“212”壓軸滿分練(一)1過(guò)拋物線yx2的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線y1上，若ABC為正三角形，則其邊長(zhǎng)為()A11B12C13 D14解析：選B由題意可知，焦點(diǎn)F(0,1)，易知過(guò)焦點(diǎn)F的直線的斜率存在且不為零，設(shè)為k(k0)，則該直線方程為ykx1(k0)，聯(lián)立方程得x24(kx1)，即x24kx40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24k，x1x24，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M(2k，2k21)，|AB|4(1k2)，設(shè)C(m，1)，連接MC，ABC為等邊三角形，kMC，m2k34k，點(diǎn)C(m，1)到直線ykx1的距離|MC|AB|，×4(1k2)，2(1k2)，k±，|AB|4(1k2)12.2已知函數(shù)f(x)2sin(x)(>0,0<<)，f ，f 0，且f(x)在(0，)上單調(diào)下列說(shuō)法正確的是()ABf C函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增D函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱解析：選C由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T，因?yàn)閒(x)在(0，)上單調(diào)，所以，得0<1.因?yàn)閒 ，f 0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又0<<，0<1，所以解得所以f(x)2sin.選項(xiàng)A顯然不正確因?yàn)閒 2sin×2sin，所以B不正確因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，0x，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，故C正確因?yàn)閒 2sin2sin0，所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心，故D不正確3已知函數(shù)f(x)，g(x)，若函數(shù)yf(g(x)a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3(其中x1<x2<x3)，則2g(x1)g(x2)g(x3)的取值范圍為_解析：g(x)，g(x).當(dāng)0<x<e時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減作出函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示，令g(x)t，由f(t)aa0，得關(guān)于t的一元二次方程t2(a1)t1a0，又f(g(x)a0有三個(gè)根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，結(jié)合g(x)的圖象可知關(guān)于t的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)為t1，t2，且t1<t2，則0<t1<，t2或t1<0<t2<，t1t21a，由(a1)24(1a)>0，得1a<0或1a>4.當(dāng)0<t1<，t2時(shí)，0<t1t2<4，不符合題意，舍去t1<0<t2<，g(x1)t1，g(x2)g(x3)t2，2g(x1)g(x2)g(x3)2t12t22(t1t2)2(1a)令1a，(t)t2(a1)t1at2t，由t1<0<t2<可知，即解得<<0.綜上，2g(x1)g(x2)g(x3)的取值范圍為.答案：4已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)F1MF290°時(shí)，F(xiàn)1MF2的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)已知A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)AF1，AF2，分別與橢圓交于點(diǎn)B，D，設(shè)直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：k1·k2為定值解：(1)設(shè)|MF1|r1，|MF2|r2，由題意，得a，c1，則b2a2c21，橢圓C的方程為y21.(2)證明：易知直線AF1，AF2的斜率均不為0.設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，當(dāng)直線AF1的斜率不存在時(shí)，不妨令A(yù)，則B，又F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，直線AF2的方程為y(x1)，將其代入y21，整理可得5x22x70，x2，y2，則D ，直線BD的斜率k1，直線OA的斜率k2，k1·k2×.當(dāng)直線AF2的斜率不存在時(shí)，同理可得k1·k2.當(dāng)直線AF1，AF2的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)A(x0，y0)，則x0y00，則直線AF1的方程為y(x1)，聯(lián)立，得消去y可得，(x01)22yx24yx2y2(x01)20，又y1，2y2x，(32x0)x22(2x)x3x4x00，x1·x0，x1，則y1，B .直線AF2的方程為y(x1)，同理可得D，直線BD的斜率k1，直線OA的斜率k2，k1·k2·.綜上，k1·k2為定值，且定值為.5.已知函數(shù)f(x)(xb)(exa)(b>0)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為(e1)xeye10.(1)求a，b；(2)若方程f(x)m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，證明：x2x11.解：(1)由題意得f(1)0，所以f(1)(1b)0，所以a或b1.又f(x)(xb1)exa，所以f(1)a1，若a，則b2e<0，與b>0矛盾，故a1，b1.(2)證明：由(1)可知f(x)(x1)(ex1)，f(0)0，f(1)0，設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為yh(x)，則h(x)(x1)，令F(x)f(x)h(x)，則F(x)(x1)(ex1)(x1)，F(xiàn)(x)(x2)ex，當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)(x2)ex<0，當(dāng)x>2時(shí)，設(shè)G(x)F(x)(x2)ex，則G(x)(x3)ex>0，故函數(shù)F(x)在(2，)上單調(diào)遞增，又F(1)0，所以當(dāng)x(，1)時(shí)，F(xiàn)(x)<0，當(dāng)x(1，)時(shí)，F(xiàn)(x)>0，所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，故F(x)F(1)0，所以f(x)h(x)，所以f(x1)h(x1)設(shè)h(x)m的根為x1，則x11，又函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，且h(x1)f(x1)h(x1)，所以x1x1，設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yt(x)，易得t(x)x，令T(x)f(x)t(x)(x1)(ex1)x，T(x)(x2)ex2，當(dāng)x2時(shí)，T(x)(x2)ex22<0，當(dāng)x>2時(shí)，設(shè)H(x)T(x)(x2)ex2，則H(x)(x3)ex>0，故函數(shù)T(x)在(2，)上單調(diào)遞增，又T(0)0，所以當(dāng)x(，0)時(shí)，T(x)<0，當(dāng)x(0，)時(shí)，T(x)>0，所以函數(shù)T(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，所以T(x)T(0)0，所以f(x)t(x)，所以f(x2)t(x2)設(shè)t(x)m的根為x2，則x2m，又函數(shù)t(x)單調(diào)遞增，且t(x2)f(x2)t(x2)，所以x2x2.又x1x1，所以x2x1x2x1m1.