第41練配方法與待定系數(shù)法題型分析·高考展望配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡如何配方，需要我們根據(jù)題目的要求，合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，完全配方配方法是數(shù)學(xué)中化歸思想應(yīng)用的重要方法之一待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解高考必會(huì)題型題型一配方法例1(1)設(shè)x2,8時(shí)，函數(shù)f(x)loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a1)的最大值是1，最小值是，則a的值是_(2)函數(shù)ycos 2x2sin x的最大值為_(3)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上取一點(diǎn)P，使·有最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_答案(1)(2)(3)(3,0)解析(1)由題意知f(x)(logax1)·(logax2)(logax)2.當(dāng)f(x)取最小值時(shí)，logax，又x2,8，a(0,1)f(x)是關(guān)于logax的二次函數(shù)，函數(shù)f(x)的最大值必在x2或x8處取得若(loga2)21，則a2，f(x)取得最小值時(shí)，x(2)2,8，舍去若(loga8)21，則a，f(x)取得最小值時(shí)，a.(2)ycos 2x2sin x12sin2x2sin x2(sin2xsin x)12(sin x)22×12(sin x)2.因?yàn)?sin x1，所以當(dāng)sin x時(shí)，y取最大值，最大值為.(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)，則(x2，2)，(x4，1)，·(x2)(x4)(2)×(1)x26x10(x3)21，當(dāng)x3時(shí)，·有最小值1，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0)點(diǎn)評配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方式(ab)2a22abb2，具體操作時(shí)通過加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配湊成完全平方式，注意要減去所添的項(xiàng)，最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題如：yx2bxcx22×x()2()2c(x)2，yax2bxca(x2x)cax22×x()2()2ca(x)2.變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)f(x)m的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)閍，b，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(2)已知函數(shù)ysin2xasin x的最大值為2，則a的值為_(3)已知向量a(2，2cos2)，b(m，sin )，其中，m，為實(shí)數(shù)，若a2b，則的取值范圍是_答案(1)<m2(2)2或(3)6,1解析(1)易知f(x)m在a，b上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)閍，b，所以即兩式相減得，ab(a3)(b3)()2()2，所以1，因?yàn)閍<b，所以0，而maa1，所以m(a3)2()2，又0，所以m2.(2)令tsin x，t1,1，所以y(t)2(a2a2)，對稱軸為t.當(dāng)11，即2a2時(shí)，ymax(a2a2)2，得a2或a3(舍去)當(dāng)>1，即a>2時(shí)，函數(shù)y(t)2(a2a2)在1,1上單調(diào)遞增，所以由ymax1aa2，得a.當(dāng)<1，即a<2時(shí)，函數(shù)y(t)2(a2a2)在1,1上單調(diào)遞減，所以由ymax1aa2，得a2(舍去)綜上，可得a2或a.(3)由題意知，2b(2m，m2sin )，所以22m，且2cos2m2sin ，于是222cos224sin ，即222sin24sin 42(sin 1)26，故2226，即解得2，則26,1題型二待定系數(shù)法例2(1)(2015·課標(biāo)全國)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab與a2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使ab(a2b)成立，即aba2b，則得解得.(2)已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·a4117，a2a522.(1)求通項(xiàng)an；(2)求Sn的最小值；(3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，且bn，求非零常數(shù)c.解(1)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以a3a4a2a522.又a3·a4117，所以a3，a4是方程x222x1170的兩實(shí)根，又公差d0，所以a3a4，所以a39，a413，所以所以所以通項(xiàng)an4n3.(2)由(1)知a11，d4，所以Snna1×d2n2n22.所以當(dāng)n1時(shí)，Sn最小，最小值為S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n，所以bn，所以b1，b2，b3.因?yàn)閿?shù)列bn是等差數(shù)列，所以2b2b1b3，即×2，所以2c2c0，所以c或c0(舍去)，經(jīng)驗(yàn)證c時(shí)，bn是等差數(shù)列，故c.點(diǎn)評使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題是含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決變式訓(xùn)練2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，它們滿足S42S28，b2，T2，且當(dāng)n4或5時(shí)，Sn取得最小值(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn(Sn)(Tn)，nN*，如果cn是單調(diào)數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，因?yàn)楫?dāng)n4或5時(shí)，Sn取得最小值，所以a50，所以a14d，所以an(n5)d，又由a3a4a1a28，得d2，a18，所以an2n10；由b2，T2得b1，所以q，所以bn.(2)由(1)得Snn29n，Tn，cn，當(dāng)cn為遞增數(shù)列時(shí)，cn<cn1，即>n210n4恒成立，當(dāng)cn為遞減數(shù)列時(shí)，cn>cn1，即<n210n4恒成立，<21，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為(，21)高考題型精練1數(shù)列an中，如果存在ak，使得ak>ak1且ak>ak1成立(其中k2，kN*)，則稱ak為數(shù)列an的峰值，若an3n215n18，則an的峰值為()A0 B4C.D.答案A解析因?yàn)閍n3(n)2，且nN*，所以當(dāng)n2或n3時(shí)，an取最大值，最大值為a2a30，故峰值為0.2若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為_答案32，)解析由條件知a21224，a23，雙曲線方程為y21，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x2，y)，y21，·x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P為右支上任意一點(diǎn))，·32.3已知a為正的常數(shù)，若不等式1對一切非負(fù)實(shí)數(shù)x恒成立，則a的最大值為_答案8解析原不等式即1，(*)令t，t1，則xt21，所以(*)即1t對t1恒成立，所以對t1恒成立，又a為正的常數(shù)，所以a2(t1)2min8，故a的最大值是8.4設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR，若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_答案2解析|b|2(xe1ye2)2x2y22xye1·e2x2y2xy.，當(dāng)x0時(shí)，0；當(dāng)x0時(shí)，2.5(2015·浙江)已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2，若空間向量b滿足b·e12，b·e2，且對于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，則x0_，y0_，|b|_.答案122解析方法一由題意得xx0，yy0時(shí)，|b(xe1ye2)|取得最小值1，把|b(xe1ye2)|平方，轉(zhuǎn)化為|b|2x2y2xy4x5y，把x2y2xy4x5y看成關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值及取最值的條件對于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，說明當(dāng)xx0，yy0時(shí)，|b(xe1ye2)|取得最小值1.|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b·(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y，要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值，需要把x2y2xy4x5y看成關(guān)于x的二次函數(shù)，即f(x)x2(y4)xy25y，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x2，所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，代入化簡得f(x)(y2)27，顯然當(dāng)y2時(shí)，f(x)min7，此時(shí)x21，所以x01，y02.此時(shí)|b|271，可得|b|2.方法二e1·e2|e1|·|e2|cose1，e2，e1，e2.不妨設(shè)e1，e2(1,0,0)，b(m，n，t)由題意知解得n，m，b.b(xe1ye2)，|b(xe1ye2)|222t2x2xyy24x5yt272(y2)2t2.由題意知，當(dāng)xx01，yy02時(shí)，2(y2)2t2取到最小值此時(shí)t21，故|b|2.6已知函數(shù)f(x)x2axb2b1(aR，bR)，對任意實(shí)數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立，若當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)>0恒成立，則b的取值范圍是_答案(，1)(2，)解析由于對任意實(shí)數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立，則f(x)的對稱軸為x1，所以a2，f(x)x22xb2b1(x1)2b2b2，則f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x1,1時(shí)，要使f(x)>0恒成立，只需f(1)>0，即b2b2>0，則b<1或b>2.7(2015·陜西)若拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)，則p_.答案2解析由于雙曲線x2y21的焦點(diǎn)為(±，0)，故應(yīng)有，p2.8(2015·北京改編)已知雙曲線y21(a>0)的一條漸近線為xy0，則該雙曲線的方程為_答案3x2y21解析雙曲線y21(a>0)的漸近線方程為y±x，xy0yx，a>0，則，a，則該雙曲線的方程為3x2y21.9設(shè)函數(shù)f(x)kaxax(a>0且a1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值解f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(0)0，k10，即k1.f(1)，a，即2a23a20，a2或a(舍去)，g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，則t(x)2xln 22xln 20，t(x)在1，)上為增函數(shù)，即t(x)t(1)，原函數(shù)變?yōu)閣(t)t24t2(t2)22，當(dāng)t2時(shí)，w(t)min2，此時(shí)xlog2(1)即g(x)在xlog2(1)時(shí)取得最小值2.10(2015·安徽)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|2|MA|，直線OM的斜率為.(1)求E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，b)，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程解(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又kOM，從而，進(jìn)而得ab，c2b，故e.(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得，直線AB的方程為1，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為，則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.又點(diǎn)T在直線AB上，且kNS·kAB1，從而有解得b3.所以a3，故橢圓E的方程為1.11(2015·浙江)已知橢圓y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對稱(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b220，將AB中點(diǎn)M代入直線方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，則|AB|·，且O到直線AB的距離為d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|·d，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)，等號(hào)成立故AOB面積的最大值為.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*)(1)求數(shù)列an的前三項(xiàng)a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列an(1)n為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式解(1)在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1,2,3，得解得(2)由Sn2an(1)n(nN*)得，Sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減得an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2an1(1)n1(n2)故數(shù)列an(1)n是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an(1)n×2n1，an×2n1×(1)n(1)n.