“212”壓軸滿分練(三)1已知函數(shù)f(x)2kln xkx，若x2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.B C(0,2 D2，)解析：選A由題意可得f(x)，x>0，令f(x)0，得x2或exkx2(x>0)，由x2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)知exkx2(x>0)恒成立或exkx2(x>0)恒成立，由yex(x>0)和ykx2(x>0)的圖象可知，只能是exkx2(x>0)恒成立法一：由x>0知，exkx2，則k，設(shè)g(x)，則kg(x)min.由g(x)，得當(dāng)x>2時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)ming(2)，所以k.法二：exkx2(x>0)恒成立，則yex(x>0)的圖象在ykx2(x>0)的圖象的上方(含相切)，若k0，易知滿足題意；若k>0，設(shè)yex(x>0)與ykx2(x>0)的圖象在點(diǎn)(x0，y0)處有相同的切線，則解得數(shù)形結(jié)合可知，0<k.綜上，k的取值范圍是(，0.2定義“有增有減”數(shù)列an如下：tN*，at<at1，且sN*，as>as1.已知“有增有減”數(shù)列an共4項(xiàng)，若aix，y，z(i1,2,3,4)，且x<y<z，則數(shù)列an共有()A64個(gè) B57個(gè)C56個(gè) D54個(gè)解析：選D法一：不妨設(shè)x1，y2，z3，則ai1,2,3(i1,2,3,4)，所以ai1或2或3.考慮反面，即數(shù)列an不是“有增有減”數(shù)列，此時(shí)有三種情況：常數(shù)數(shù)列、不增數(shù)列(a1a2a3a4，且等號不同時(shí)成立)及不減數(shù)列(a1a2a3a4，且等號不同時(shí)成立)常數(shù)數(shù)列，有1,1,1,1；2,2,2,2；3,3,3,3，共3個(gè)不減數(shù)列，含1,2,3中的任意兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)，若含兩個(gè)數(shù)，則有C3種情況，以含有1,2為例，不減數(shù)列有1,1,1,2；1,1,2,2；1,2,2,2，共3個(gè)，所以含兩個(gè)數(shù)的不減數(shù)列共有3×39個(gè)若含三個(gè)數(shù)，則不減數(shù)列有1,1,2,3；1,2,3,3；1,2,2,3，共3個(gè)所以不減數(shù)列共有9312個(gè)不增數(shù)列，同理，共有12個(gè)綜上，數(shù)列an不是“有增有減”數(shù)列共有312×227個(gè)所以，數(shù)列an是“有增有減”數(shù)列共有342754個(gè)法二：根據(jù)題設(shè)“有增有減”數(shù)列的定義，數(shù)列an共有兩類第一類：數(shù)列an的4項(xiàng)只含有x，y，z中的兩個(gè)，則有C3種情況，以只含x，y為例，滿足條件的數(shù)列an有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8個(gè)，所以此類共有3×824個(gè)第二類：數(shù)列an的4項(xiàng)含有x，y，z中的三個(gè)，必有兩項(xiàng)是同一個(gè)，有C3種情況，以兩項(xiàng)是x，另兩項(xiàng)分別為y，z為例，滿足條件的數(shù)列an有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10個(gè)，所以此類共有3×1030個(gè)綜上，數(shù)列an共有243054個(gè)3如圖，等腰三角形PAB所在平面為，PAPB，AB4，C，D分別為PA，AB的中點(diǎn)，G為CD的中點(diǎn)平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)G的直線l將PAB分成兩部分，把點(diǎn)P所在的部分沿直線l翻折，使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P(P平面)若點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好在翻折前的線段AB上，則線段PH的長度的取值范圍是_解析：在等腰三角形PAB中，PAPB，AB4，PAPB2.C，D分別為PA，AB的中點(diǎn)，PCCD且PCCD.連接PG，PG，G為CD的中點(diǎn)，PGPG.連接HG，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好在翻折前的線段AB上，PH平面，PHHG，HGPG.易知點(diǎn)G到線段AB的距離為，HG，HG.又PH，0PH.答案：4設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知以F為圓心，半徑為4的圓與l交于A，B兩點(diǎn)，E是該圓與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)，EAB90°.(1)求p的值；(2)已知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1且在拋物線C上，Q，R是拋物線C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，且滿足直線PQ和直線PR的斜率之和為1，試問直線QR是否經(jīng)過一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由解：(1)連接AF，EF，由題意及拋物線的定義，得|AF|EF|AE|4，即AEF是邊長為4的正三角形，所以FAE60°，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)D，在RtADF中，F(xiàn)AD30°，所以p|DF|AF|×42.(2)由題意知直線QR的斜率不為0，設(shè)直線QR的方程為xmyt，點(diǎn)Q(x1，y1)，R(x2，y2)由得y24my4t0，則16m216t>0，y1y24m，y1·y24t.又點(diǎn)P，Q在拋物線C上，所以kPQ，同理可得kPR.因?yàn)閗PQkPR1，所以1，則t3m.由解得m(1，)，所以直線QR的方程為xm(y3)，則直線QR過定點(diǎn).5已知函數(shù)f(x)e2x(x3ax4xcos x1)，g(x)exm(x1)(1)當(dāng)m1時(shí)，求函數(shù)g(x)的極值；(2)若a，證明：當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>x1.解：(1)由題意可知g(x)exm，當(dāng)m1時(shí)，由g(x)0得xln m，由x>ln m得g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；由x<ln m得g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)g(x)只有極小值，且極小值為g(ln m)mm(ln m1)mln m.(2)證明：當(dāng)x(0,1)時(shí)，要證f(x)>x1，即證x3ax4xcos x1>.由(1)得，當(dāng)m1時(shí)，g(x)ex(x1)0，即exx1，所以e2x(x1)2，所以<，x(0,1)，x3ax4xcos x1>x3ax4xcos x1x3ax4xcos xx，令h(x)x24cos xa，則h(x)2x4sin x，令I(lǐng)(x)2x4sin x，則I(x)24cos x2(12cos x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，cos x>cos 1>cos，所以12cos x<0，所以I(x)<0，所以I(x)在(0,1)上為減函數(shù)，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，I(x)<I(0)0，h(x)<0，所以h(x)在(0,1)上為減函數(shù)，因此，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)>h(1)a4cos 1，因?yàn)?cos 1>4cos2，而a，所以a4cos 1>0，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)>0，所以x3ax4xcos x1>成立，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>x1成立