直線CD的方程解：(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得 ·，整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求(2)由題意知l1l2，且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1，0)設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：yx2.設(shè)直線CD：yxt，由解得點(diǎn)P，由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|CD| ，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，所以223，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直線CD的方程為yx或yx3.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心 在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解：(1)因?yàn)閳A心在直線l：y2x4上，也在直線yx1上，所以解方程組得圓心C(3,2)，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以圓的方程為(x3)2(y2)21，又因?yàn)辄c(diǎn)A(0,3)，顯然過點(diǎn)A，圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求的切線方程為ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切線方程為y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l：y2x4上，所以設(shè)圓心C為(a,2a4)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，則圓C的方程為(xa)2(y2a4)21.設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|2|MO|，則有2，整理得x2(y1)24，其表示圓心為(0，1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D，所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)，所以21 21，解得0a，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.3在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值解：(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2mx20，所以x1x22.又C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況(2)證明：由(1)知BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線方程為x.聯(lián)立可得所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長為23，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值4(2018·廣州高中綜合測試)已知定點(diǎn)M(1,0)和N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|PM|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當(dāng)k1k23時(shí)，求k的取值范圍解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镸(1,0)，N(2,0)，|PN|PM|，所以 ·.整理得，x2y22.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2y22.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxb.由消去y，整理得(1k2)x22bkxb220.(*)由(2bk)24(1k2)(b22)>0，得b2<22k2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.由k1·k2··3，得(kx1b)(kx2b)3x1x2，即(k23)x1x2bk(x1x2)b20.將代入，整理得b23k2.由得b23k20，解得k.由和，解得k<或k>.要使k1，k2，k有意義，則x10，x20，所以0不是方程(*)的根，所以b220，即k1且k1.由，得k的取值范圍為，1)(1，